淺談用算術平均數與幾何平均數定理求最值

算術平均數與幾何平均數定理（如果a1＞0，a2＞0……，an＞0那么≥，當且僅當a1=a2=……= an時，取“=”號）在中學階段常被用來求函數的最值，當然，中學階段更多的是利用其特殊形式（如果a＞0，b＞0，那么≥，當且僅當a=b時取“=”號），但是在應用時，必須注意題目是否滿足定理的條件。即“一正、二定、三等號”。若滿足這些條件，則可直接運用，否則，就需對函數式作“添、裂、配、湊”等變形使題目完全滿足條件后方可用之。更有一些題目需借助參數方能順利解決。現就本人幾年來的教學經驗，談談如何利用算術平均數與幾何平均數定理求函數最值的問題。

一、 可直接利用定理求最值的

例1 已知x，y∈R+，x+y=3，求xy的最大值

解：∵x，y∈R+

∴xy≤（）2 =

當且僅當x=y=時取“=”號

∴xy的最大值為

例2 已知a，b∈R+ ，ab=m ，求a+b的最小值

解：∵a，b∈R+

∴a+b≥2=2

當且僅當a=b=時取“=”號

∴a+b 的最小值為2

此類例題，已具備用算術平均數與幾何平均數定理的條件，可直接利用定理求出最值，簡單、明確，從中也可歸納出：當兩正數和為定值時，可求得其積的最大值；當其積為定值時，可求得其和的最小值。當然，也可就這兩道例題進行變式，進一步引出更復雜的形式。

二、需變形后方能利用定理求最值的。

例3 下列不等式的證明過程正確的是（ ）

A、若a，b∈R，則+≥2=2

B、若x＞0則cosx+≥2=2

C、若x＜0，則x+≤2=4

D、若a，b∈R且ab＜0，則+=-(-)+（-)≤-2=-2

分析 若不注意定理中“一正”的條件，本題就容易錯解，若稍加注意，就能發現D答案中雖然，∈R-，但經變形后(-)，（-)∈R+；具備了運用定理的條件，計算也正確，故選D。

例4 已知x＞0，y＞0，x+2y=1求證+≥3+2

分析 本題若直接從+入手運用算術平均數與幾何平均數定理，則無法定出均值公式，注意觀察條件x+2y=1，若用x+2y來替換+中的兩處1，所得除了常數，就是均值可定的兩式和，即便本題目改為“x+2y=m（常數）”仍可類似解決。

證明：∵x+2y=1

∴+=+=1+++2

=3++

又∵x＞0，y＞0

∴＞0，＞0

∴+=3++

≥3+2

=3+2

例5 判斷正誤

若x∈（1，2）則x+存在最小值3

分析：解題時往往只考慮條件x-1＞0，＞0

直接解得x+

=(x-1)++1

≥2+1

=3

其實因為當且僅當x-1+時即x=2時取“=”號，而x=2不在定義域（1，2）中，所以本題中等號不成立，即x+不存在最小值。

例6 求函數y=(1-2x)#8226;x2（0＜x＜）的最大值

分析 借助（1-2x）+ x+x=1為定值，直接構造變形得

y=（1-2x）#8226;x#8226;x≤ 3=

當且僅當1-2x=x，即x=∈(0， )時取“=”號.

此類例題均不能或不宜直接利用定理，必需對函數式作“添、裂、配、湊”等變形使題目完全滿足條件后方可用之，由于對變形能力的要求較高，常導致誤解、錯解。

三、 需借助參數然后運用定理求最值的

例7 求函數y= （1-4x）x2 （0＜x＜）的最大值

解：設λ＞0

y=（λx）2（1-4x）

3

= 3

當且僅當λx=1-4x，2λ-4=0即λ=2 ， x=時取“=”號，此時，ymax =

例8 已知2xy+yz≥0，求的最小值。

解：設λ1＞0，λ2＞0

∵λ12x2+y2≥2λ1xy

λ22y2+z2≥2λ2yz

∴λ1x2+y2≥2xy①

y2+z2≥yz②

①+②得，λ1x2+（+）y2+z2≥2xy+yz為使該式左端作為目標函數的分子，須令

λ1=+=解得λ1=

于是有λ1（x2+y2+z2）≥2xy+yz

∴≥=

故的最小值為

例9 甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行使到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/小時）的平方成正比，比例系數為b；固定部分為a元。

（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/小時）的函數，并指出這個函數的定義域。

（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

解：（1）行駛完全程所用時間為小時，運輸成本為（a+bv2）元，故所求函數為y=（a+bv2）

其定義域為（0，c］

（2）若≤c，

∵+bv≥2（當且僅當v=，時取“=”號）

∴v=時，ymin=2s

若＞c，設o<λ

∵bv+=bv++≥2+≥2+

當且僅當bv=，v=c，即v=c， λ=bc2時兩處等號均成立。

∴v=c時，+bv， 取得最小值，

從而ymin =（a+bc2）

綜上所述，為使全程運輸成本最小，當≤c時行駛速度為v=千米/小時；當＞c時行駛速度v=c千米/小時。

此類題目學生往往覺得很難用甚至不能用定理而感到棘手，這樣的題目若借助含參數的定理，往往能迎刃而解，如(λx)2+y2≥2λxy（當且僅當λx=y時取“=”號），λx+y≥2（當且僅當λx=y時取“=”號）。或λ1x+λ2y+z≥3#8226;（當且僅當λ1x=λ2y=z時取等號）這里x，y，z∈R+正參數λ1，λ2由“值定、可等”確定，這樣可使原來不能同時成立的條件得到滿足，從而求出最值。

由以上各例可以看出，在運用算術平均數與幾何平均數定理證明或求解有關的不等式時，首先，必須保證前提條件即“一正”，若兩數都為負數，則可通過變形使其“變”為正；其次，必須注意和或積為定值以及使等號成立的條件是否存在，在必要時要對函數式作“配、湊”的處理，使其完全滿足條件方可運用。特別地，對于 某些題目，在“添、裂、配、湊”都難于解決甚至無法解決時，可以考慮適當增設參數，這樣可使條件與結論間的聯系得以加強，使算術平均數與幾何平均數定理如虎添翼，簡捷明快地解決某些難度較大函數最值問題。