函數(shù)單調(diào)性的幾點探討

函數(shù)是高考的重點內(nèi)容，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重中之重。通過理解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，有助于解決最值問題等。我們第一次接觸單調(diào)性是在初中，在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖像后，對增減性剛有一個初步的感性、直觀認(rèn)識，并學(xué)會了用符號語言來刻畫圖形語言。緊接著，高一階段我們開始學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義，從數(shù)和形兩個方面理解單調(diào)性的概念，用定量分析解釋定性結(jié)果，并在高二利用導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性。

一、函數(shù)單調(diào)性定義

那么，究竟什么是函數(shù)的單調(diào)性呢?我們從定義出發(fā)理解。高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)的單調(diào)性是這樣定義的：

定義： 一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1f(x2)，這就是說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）。如果函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。

仔細(xì)體會所給的函數(shù)單調(diào)性的定義，可以發(fā)現(xiàn)定義其實包含了兩個限制條件：

1、“y=f(x)，x∈D”點出單調(diào)性與定義域的關(guān)系。大家都知道，函數(shù)只有在定義域內(nèi)才有意義，故函數(shù)的單調(diào)性離不開定義域。函數(shù)的單調(diào)性是針對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，需要注意的是，定義的定義域I和D此處不是一個概念。定義的I指y=f(x)中x所有可取到的值。定義中的D是連續(xù)的，具有區(qū)間性。

定義域如此重要，讓我們注意到有些函數(shù)在其定義域I的幾個子區(qū)間上各具有單調(diào)性，但是在整個定義域上不具有單調(diào)性，比如函數(shù)f(x)=-(圖1所示)，在區(qū)間（-∞，0）及區(qū)間（0，+∞）上都是增函數(shù)，但不能說在定義域上單調(diào)增。

2、“若對任意x1，x2∈D”，這句話的重點在任意上，不要小看這兩個字，如果x1，x2不是D的任意兩個變量，則不能得出函數(shù)f(x)在D上具有單調(diào)性的結(jié)論。

從上述1、2的分析，我們要學(xué)會立足教材滲透深入培養(yǎng)逆向思維。

二、函數(shù)單調(diào)性的判定

理解函數(shù)的單調(diào)性，我們不光要明白它的定義，還要深入了解它的性質(zhì)，單調(diào)性本身包含的特點，由此得出判定單調(diào)性的幾種方法。

（一）定義法

函數(shù)單調(diào)性的定義我們前面已經(jīng)給出了，我們可先在劃分的單調(diào)區(qū)間上設(shè)x1＜x2，再比較f(x1)與f(x2)的大小，根據(jù)定義下結(jié)論，并注明單調(diào)區(qū)間。

例1：已知函數(shù)f(x)對任意x，y∈R+，都有f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時，f（x）<0，試判定函數(shù)f（x）的單調(diào)性。

解：令x＞0，y=1得 f（x）=f（x）+f（1）， ∴f（1）=0

令x=＞0， 得 f（1）=f（x）+f（1/x）， f（1/x）=-f（x）

設(shè) 0

f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（）=f（）<0

∴f（x2）-f（x1）<0，故函數(shù)f（x）在R+上為減函數(shù)

（二）圖像法

從定義知，若函數(shù)圖像在某一段從左向右看表現(xiàn)為上升趨勢，即x隨y的增大而增大，則函數(shù)在該段圖像相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，若函數(shù)圖像在某一段從左向右看表現(xiàn)為下降趨勢，y隨x的增大而減小，則函數(shù)在該段圖像相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，由此，我們可以借助函數(shù)圖象來研究函數(shù)的單調(diào)性。

1、直接利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的單調(diào)性

這就要求我們熟悉掌握各種基本函數(shù)的圖像，以及學(xué)會利用圖像變化做一些復(fù)雜函數(shù)的圖像，從函數(shù)圖像上直接觀察函數(shù)的單調(diào)性即可。

例2： 討論函數(shù)f（x）=x2+2x+3的單調(diào)性

解： f（x）=x2+2x+3=x2+2x+1+2=（x+1）2+2

如圖2所示函數(shù)f（x）的圖像是函數(shù)g（x）=x2圖像的變形，通過向左平移1個單位、向上平移兩個單位得到

顯然，當(dāng)x＜-1時，f(x)是減函數(shù)

當(dāng)x≥-1時，f(x)是增函數(shù)

2、利用函數(shù)圖像的對稱性研究函數(shù)的單調(diào)性

(1)函數(shù)自身圖像的對稱性

①奇函數(shù)圖像關(guān)于原點中心的對稱，所以奇函數(shù)表現(xiàn)出來在對稱區(qū)間上單調(diào)性一致。

②偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸軸對稱，所以偶函數(shù)表現(xiàn)出來在對稱區(qū)間上單調(diào)相反。

(2)兩個函數(shù)圖像的對稱性

函數(shù)f(x)與函數(shù)f(-x)的圖像關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)f(x)與函數(shù)f(-x)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

函數(shù)f(x)與函數(shù)-f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱，所以函數(shù)f(x)與函數(shù)-f(x)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

函數(shù)f(x)與函數(shù)-f(-x)的圖像關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f(x)與函數(shù)-f(-x)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致。

函數(shù)f(x)與函數(shù)f -(x)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，所以函數(shù)f(x)與函數(shù)f -(x)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致。（分別在各自的單調(diào)區(qū)間）

這些性質(zhì)常用在各種題目具體解法中起過渡作用。

（三）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)y=f ［g（x）］是由函數(shù)y=f(t)及t=g（x）復(fù)合而來的，我們把函數(shù)y=f ［g（x）］稱為復(fù)合函數(shù)，函數(shù)y=f(t)稱為復(fù)合函數(shù)的外函數(shù)，函數(shù)t=f（x）稱為復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合法則為：若內(nèi)、外函數(shù)單調(diào)性一致，則復(fù)合后為增函數(shù)；若內(nèi)、外函數(shù)單調(diào)性相反，則復(fù)合后為減函數(shù)，可簡記為“同增異減”。

例3：討論函數(shù)y=log22x+2log2x+5的單調(diào)性

解：函數(shù)y=log22x+2log2x+5的定義域為（0，+∞）

令u=log2x，則函數(shù)u=log2x在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，u∈（-∞，+∞）。y=u2+2u+5在（-∞，-1）上為減函數(shù)， 在（-1，+∞）上為增函數(shù)。當(dāng)x∈(0，］時，u∈（-∞，1］，所以函數(shù)y=log22x+2log2x+5在區(qū)間(0，］上為減函數(shù)。當(dāng)x∈［，+∞）時u∈［-1，+∞)，所以函數(shù)y=log22x+2log2x+5在區(qū)間上x∈［，+∞)為增函數(shù)。

例4：求函數(shù)y=log2（-x2+2x+3）的單調(diào)區(qū)間

解：令y=log2u，y是u的增函數(shù)，u=-x2+2x+3＞0

解得-1＜x＜3，u是x的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖像，其對稱方程為x=1，u在［1，3)上是減函數(shù)，在(-1，1］上是增函數(shù)，故所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為［1，3)，單調(diào)增區(qū)間為(-1，1］。

（四）導(dǎo)數(shù)法

用導(dǎo)數(shù)知識研究函數(shù)單調(diào)性的理論依據(jù)是：設(shè)函數(shù)f（x）在某個區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)，如果f ′（x）＞0，則f（x）為增函數(shù)；如果f ′（x）＜，則f（x）為減函數(shù)；如果f ′（x）=0，則f（x）為常函數(shù)。反之，若f（x）在D內(nèi)可導(dǎo)，且f（x）在D上是增函數(shù)，則一定有f ′（x）≥0；若f（x）在D內(nèi)可導(dǎo)，且f（x）在D上是減函數(shù)，則一定有f ′（x）≤0。

例5：討論函數(shù)f（x）=在區(qū)間(0，)上的單調(diào)性

解：（tanx）′=（）′=

f ′（x）=()′=

=-#

=

設(shè)h（x）=2x-sin2x，則h′（x）=2-2x-cos2x＞0

∴函數(shù)h（x）在(0，)上是增函數(shù)

∴h（x）＞h（0）=0∴f ′（x）＞0

函數(shù)f （x）在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增

例6：求函數(shù)f （x）=（x+1）2-2ln（1+x）的單調(diào)區(qū)間

解：f ′（x）=2（x+1）-

=

令f ′（x）＞0，得x＞0或-2＜x＜-1

令f ′（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0

又∵f （x）的定義域為 （-1，-∞）

故所求函數(shù)f （x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，0）。

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的基本性質(zhì)，我們從初中就開始接觸它，斷斷續(xù)續(xù)的了解，是高考的重點，所以細(xì)致的將函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)整理出來，是有必要的，它能更好的幫助我們抓住相關(guān)問題。之前已有不少人研究過函數(shù)單調(diào)性，但多專注于某一階段的函數(shù)單調(diào)性研究，未能梳理成條，有一定的局限性。本文從泛談函數(shù)的單調(diào)性的角度入手，整體上把握單調(diào)性總動向，力求更多更好更清晰使用函數(shù)單調(diào)性這一性質(zhì)。

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