基于雙因子抗差卡爾曼濾波在動態導航中的應用

龍仁波,高井祥,王 堅

(1.中國礦業大學國土環境與災害監測國家測繪局重點實驗室,江蘇徐州221116 2.中國礦業大學江蘇省資源環境信息工程重點實驗室,江蘇徐州221116)

0 引 言

卡爾曼濾波理論是一種對動態系統進行數據處理的有效方法,它利用觀測向量來估計隨時間不斷變化的狀態向量。由于其在對狀態向量進行估計時,不需要存儲大量的歷史觀測數據,利用新的觀測值,通過不斷的預測和修正,即可估計出系統新的狀態。因此,卡爾曼濾波被廣泛地應用于各種動態測量系統中,如GPS實時動態定位等。但是,標準卡爾曼濾波理論對動態系統提出了嚴格的要求,要求系統噪聲和觀測噪聲為零均值白噪聲。這一條件在實踐中難以滿足,致使濾波結果失真。因此,人們提出了克服這一缺陷的許多方法,如抗差濾波方法[1]、粗差探測方法[2]等。由非隨機誤差引起的模型誤差,也可采用文獻[3]中的方法加以解決,即首先識別模型誤差的類型,然后進行相應的補償。近來有學者提出利用自適應因子控制Kalman濾波中擾動異常對狀態估值的影響[4-5],并已在GPS導航、GIS道路修測、航空導航及低軌衛星定軌中得到成功應用[6]。自適應濾波根據自適應因子作用范圍不同又分為單因子自適應濾波和多因子自適應濾波[7-8]。在此,將雙因子抗差卡爾曼濾波引入到動態導航中,通過實測數據模擬粗差進行處理,取得了良好的結果。

1 標準卡爾曼濾波模型

動力學系統可以由狀態方程和觀測方程表示,分別為

其中xk為k(k=1,2,3,……)歷元時刻的nk×1狀態參數向量,Φk/k-1為狀態轉移矩陣,ωk為高斯白噪聲過程控制誤差向量;而zk為觀測向量,Hk為觀測矩陣,Vk為觀測噪聲向量,其服從高斯分布,且滿足:

其中矩陣Q0,Qk,Rk已知,Q0>0,Rk>0;i,j,k=1,2,…,and i≠j.為了估計狀態參數xk,不僅需要觀測值,還需要的預測值,這里可以有狀態模型(1),通過下式可得xk;

通過綜合觀測值zk和狀態參數的預測值,即可得狀態參數的最優估值。鑒于卡爾曼濾波流程很多文章都已經提到,這里就不一一列出。

2 抗差卡爾曼濾波模型

標準濾波與抗差濾波的狀態參數向量估值表達形式一致,不同之處使用的權陣不同[9],標準卡爾曼濾波解使用原始的觀測信息和預報信息的權矩陣;雙因子抗差濾波解使用觀測信息和預報信息的等價權矩陣。

在抗差濾波中,觀測權陣元素的確定是整個算法的關鍵問題,觀測等價權元素直接反應了抗差濾波算法對觀測異常值的控制能力。

雙因子抗差濾波等價元素的計算方法,先有觀測信息獲得位置參數的抗差估計值

為保持權矩陣的對稱性和相關性不變,我們將使用相關抗差估計理論[10-11]來獲取觀測向量的等價權元素,即

rii和rjj為降權因子,其計算過程可見文獻[10],可定義為

通常k0=1.0～1.5,k1=2.5～8.0,該模型與IGG3模型的三段法類似,但是該模型的優點是保證了相關觀測值的對稱性,簡化了參數抗差解的求取,使得驗后協方差矩陣的表示相對簡單。

在卡爾曼濾波中,當觀測值中含有粗差時,可以根據上面確定的等價權原理,通過分析增益矩陣,選取適當的權函數代替觀測噪聲協方差陣,以減小或消除粗差對估計結果的影響。當等價權確定之后,重新利用最小二乘原理,解算參數估值。

3 實例分析

本文采用的數據采集于2005年某大學的校園,使用Leica 500 GPS接收機,1秒采樣GPS偽距單點定位序列進行算法測試,取其中500個歷元的運動軌跡作為測試數據(圖1),建立的動力學模型為

觀測方程:

為了檢驗抗差估計的效果,在100,200,400歷元處衛星的粗捕獲碼(C/A)觀測值加入20 m的粗差,其位置、速度、C/A和P2的初始方差分別為0.2 m2,9×10-6m2s-2、1 m2和1m2,然后分別采用標準卡爾曼濾波及抗差卡爾曼濾波進行解算,表1列出了兩種方案的不同指標量。

圖1 運動軌跡圖

表1 兩種方案的不同指標比較/m

圖2與圖3分別給出X方向標準Kalman濾波與抗差Kanman濾波模型的濾波前后X方向軌跡及殘差序列。圖2可以看出粗差對濾波序列與殘差序列都存在明顯的影響。而圖3中,抗差模型已經消除了粗差對濾波結果的影響,殘差序列表明粗差對參數估計的影響已經被消除,充分說明抗差模型的有效性,Y與Z方向結果類似,這里就不一一列出。

從表1可以看出,采用抗差卡爾曼濾波導航精度得到了提高,這說明抗差卡爾曼濾波不僅消除了粗差對導航的影響,而且可以降低系統的偶然誤差對參數估值的影響。

4 結 論

構造了基于雙因子抗差權的Kalman濾波模型,此模型在考慮相關觀測值的情況下,可有效消除粗差對導航結果的影響,并且可以降低系統偶然對參數估值的影響;實驗數據研究表明該方法可行;在研究中發現,初始參數的確定對于模型的應用效果影響較大。

[1] Koch K R,Yang Yuan-xi.Robust Kalman filter for rank deficient observation models[J].Journal of Geodesy,1998,72(8):436-441.

[2] Liu Xiang-lin,Liu Jin-nan,Du Dao-shang,et al.Reliability analysis for Kalman filtering and its application in kinematic GPS positioning[J].Journal of Wuhan Technical University of Surveying and Mapping(WTUSM),1997,22(3):234-236..

[3] Tao Ben-zao.Identification of Kalman filtering model errors[J].Crustal Deformation and Earthquake,1999,19(4):33-235.

[4] 楊元喜,何海波,徐天河.論動態自適應濾波[J].測繪學報,2001,30(4):293-298.

[5] Yang Yuan-xi,He Hai-bo,Xu Guo-chang.Adaptively robust filtering for kinematic geodetic Positioning[J].Journal of geodesy,2001,75(2/3):109-116.

[6] 楊元喜,文援蘭.衛星精密軌道綜合自適應抗差濾波技術[J].中國科學:D輯,2003,32(11):1112-1119.

[7] Yang Yuan-xi,Gao Wei-guang.A new learning statistic for adaptive filter based on predicted residuals[J].Progress in Natural Science,2006,16(5):833-837.

[8] Cui Xian-qiang,Yang Yuan-xi.Adaptively robust filtering with classified adaptive factors[J].Progress in Natural Science,2006,16(8):841-846.

[9] 崔先強,楊元喜.分類因子自適應抗差濾波[J].自然科學進展,2006,16(4):490-494.

[10] 楊元喜,宋力杰,徐天河.大地測量相關觀測抗差估計理論[J].測繪學報,2002,31(2):95-99.

[11] Yang Yuan-xi,Song Li-jie,Xu Tian-he.Robust estimator for correlated observations based on bifactors equivalent weights[J].Journal of Geodesy,2002(76):353-358.