信息與計算科學專業 《數學分析》教學探索與實踐

李家雄 (湖北工業大學理學院,湖北武漢430068)

教育部1998年頒布的新的專業目錄中將信息與計算科學列為一個新的數學類專業。這一專業設置不僅較好地適應了新世紀以信息技術為核心的全球經濟發展格局下的數學人才培養與專業發展,而且也對數學類專業的招生帶來了正面影響。自1999年來,全國已有400多所高等院校注冊開辦信息與計算科學專業,是全國高校理科專業中最大的專業之一[1,2]。

信息與計算科學專業的培養目標是培養具有良好的數學基礎和數學思維能力,掌握信息與計算科學的基礎理論、方法和技能,受到科學研究的訓練,能解決信息技術和科學與工程計算中的實際問題的高級專門人才。《數學分析》是該專業最重要的一門基礎課,如何上好該專業的 《數學分析》課是一個重大而實際的課題。下面,筆者結合信息與計算科學專業的特點,對《數學分析》教學進行了探索與實踐?湖北工業大學教學研究項目 (2010032)。。

1 把握標準,精心處理教材

《數學分析》的有些內容在高中已經涉及,如函數概念和性質、數列極限、導數概念和求導公式、利用導數判斷單調性和求極值等,這些內容可采取歸納概括方法予以略講,但要加深的地方要詳細講解。另外對一些容易理解的內容在課堂上可以略講或不講,有意識地留給學生自學,然后可以在一次小測驗中又有意識地測驗這些內容,再通過及時的反饋機制了解學生自學的情況。這樣處理不但在現有課時緊張的情況下提高了課時的有效利用率,而且培養和加強了學生的自學能力。

華東師大主編的 《數學分析》教材已相當全面系統[3],無需作太大的調整與太多補充,只在個別地方作適當補充。如連續函數f(x)在區間I內只有唯一極值點,當取極大(小)值時必為在I內的最大(小)值,筆者在教學時給出了補充證明,因為這個命題對于判定實際問題中的極值是否是最值是很方便。而對于在后續課程中要學習的內容和比較繁雜的內容,如隱函數 (組)存在定理等,只介紹定理的條件和結論,有的甚至可以刪去不講,重在理解和應用,略去其證明。

2 在教學中滲透數學建模思想

1)數學建模思想在概念、定義教學中的融入 如教材中以“ε-N”、“ε-δ”語言給予形式化精確描述的極限概念,由于這種描述高度抽象與概括,造成初學者難以用自已的思想去思考、理解它的含意,只能把它看作是一些干巴巴的數學符號,不加理解地死記它,久而久之就失去了學習的興趣。為解決這個問題,可引入一些直觀的背景材料和方法,如我國古代數學家劉徽的 “割圓術”、某類幾何圖形按一定規則的變化、一組實驗數值的演變、一條坐標曲線上點的變化等,盡可能地向學生展示極限定義的形成過程,挖掘極限定義的實質[4],展示利用 “ε-N”、“ε-δ”語言證明極限問題的解題思路的探討過程和解題規律的概括過程,從而使學生理解 “極限”這個概念模型的構建過程。若條件允許,利用教學軟件演示上述圖形或數值的變化過程,既省時又直觀,效果更佳[5,6]。

2)在教學中選取相應的數學模型進行案例教學 教學中,根據不同的教學內容,選編相應的數學模型進行案例教學,如表1。

表1 不同的教學內容及相應的數學模型案例

3 體現數學思想,培養辯證思維能力

在 《數學分析》中,ε-δ語言就充滿辨證思維方式的色彩,它深刻的思想在于用有限量來描述和刻劃無限過程,實現有限與無限之間的矛盾轉化[7]。如用ε-δ語言表述函數f(x)當x→x0時存在極限A的定義是:

設f(x)在點x0的某個空心鄰域U0(x0;δ′)內有定義,A是常數,若對任給的ε＞0,存在正數δ(＜δ′),使得當0＜|x-x0|＜δ時有:

則稱函數 f(x)當x趨于x0時以A為極限。

在上述定義中,一開始就給定了ε可任意小,從而式|f(x)-A|＜ε就體現出f(x)無限逼近于A的趨勢,而ε一旦給出,它就成為一個確定的量,ε具有可變與確定的二重性,但并未違背同一律。這正說明辨證邏輯承認事物的同一性,但這種同一只存在于事物運動變化、對立差異之中的原則。

《數學分析》中到處充滿著辨證思維的結果。如定積分的產生即是如此,“曲”與 “直”、“變速”與“勻速”等的矛盾,最終歸結為有限與無限的矛盾,矛盾的解決在于辨證思想的正確引導。容易看到,由于微積分豐富的辨證思想往往不是呈現在其內容的語言形式上,而是隱含在其概念、命題和推理的整個過程之中,甚至常常被成串的邏輯形式所湮滅,因此,在教學中教師應通過深入揭示事物內部矛盾挖掘辨證思想,通過綜合、概括和辨證思維的飛躍式思維方式解決矛盾。長此以往,潛移默化,使學生辨證思維的發展與形式邏輯水平提高相得益彰。

4 積極倡導多媒體技術在教學中的應用

多媒體作為現代化的技術,為數學這一 “思維的藝術體操”提供了一個嶄新的 “表演舞臺”,使《數學分析》課堂取得了 “效率高、印象深、氛圍好、感受新”的明顯的正面效應,尤其是多媒體那獨特的 “全方位、多視角、多層次、多變化”的立體式的表演功能,使抽象的數學教學成了直觀的可操作的 “模擬實驗”。但 《數學分析》有其自身特點,在教學中起主導作用的教師,有條有理、生動形象、富有啟發性的講授,重點突出、條理清晰、布局合理的板書,組織指導學生合作交流、啟發學生積極思維、引導學生學會學習以及分析、評價學生的學習水平等,是計算機永遠不能取代。所以在實際教學中不能不用多媒體技術,但也不能濫用。具體把握的準則是以傳統教學手段為主,以多媒體課件為輔。在課堂上課件一般只能用幾分鐘或十幾分鐘,重點用來幫助教師講清楚用其他教具所不能講清的問題,把一些抽象的理論內容或不易觀察清楚的內容通過二維或三維動畫形式信息處理和圖像輸出,表2總結了一些平常教學時需要用到多媒體輔助教學的內容,供大家參考。

表2 一些平常教學時需要用到多媒體輔助教學的內容

5 注重計算能力的培養

《數學分析》是數學專業的一門重要基礎課,學得好與壞常作為衡量學生基礎是否扎實的一個重要標志,當然也是影響后續課程學習的重要一環。正因為如此,《數學分析》的教學及課程建設在許多學校都受到高度重視[8]。總體上講,《數學分析》的教學水平是不斷提高的,但是也應該看到,在教學中仍存在一些問題,比較突出的就是不是很注重學生計算能力的培養。《數學分析》的傳統教學非常注重邏輯推理能力培養,這對純數學專業的學生而言是非常有用的,但對偏應用的信息與計算科學專業就顯得有些過度了。在學時有限的情況下,需要把重心往提高學生的計算能力上移一移,因為在實際調查中筆者了解到,很多后續課程的教師發現信息與計算科學專業的學生計算速度和準確率趕不上工科學生的(關于這一點那些換專業考研的學生也深刻體會到),更何況還有教師反映有些學生在學了 《數學分析》之后連重積分都不會積。這顯然對學生整體水平的提高沒有任何益處,因此必須結合信息與計算科學專業的培養目標和特點,在教學中不但應該培養學生的邏輯推理能力,而且還要重視計算能力的培養,課堂上增加計算題的講解,課后加大作業中的計算題訓練,在考試中也要多出些計算題。

[1]教育部數學與統計學教學指導委員會數學類教學指導分委員會.關于 《信息與計算科學》專業辦學現狀與專業建設相關問題調查報告 [J].大學數學,2003,19(1):1-4.

[2]岑仲迪,奚李峰.信息與計算科學專業建設的探索與實踐 [J].大學數學,2009,25(3):1-5.

[3]華東師范大學數學系.數學分析 [M].第3版.北京:高等教育出版社,2003.

[4]馬統一.《數學分析》課程教學的改革與實踐 [J].河西學院學報,2009,25(2):103-108.

[5]韋程東,羅雪晴,程艷琴.在數學分析教學中融入數學建模思想的探索與實踐 [J].高教論壇,2008,6(3):77-79.

[6]黃敬頻.淺談數學建模思想在數學分析教學中的滲透 [J].廣西大學學報(自然科學版),2003,28(S2):21-24.

[7]于妍,李麗鋒,唐宏偉.《數學分析》教學方法初探 [J].遼寧教育行政學院學報,2008(1):158-159.

[8]劉榮輝,孫鳳芝.數學分析教學方法的改革探討[J].高師理科學刊,2010,30(1):82-82.