剖析高考中的導數

摘 要：本文結合《課標》對導數教學的要求，近三年全國卷、福建卷（理科）高考中的導數考題和教學經驗，簡單分析高考中的導數常考點，以便在平時的教學和高考復習中準確把握重點，有效突破難點。

關鍵詞：高考命題；導數；考點解析

導數進入中學數學教材之后，給傳統的中學數學帶來了生機與活力，為中學數學問題（如函數問題、不等式問題、解析幾何問題等）的研究提供了新的視角、新的方法、新的途徑，拓寬了高考的命題空間。因此導數成了近年來高考重點考查的基礎知識。以導數為背景或依托的試題，雖然有易有難，但總是緊貼導數基礎知識（導數的概念和幾何意義、求導公式和法則）和導數的簡單應用（求函數的單調區間、函數的極值、最值等），在導數的考查過程中力求結合應用問題來考查。相信2011年的高考，導數仍然是一個熱點。為此，本文以2010數學新課程《考試說明》為依據，以近三年全國卷、福建卷(理科) 為例加以分析，期望在復習時能有所啟迪。

一、《課程標準》中導數的內容與考綱要求

導數是高中數學中重要的內容，是解決實際問題的強有力的數學工具，運用導數的有關知識，研究函數的性質：單調性、極值和最值是高考的熱點問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運算及導數的應用，也經常以解答題形式和其它數學知識結合起來，綜合考察利用導數研究函數的單調性、極值、最值。

1、課標內容

課程標準中教學內容有：導數概念及其幾何意義、導數的運算、導數在研究函數中的應用、生活中的優化問題舉例、（理科）定積分與微積分基本定理。

2、2010年福建卷（理科）考試要求

（1）導數概念及其幾何意義

①了解導數概念的實際背景。

②理解導數的幾何意義。

（2）導數的運算

①能根據導數定義求函數y=C（C為常數），y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的導數。

② 能利用下列給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數（僅限于形如y=f（ax+b2）的復合函數）的導數。

●常見基本初等函數的導數公式：

C′=0（C為常數）；（xn）′=nxn-1（n∈N*）；（sinx）′=cosx；(cosx)′=-sinx；(ex)′=ex；（ax）′=axlna（a＞0且a≠1）；(lnx)′=；(logax)′=logae（a＞0且a≠1）。

●常用的導數運算法則：

法則1：u（x）±v（x）′=u′（x）±v′（x）

法則2：u（x）#8226;v（x）′=u′（x）#8226;v（x）+u（x）#8226;v′（x）

法則3：′=

（3）導數在研究函數中的應用

①了解函數單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（其中多項式函數不超過三次）。

②了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值（其中多項式函數不超過三次），會求閉區間上函數的最大值、最小值（其中多項式函數不超過三次）。

（4）生活中的優化問題舉例。

會利用導數解決某些簡單的實際問題。

（5）定積分與微積分基本定理

①了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。

②了解微積分基本定理的含義。

從上述不難發現：2010年新課程高考對導數的考查，主要以函數單調區間、極值、切線方程為主。理科基本以一個解答題的形式考查。從2010年新課程高考分析，對導數的要求一般有三個層次：第一層次是主要考查導數的概念、求導公式和求導法則；第二層次是導數的簡單應用，包括求切線方程、求函數的單調區間， 求函數的極值；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數內容和傳統內容中有關不等式和函數的單調性等有機的結合在一起，設計綜合試題。

二、考點分析

表1是近3年全國卷、福建卷（理科）對本章內容考查的情況：

表1

從表1可以看出，導數這部分內容在高考新課程卷中主要以選擇題和解答題的形式出現，題量、分值逐步趨于減少，考查的熱點是利用導數的意義求函數的單調區間、證明不等式、求曲線的切線方程，或利用導數解決實際問題。

三、新課程高考導數知識類型和特點

新課程高考對導數的考查有效地貫徹了“在考查基礎知識的同時，注重對數學思想方法的考查，注重對數學能力的考查”的命題指導思想。主要有以下幾個特點：

1、突出重點內容

高考試題突出了重點內容及考察的命題方向，重點在導數的幾何意義，求簡單函數的導數，利用導數研究函數的單調性上做文章。

例1 08年福建卷（理科）22（1）

【評析】本題是求函數單調性，所涉及到的知識點——函數單調性、解不等式、求導是主干知識。

例2 10年福建卷（理科）20

【評析】本題主要考查函數、導數、定積分等基礎知識，考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想。

2、強化分類討論參數

導數問題設置參數后，難度有所增加。參數的引入少不了分類討論，而分類討論又是中學數學所要掌握的重要思想方法之一。

例3 09年福建卷（理科）20（1）

【評析】本小題主要考查函數、導數基礎知識，考查運算求解能力、分類討論思想。

例4 08年全國卷（理科）19

【評析】本題主要考查函數的單調性、導數，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分類討論數學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力。

3、注重對知識的綜合能力考查

高考試題要達到一定的知識覆蓋面與難度系數，要選拔出不同層次的學生，必須體現試題的綜合性，以知識點與方法的綜合為出發點，考查思維的層次性，真正選拔出有學習潛力的學生。從近三年全國卷和福建卷（理科）試卷來看，與導數綜合的問題大多數在試卷的壓軸題，與導數綜合的知識很多，熱點有不等式、三角函數、數列等。比如09年全國卷（理科）第22題。

四、新課程高考導數知識復習建議

雖然，10年高考全國卷、福建卷（理科）對導數考查得較少，但這一知識點是高考要求考生必須了解的內容，隨著高考對導數考查思路的逐步成熟，高考對這一知識點的考查會適當拓寬。通過以上分析可知：對于這部分知識的復習，要認識導數是新課程重要內容，在復習中要明確導數作為一種工具在研究函數的變化率，解決函數的單調性，極值等方面的作用，要全面復習，抓住導數基礎知識復習。注意考題的難度逐年增大，要有意識地與解析幾何(特別是切線，最值)，函數的單調性，函數的極值，最值，二次函數，方程、不等式等知識進行交匯，進行綜合訓練，特別是精選一些以導數為工具分析和解決一些切線問題、函數單調性問題、含參數分類討論、含參數恒成立問題等典型題目進行訓練，提高應用導數知識分析問題和解決問題的能力。

導數幾何意義及其應用是高考考查的重點內容之一，而且常常以綜合題的形式出現，小題小綜合，大題大綜合，尤其是導數與圓錐曲線、導數與不等式的證明等知識的綜合，使得試題新穎別致，不僅囊括了眾多的數學知識，而且融入了豐富的數學思想方法。解法多樣，靈活多變，能有效地考查學生的數學素養和應用數學知識的能力。求導的過程并不難，它不是這類試題的最終落腳點，它的最終落腳點應是考查函數的性質，解不等式等重要的知識和等價轉化、分類討論等重要的數學思想方法，這是新課程高考的重點和難點。如果學生對這些知識、方法把握不牢、用得不活，在用導數求函數單調區間問題上，就很可能導致解題半途而廢或整題失分。高考復習時，應多加強這類試題的解法訓練。