數(shù)學(xué)例題教學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。例題教學(xué)的目的是加強(qiáng)對所學(xué)的概念、定理、公式、法則、方法和思想等的進(jìn)一步理解與認(rèn)識，啟迪學(xué)生思維、示范學(xué)生解題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。因此可以這么說，例題教學(xué)質(zhì)量的高低，很大程度上決定了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量的高低。新課程理念下的數(shù)學(xué)，知識容量大，能力要求高，教師普遍感受到“時(shí)間緊迫、任務(wù)繁重”，這就對例題教學(xué)提出了更高的要求.那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何精選例題、精析例題，充分發(fā)揮例題的教學(xué)功能與價(jià)值呢？筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的體會，談?wù)剶?shù)學(xué)例題教學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識。

1、新穎性原則

新穎性原則是指在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中選擇的例題力求新穎。

心理學(xué)研究表明，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果與其所接觸的材料的“新鮮感”有密切關(guān)系。據(jù)此，在教學(xué)中，教師應(yīng)盡量選用新穎的題目作為例題，不必盲目照搬教材例題，切忌同一問題以同一形式多次單調(diào)重復(fù)，以免學(xué)生覺得單調(diào)、枯燥、乏味，毫無新意，從而扼殺學(xué)生的求知欲望。

例1若函數(shù)f(x)對于其定義域上的某一點(diǎn)x0有f（x0）= x0，則稱x0是f（x）的一個(gè)不動點(diǎn).已知函數(shù)f（x）=ax2+(b+1)x+（b－1）（a≠0）。

（1）當(dāng)a=1，b=－2時(shí)，求函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)。

（2）若對任意的實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)不動點(diǎn)，求a的取值范圍.

評注本題實(shí)際上是一元二次方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根的恒成立問題，但它又與所謂“不動點(diǎn)”的新概念發(fā)生關(guān)系，讓學(xué)生倍感新鮮，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲望，同時(shí)也擴(kuò)大了學(xué)生的視野。

2、經(jīng)典性原則

經(jīng)典性原則是指在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中選擇的例題力求經(jīng)典（或具有典型性）。

“經(jīng)典”有利于記憶，學(xué)生在問題解決中，往往也是通過對經(jīng)典（或具有典型性）的例題的理解、遷移和發(fā)揮來顯示其應(yīng)用能力水平的，因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，經(jīng)典（或具有典型性）例題的教學(xué)在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力中起著重要的、不可替代的作用。

例2（數(shù)學(xué)歸納法）多米諾骨牌游戲。

例3（反證法）試用反證法證明“神不是萬能的”。

評注這兩個(gè)例題是經(jīng)典中的經(jīng)典。這兩個(gè)經(jīng)典例題讓學(xué)生很難忘記應(yīng)用兩種證明方法的解題步驟，它們在數(shù)學(xué)教學(xué)中的功能與作用是其他一般性例題不可替代的。

3、啟發(fā)性原則

啟發(fā)性原則是指例題本身要具有啟發(fā)功能和例題教學(xué)要實(shí)施啟發(fā)式教學(xué)。

蘇霍姆林斯基曾說過，學(xué)生心靈深處有一種根深蒂固的需要——希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，這是學(xué)生的內(nèi)在需要，當(dāng)這種需要一旦得到滿足，學(xué)生內(nèi)在的“智力能量”就會充分的釋放。所以教師在教學(xué)中，要有目的地設(shè)計(jì)一些富有啟發(fā)性的例題，同時(shí)例題的教學(xué)要實(shí)施啟發(fā)式教學(xué)（啟發(fā)式教學(xué)要求——“啟而不達(dá)”），以滿足學(xué)生的需要，使學(xué)生被動接受學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)為主動探究學(xué)習(xí)。

例4（1）10個(gè)饅頭分給3個(gè)和尚吃，每人至少吃一個(gè)，有多少種分配方案？

（2）不定方程x+y+z=10有幾組正整數(shù)解？

評注本題第（1）問是排列組合問題中的分配問題，采用“隔板法”，第（2）問可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為第（1）問，本例題以題組形式設(shè)計(jì)，非常富有啟發(fā)性。

4、開放性原則

開放性原則是指例題本身要具有開放性和例題教學(xué)要實(shí)施開放性教學(xué)。

“開放性”有利于營造創(chuàng)新氛圍，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，點(diǎn)燃學(xué)生的創(chuàng)新心理的火種。廣義的開放性例題有三種，一是“條件開放型”；二是“結(jié)論開放型”；三是問題解決的方法、途徑開放型，不限于一種方法、一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案。例題教學(xué)的開放性是指教師要創(chuàng)設(shè)開放的“環(huán)境”，要以人為本，尊重每個(gè)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展（獨(dú)特的發(fā)散思維的發(fā)展），把學(xué)生放在主體的位置上，著眼于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、發(fā)展自己的思維方式，而不是教師的思維方式，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中建構(gòu)自己的知識體系與認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成自己的多維的發(fā)散的思維方式。

例5直線y=2x+m與拋物線y=x2相交于A、B兩點(diǎn)，若__________，求直線AB的方程（要求先補(bǔ)充恰當(dāng)?shù)臈l件，使直線方程得以確定再求出直線方程）。

評注本題為“條件開放型”，學(xué)生的解答可謂百花齊放，百家爭鳴，如①|(zhì)AB|=m；②若O為原點(diǎn)，∠AOB=90°；③AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6；④AB恰過拋物線的焦點(diǎn)F等。從中我們可以看到開放性例題有比較大的思維拓展空間，有利于學(xué)生的發(fā)散思維的培養(yǎng)，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。

評注本題看似是簡單的“封閉性”題，教參也只給出兩種解法，在開放性教學(xué)原則（環(huán)境）下，有教師調(diào)研了學(xué)生對本題的正確解法多達(dá)十幾種，其中的發(fā)散思維、創(chuàng)新智慧令人賞心悅目，拍案叫絕。

5、梯度性原則

梯度性原則是指例題教學(xué)應(yīng)遵循由易到難，從簡到繁，由低到高的順序設(shè)置。

認(rèn)知規(guī)律告訴我們，人們認(rèn)識事物都是由淺入深、由表及里、循序漸近的，這就要求例題的設(shè)置應(yīng)體現(xiàn)層次性、梯度性.無論是例題的呈現(xiàn)順序上，還是同一道題的若干子問題的設(shè)置先后上，都應(yīng)遵循由低到高的原則，使學(xué)生的思維時(shí)時(shí)處在“最近發(fā)展區(qū)”，跳一跳，夠得著，讓學(xué)生在積極思維活動中體驗(yàn)到成功感。相反，例題難度跳躍太大，勢必挫傷學(xué)生的自信心，打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

(3)若f(x)=x2+bx+c，當(dāng)正數(shù)p、q滿足p+q=1時(shí)，試證明：

f(px+qy) ≤pf(x)+qf(y).。

評注通過這樣由淺入深的例題變式遞進(jìn)設(shè)置，讓學(xué)生的思維時(shí)時(shí)處在“最近發(fā)展區(qū)”，引導(dǎo)學(xué)生積極思維，充分理解函數(shù)凹凸性的多種表達(dá)形式，從中領(lǐng)會探究問題的思維模式。

6、過程性原則

新課程背景下，“重結(jié)果，更重過程”。要讓學(xué)生知其然又知其所以然，就是要讓學(xué)生“參與”例題的解決過程。過程性原則是指數(shù)學(xué)例題教學(xué)應(yīng)重視“過程性教學(xué)”。

所謂“過程性教學(xué)”，簡單地說就是在例題教學(xué)中，教師要充分暴露（最初的、最原始的、最真實(shí)的）思維探究過程，讓學(xué)生“親歷”數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維的發(fā)生、發(fā)展過程，從而提高學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)問題具體化、形象化的能力，最終提高學(xué)生解決問題的能力。

例8如圖8，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用相同的顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的染色方法有多少種？

例9如圖4，四個(gè)人A1、A2、A3、A4互相傳球，由A1開始發(fā)球，這稱為第一次傳球，經(jīng)過4次傳球后，球仍然回到A1手中，求所有不同的傳球方式有多少種？

評注例8是區(qū)域染色問題，若把區(qū)域縮成點(diǎn)，則圖2變?yōu)閳D3，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)染色問題（當(dāng)然還可以啟發(fā)學(xué)生用其他方法解例8）。將例9作如下轉(zhuǎn)化：①傳球次數(shù)對應(yīng)為多邊形的邊數(shù)；②人的個(gè)數(shù)對應(yīng)為使用顏色的種數(shù)；③球不傳給自己對應(yīng)為多邊形相鄰點(diǎn)染不同顏色；④球每次只傳到一個(gè)人手里對應(yīng)為每個(gè)點(diǎn)只染一種顏色；⑤指定從A1發(fā)球相當(dāng)于給A1染確定的顏色，則圖4變?yōu)閳D5，這樣，傳球問題就變成染色問題了。教師應(yīng)重視問題的“分析轉(zhuǎn)化”過程教學(xué)，讓學(xué)生“參與”思路分析，充分暴露解題思維過程。

7適量性原則

適量性原則是指數(shù)學(xué)課堂教學(xué)例題設(shè)置時(shí)機(jī)要適宜，分量應(yīng)適度。

一是例題教學(xué)所占課堂教學(xué)的比例要恰當(dāng)，即例題設(shè)置的數(shù)量要適當(dāng)。例題并不是越多越好，過猶不及，應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)一個(gè)“精”字，精選、精練、精議、精析、精總結(jié)，把每一道例題講深講透，鼓勵(lì)、提倡例題多作變式訓(xùn)練和一題多解，充分挖掘每一道例題承載的教學(xué)價(jià)值（作用和功能），千萬避免“多而淺”的現(xiàn)象；二是例題的教學(xué)時(shí)機(jī)要適宜，即例題的“呈現(xiàn)”時(shí)機(jī)和例題教學(xué)的“啟發(fā)”時(shí)機(jī)要適宜。例題教學(xué)一般是在學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)了有關(guān)的概念、定理、方式、法則等基礎(chǔ)知識之后的教學(xué)環(huán)節(jié)，如果學(xué)生對有關(guān)的基礎(chǔ)知識還未理解，就早早地收場進(jìn)入例題教學(xué)環(huán)節(jié)，例題教學(xué)的實(shí)際效果就會大打折扣，接下來的例題教學(xué)很可能就成為教師一個(gè)人的“獨(dú)角戲”了。

總之，數(shù)學(xué)例題教學(xué)要求例題新穎、經(jīng)典、開放、富有啟發(fā)性，例題教學(xué)要遵循梯度性設(shè)計(jì)，要重視和加強(qiáng)過程性教學(xué)，啟發(fā)式教學(xué)，開放式教學(xué)，并兼顧把握好課堂教學(xué)中例題教學(xué)的分量和教學(xué)時(shí)機(jī)，充分發(fā)揮例題的教學(xué)功能與價(jià)值，從而大大提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量。