箭載GPS實(shí)時(shí)定位濾波算法研究

趙樹強(qiáng),許愛華,蘇 睿,王家松

(1.宇航動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安710043;2.中國西安衛(wèi)星測(cè)控中心,陜西西安710043)

0 引 言

目前,運(yùn)載火箭GPS實(shí)時(shí)定位多采用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法,利用最小二乘法解算火箭的彈道參數(shù),該方法模型簡(jiǎn)單,無需了解動(dòng)態(tài)接收機(jī)動(dòng)力學(xué)模型,基本滿足數(shù)據(jù)處理精度要求,但存在彈道參數(shù)隨機(jī)差較大的缺陷。在箭載GPS動(dòng)態(tài)定位中,動(dòng)態(tài)接收機(jī)天線是一個(gè)遵循一定規(guī)律不斷變化的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。在不同時(shí)刻對(duì)該系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行觀測(cè),各觀測(cè)量歷元間存在一定的相互關(guān)系[1],而最小二乘難以充分利用歷元間這些規(guī)律和相互關(guān)系進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。為消除高動(dòng)態(tài)GPS定位數(shù)據(jù)中的隨機(jī)誤差,就必須應(yīng)用最優(yōu)估計(jì)方法將真實(shí)的狀態(tài)從各種隨機(jī)干擾中實(shí)時(shí)地估計(jì)出來。卡爾曼濾波是在線性無偏最小方差估計(jì)原理下,導(dǎo)出的一種遞推濾波方法。它引入了狀態(tài)空間的概念,借助系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,根據(jù)前一時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)和當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值,遞推估計(jì)新的狀態(tài)估值。因此,卡爾曼濾波更適合箭載GPS動(dòng)態(tài)定位的數(shù)據(jù)處理。利用從GPS衛(wèi)星信號(hào)獲得的具有噪聲誤差的離散觀測(cè)量序列,建立動(dòng)態(tài)模型來描述箭載GPS接收機(jī)隨運(yùn)載火箭的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),其中被估計(jì)信號(hào)是由白噪聲激勵(lì)引起的隨機(jī)響應(yīng),激勵(lì)源與響應(yīng)之間的傳遞結(jié)構(gòu)已知,量測(cè)量與被估計(jì)量之間的函數(shù)關(guān)系也已知。因此,在箭載GPS動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理中可將卡爾曼濾波用于GPS數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)定位,能有效減小彈道參數(shù)的隨機(jī)誤差,提高定位精度。

1 箭載GPS動(dòng)態(tài)濾波數(shù)學(xué)建模

箭載GPS實(shí)時(shí)定位一般都將GPS衛(wèi)星軌道視為已知[1-5],利用觀測(cè)值就可以直接求解運(yùn)動(dòng)載體的位置速度,而無需任何作用于目標(biāo)上的作用力的信息。因此,運(yùn)動(dòng)載體的動(dòng)態(tài)模型(狀態(tài)方程),可以用動(dòng)態(tài)位置、速度和加速度來表示。動(dòng)態(tài)模型難以用精確的數(shù)學(xué)公式表示[3-4],在實(shí)際應(yīng)用中,一般都是在保證一定精度前提下,采用簡(jiǎn)化的動(dòng)態(tài)模型,常用的模型包括常速度、常加速度模型[1-2]。采用哪種模型,取決于運(yùn)動(dòng)載體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和采樣率的高低。在高動(dòng)態(tài)箭載GPS定位中,數(shù)據(jù)采樣率一般都為0.1 s或更高。在此情況下,可采用常加速模型,且假定動(dòng)態(tài)噪聲為零均值高斯噪聲。

1.1 系統(tǒng)模型的構(gòu)建

動(dòng)態(tài)方程為

式(1)中,Φk,k-1為非奇異狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移矩陣;Wk-1為系統(tǒng)在tk-1時(shí)刻的狀態(tài)噪聲向量,為零均值的高斯白噪聲隨機(jī)序列,即

式中:Qk是系統(tǒng)的過程噪聲向量序列Wk的方差矩陣,為對(duì)稱非負(fù)定矩陣;δkj是 Kronecker-δ函數(shù),其定義為

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

其中:

則系統(tǒng)噪聲方差矩陣為

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Q﹒ξ為觀測(cè)歷元間隔。

1.2 系統(tǒng)測(cè)量模型的建立

設(shè)箭載GPS接收機(jī)在k時(shí)刻同步觀測(cè)到n顆GPS衛(wèi)星的偽距和偽距率,則觀測(cè)矩陣可表示為

線性化方程為

其中:

偽距ρik的非線性公式為

對(duì)于多普勒頻移可表示為

2 箭載GPS動(dòng)態(tài)濾波定位計(jì)算分析

利用箭載GPS數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,該數(shù)據(jù)格式為專用格式,采樣間隔為每秒10點(diǎn)。系統(tǒng)加速度噪聲給定(10-5)2,偽距測(cè)量噪聲為22,偽距率測(cè)量噪聲為0.12,協(xié)方差矩陣的初值給定為

首先對(duì)箭載GPS觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理,然后進(jìn)行最小二乘(LS)計(jì)算和卡爾曼動(dòng)態(tài)濾波,處理流程見圖1所示。

圖1 箭載GPS實(shí)時(shí)定位濾波流程圖

圖2給出卡爾曼濾波和最小二乘(LS)定位結(jié)果位置分量和速度分量的互差曲線。從圖中可以看出,卡爾曼濾波結(jié)果與LS定位結(jié)果在X、Y、Z方向位置差都在±10 m范圍內(nèi)波動(dòng),X、Z方向速度差在±0.5 m/s范圍內(nèi),Y方向速度差在±1.0 m/秒范圍內(nèi)。由此可見,卡爾曼濾波結(jié)果與LS定位結(jié)果吻合度很好。

表1為L(zhǎng)S和卡爾曼濾波定位結(jié)果位置分量和速度分量隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)表。圖3為L(zhǎng)S和卡爾曼濾波位置分量和速度分量隨機(jī)誤差比對(duì)曲線。

從表1中可以看出,LS方法得出的GPS定位結(jié)果在X、Y、Z三個(gè)方向上的隨機(jī)差在1～2 m,而卡爾曼濾波方法能使三個(gè)方向的隨機(jī)差都大大下降,達(dá)到1 cm左右。對(duì)于速度分量,卡爾曼濾波方法也能使三個(gè)方向上的隨機(jī)差減小一個(gè)量級(jí)。

表1 LS和kalman濾波位置和速度分量隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)表

從圖3中可以明顯看出,卡爾曼濾波方法的隨機(jī)差都明顯小于LS方法,而且隨機(jī)差分布的更加均勻,這說明運(yùn)載火箭的GPS接收機(jī)在高動(dòng)態(tài)、高采樣率情況下能較好地匹配均加速模型,適合卡爾曼濾波的解算方法。需要說明的是,統(tǒng)計(jì)的隨機(jī)誤差較大的地方是彈道特征點(diǎn)附近,接收機(jī)在特征點(diǎn)前后測(cè)量數(shù)據(jù)有個(gè)別失鎖現(xiàn)象,但其統(tǒng)計(jì)結(jié)果也優(yōu)于LS方法。

圖4為速度分量局部曲線,從圖中可以看出,卡爾曼濾波解算出的火箭彈道在 X、Y、Z三個(gè)方向的速度分量都比LS的結(jié)果更加光滑,更符合火箭彈道的實(shí)際飛行情況。

3 結(jié) 論

針對(duì)最小二乘在箭載GPS實(shí)時(shí)定位中的缺陷,研究了箭載GPS動(dòng)態(tài)定位實(shí)時(shí)算法,給出了濾波的動(dòng)態(tài)定位模型,并利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析計(jì)算,從以上結(jié)果分析可以看出,箭載GPS動(dòng)態(tài)濾波計(jì)算的彈道參數(shù)隨機(jī)誤差在位置分量減小一個(gè)數(shù)量級(jí),速度分量的隨機(jī)誤差比最小二乘方法減小至少50%,有效地提高了火箭GPS彈道參數(shù)的精度。同時(shí),與最小二乘相比,動(dòng)態(tài)濾波不進(jìn)行迭代運(yùn)算,矩陣的運(yùn)算量相對(duì)較少。經(jīng)統(tǒng)計(jì)驗(yàn)證,每個(gè)歷元的彈道參數(shù)解算都能在10 ms以內(nèi)完成,遠(yuǎn)小于10 Hz的采樣間隔時(shí)間,能很好滿足實(shí)時(shí)定位的要求。

本算法能有效抑制高動(dòng)態(tài)情況下的隨機(jī)誤差,具有高精度、低復(fù)雜度等特點(diǎn),可進(jìn)一步推廣應(yīng)用于導(dǎo)彈、航天器或飛機(jī)試飛等高動(dòng)態(tài)GPS實(shí)時(shí)定位中。

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