邏輯學在《數學分析》教學中的應用

何先平，宋述剛

(長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

邏輯學在《數學分析》教學中的應用

何先平，宋述剛

(長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

在《數學分析》教學中，運用邏輯學的原理與方法，闡明《數學分析》的分析與綜合方法，揭示極限等重要概念中的性質判斷的定義結構，有助于突出教學重點，分解教學難點，使學生深入理解和掌握《數學分析》的基本概念與思想方法，從而提高《數學分析》的教學質量。

數學分析；邏輯學原理；分析；綜合

在科學發展的初期，數學被包含在哲學的母體之中。邏輯學是研究思維的邏輯形式、基本規律與方法的學科，它與數學有著十分密切的關系。在它的發展過程中，不斷借用數學的思想方法，反過來又促進數學的發展。《數學分析》是大學相關專業十分重要的基礎課程，蘊含著豐富的邏輯思維原理與方法。《數學分析》充分運用了分析與綜合的邏輯思維方法，其基本概念——極限的定義，被稱之為典型的分析語言，即是分析與綜合的體現，其中包含了一些全稱判斷與特稱判斷，由此構成一個復合判斷。極限的概念與方法，貫穿于《數學分析》的始終，既是教學的重點，也是教學的難點，其教學歷來受到特別的重視。因此，在《數學分析》教學中，運用邏輯學的原理與方法，對提高教學質量有著非常重要的意義。

1 分析與綜合

分析法與綜合法則是常用的普通邏輯思維方法。分析法就是把復雜的事物或過程分解成各個部分、局部或階段，然后用孤立、靜止的觀點逐個對其研究，從而得出事物的微觀性質；而綜合法則是把事物的各個部分或階段的微觀性質有機整合在一起，把握事物的整體、宏觀性質。通常人們往往將這兩者先后結合起來，達到認識事物的目的。概念、判斷、推理是思維的基本形式，因而數學概念就是教學中首先要注重的對象。《數學分析》的基本概念，例如極限、微分、積分的定義都采用了分析與綜合的方法。下面以極限與定積分的概念為例說明。

|an-a|<0.1 |an-a|<0.01 |an-a|<0.002 …

對于上述每個變化階段，用孤立、靜止的觀點研究它們，所得條件是自變量n必須大于某個正整數。這樣的變化階段有很多很多，它們具有上述類似的特征，運用邏輯量詞符號，將其綜合、概括起來即為：

?ε>0,?正整數N，當n>N時，都有|an-a|<ε

的近似值的極限值即為它的精確值。上述過程中的分割、近似即為分析，而作和、取極限則為綜合，定積分的概念是分析與綜合相結合的完美范例。

2 判斷與否定判斷

判斷是對思維對象有所斷定(即肯定或否定)的思維形式。數學中的判斷大量存在于數學的概念與推理之中。在《數學分析》中，很多判斷屬于性質判斷，即斷定對象具有或者不具有某種性質的判斷。如：①函數f(x)在區間(a,b)可導；②函數f(x)在區間[a,b]不可積。

性質判斷按對象的數量劃分，可分為單稱判斷、全稱判斷和特稱判斷；按性質劃分，又可分為肯定判斷與否定判斷。否定一個全稱判斷，須用特稱判斷，而否定一個特稱判斷，則須用全稱判斷。

《數學分析》大多數基本概念的定義由全稱判斷和特稱判斷構成，如極限、上(下)確界、有(無)界函數、微分、積分等。這些概念都是教學的重點與難點。特別是教學之初就涉及到的極限概念，學生對其正概念，尤其是對其負概念中的“ε-N語言”、“ε-δ語言”的理解和掌握容易產生障礙，究其原因，筆者認為是教學中缺乏邏輯學的指導。

?ε>0，?正整數N，當n>N時，都有|an-a|<ε

這是一個復合判斷。其中?ε>0…引導一個全稱肯定判斷，而這個判斷之中，又包含一個特稱肯定判斷：?正整數N…，一個全稱判斷?n>N…。

?ε0>0，?正整數N，?n0>N，使得|an0-a|≥ε0

同理，數列{an}發散的定義為：

?a∈R，?ε0>0，?正整數N， ?n0>N，使得|an0-a|≥ε0

類似地，可以討論各種類型的函數極限的定義及其否定形式。

此外，在邏輯推理(例如反證法)中，也經常涉及到全稱判斷和特稱判斷及其否定。

3 結 語

除了上面提到的邏輯學原理與方法以外，《數學分析》還大量運用了演繹推理、歸納推理、類比推理等邏輯推理論證方法與普通邏輯的基本規律，如同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。學習與掌握一定的邏輯學知識，不僅可以促進數學的學習，而且可以指導數學的教學。

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M]. 第3版.北京：高等教育出版社，2001.

[2] 陳紀修.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3] 吳家國.普通邏輯原理[M]. 北京：高等教育出版社，1994.

[4] 吳家國.普通邏輯述評[M].上海：上海人民出版社，1990.

[5] 宋述剛，陳忠.微積分理論中的辯證法規律與辯證思維方法[J].長江大學學報(自然科學版)，2005，2 (10)：385-386.

[6] 屈婉玲，耿素云，張立昂.離散數學[M].北京：清華大學出版社，2005.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.02.047

N4

A

1673-1409(2011)02-0135-02

2010-12-24

何先平(1965-)，男，1985年大學畢業，碩士，副教授，現主要從事數理統計方面的教學與研究工作；E-mail:hexp@yangtzeu.edu.cn。