跳頻信號功率譜密度估計

楊新鋒，曹媛姝

(1.西安電子科技大學電子工程學院，陜西西安 710071;2.西安富士達科技有限公司科技部，陜西西安 710077)

為奪取現代戰爭的勝利，世界各國都在提高軍事裝備的通信對抗能力。跳頻通信作為通信對抗的一部分，以其良好的抗檢測、抗干擾，低截獲概率及組網能力，在軍事通信中得到了快速發展。跳頻技術的出現，在軍事通信領域得到了廣泛的應用，軍事通信采用跳頻技術的短波、超短波電臺，極大地提高了軍事裝備的抗截獲和抗干擾能力［1］。

1 跳頻通信系統的組成

(1)跳頻信號的產生。

圖1為跳頻信號的產生與發射系統。信源產生的信號，經過調制器的相應調制，獲得載波頻率固定的已調波信號形式，再與頻率合成器輸出的載波信號進行混頻，輸出的已調波信號載波頻率達到射頻通帶的要求，然后經過高通濾波器處理后，至天線發射出去。

在跳頻信號的產生和發射過程中，跳頻器是跳頻系統的核心，它由頻率合成器和跳頻指令器構成，由跳頻指令來控制頻率合成器產生適合系統性能指標要求的跳頻頻率信號，該跳變頻率是一個隨時間變化的頻率信號。這種跳頻系統的頻率跳變規律稱為跳頻圖案［2－3］。

圖1 跳頻信號產生

(2)跳頻信號的接收。

跳頻信號的接收系統如圖2所示。在接收端，接收到的信號通過輸入回路處理后，送至混頻器，再與跳頻器產生的載波信號混頻。接收機的本振信號也是頻率跳變信號，它的跳變規律剛好與發送端一致，但是在頻率上有個差值，正好為接收機的中頻頻率。只要發收雙方的跳頻指令同步，就可以使收發兩端的跳頻源，也就是頻率合成器產生的跳變頻率同步，經過混頻后會產生一個中頻信號和組合波頻率成分，這些混合信號通過帶通濾波器和解調器，可以濾除組合波頻率成分，恢復出發送的信號。在接收過程中，接收機中的跳頻器必須受同步指令的控制，確定跳頻的開始和結束時刻，這樣可以有效地抑制干擾信號，不會對跳頻系統產生干擾。

圖2 跳頻信號接收

(3)跳頻信號的波形。

圖3為跳頻信號的時域波形圖。從圖中可以看出，跳頻信號的波形和定頻連續信號的波形不同，它是不連續的，因為跳頻器產生的跳變載波信號之間不連續。頻率合成器從接受跳頻指令開始到完成頻率的跳變有一定的切換時間，頻率合成器從接受指令開始建立振蕩到達穩定狀態的時間叫做建立時間，從穩定狀態到達振蕩消失的時間叫消退時聞，穩定狀態持續的時間叫駐留時間。從建立到消退的整個過程叫做跳頻信號的一跳，持續時間叫做一個跳周期，記作Th。建立時間加上消退時間叫做換頻時間。只有在頻率穩定的時間TD內才能有效地傳送信息。

圖3 跳頻信號的波形

2 跳頻信號功率譜密度的估計分析

跳頻信號是典型的隨機信號，而跳頻信號本身的傅里葉變化是不存在的，因此無法像確定信號那樣用數學表達式來精確地描述它，而只能用它的各種統計平均量來表征。自相關函數最能完整地表征它的特定統計平均量值。而一個隨機信號的功率譜密度正是自相關函數的傅里葉變換，可以用功率譜密度來表征它的統計平均譜特性。因此，在統計意義下描述一個隨機信號，就需要估計它的功率譜密度。功率譜估計在其他應用中也有著重要的作用，如設計最優線性濾波器，測量噪聲頻譜，檢測埋沒在寬帶噪聲中的窄帶信號［4－5］，以及用噪聲激勵法估計線性系統的參數等，都要估計功率譜，因此隨機信號的功率譜估計是當前信號處理中一個重要的研究課題和研究工具。

(1)功率譜密度的定義。

信號f(t)的能量:由電壓在1 Ω電阻上消耗的能量

若積分值存在，信號的能量為有限值，對于能量無限大的信號，考慮能量的時間平均值，這顯然是信號的平均功率。

信號的平均功率即為電壓f(t)在1 Ω電阻上消耗的平均功率

其中，T為求平均的時間區間。功率譜密度能更好地描述功率信號，能表示信號的功率密度隨頻率變化的情況，研究功率譜密度，可以了解信號的功率分布情況，確定信號的頻帶，在信號處理中非常的重要。以下主要研究功率譜密度。

只要 T為有限值，則 fT(t)的能量ET也是有限值。

設FT(ω)為fT(t)的頻譜函數，這樣fT(t)的能量ET為

因為

因此平均功率S為

當T增加時，fT(t)的能量和也增加。當T趨于無窮時的極限可能存在，令，此極限為功率譜密度。

信號f(t)的功率又可表示為

功率譜密度是頻率的時偶函數，信號的頻率等于各個頻率分量單獨貢獻的功率連續和，反映了信號能量在頻率軸上的分布情況。

(2)功率譜估計方法改進。

功率譜估計有多種方法，一般可分為參數化方法和非參數方法。非參數方法中較為常用的是韋爾奇方法，這種方法屬于經典譜估計的一類，周期圖法，以下從經典譜估計，周期圖法出發，分析改進跳頻信號的功率譜密度。

經典的周期圖方法:計算出樣本信號序列的傅里葉變換，然后取變換結果幅值的平方，并除以樣本序列的個數作為真實功率譜的一個估計，通過除以樣本長度，確保了這個估計值是漸進無偏的，即對于固定的樣本長度，周期圖方法是有偏的，當樣本長度趨于無窮大時，周期圖方法的期望值趨向于真實的功率譜密度。

假設一個信號xn，功率譜的粗略估計為

基本的周期圖估計方法效果并不好，它的估計方差很大，而且不滿足一致性估計的條件，即方差不會隨著樣本數的增大而趨于0。

取跳頻信號的參數:跳頻圖案fk=5∶50∶255;采樣頻率 fs=600 Hz;跳頻信號駐留時間 t=0∶(1/fs)∶(0.25－1/fs);跳變時刻忽略不計。

取長度為1024和長度為256仿真對比，就明顯看出隨著FFT長度的增長，周期圖并沒有變得更平滑。

對于周期圖的改進，一方面，不用矩形窗，而采用合適的窗函數來消除由矩形窗旁瓣帶來的譜失真;另一方面，將長度為N的數據分成若干段，分別求出每一段的功率譜，然后加以平均，甚至允許每段數據有部分重疊。以下是兩種方法的效果。

首先，可以嘗試用平均法降低功率譜估計的方差，先采用將數據分成不重疊的數據，然后求平均的周期圖。

圖6 平均周期圖

可以直觀地看出，圖6比前面的估計結果要平滑得多，理論上這一估計結果的方差是前面單純256樣本估計結果方差的1/3。所以，平均的段數越多，估計結果的方差也就越小。但是信號的長度限制了分段的數目，要獲得更多的分段，可以將信號分割成重疊的段。由于重疊的段會使各段之間具有統計相依性，反而會導致方差增大，所以在分段數目與重疊之間的選擇上存在一個折衷。而且，隨著分段的增加，雖然方差減小了，但估計的偏差會變大，因此在使用平均周期圖法時，需要在估計期望值偏差和估計方差之間進行權衡。

圖7 平均周期圖(128樣本重疊)

其次，使用窗函數的方法，即在周期圖前給每段信號加一個數據窗，改進周期圖估計方法。因為窗兩邊漸變為0，所以這種方法降低了由于重疊導致的段間統計相依的效應。

圖8 平均周期圖(非重疊，矩形窗)

圖9 平均周期圖(非重疊，漢寧窗)

取矩形窗和漢寧窗為例，分析信號的平均周期圖，從仿真圖可以看出，漢寧窗對減小“旁瓣效應”，即功率譜泄露，能起到一定的效果，也可以使峰值的寬帶增大。多次實踐表明，取合適的漢寧窗和一半段長度的重疊率，可以最有效的降低估計的偏差。這種改進周期圖方法就是韋爾奇方法。

由以上仿真圖結果可知，韋爾奇估計比上面的仿真圖要低一些，因為Pwelch函數將計算的功率譜結果除以抽樣頻率Fs，因此才有這樣的結果。

3 韋爾奇方法的偏差和正規化分析

通過前面的功率譜計算，從圖中可看出，在5 Hz，55 Hz，105 Hz，155 Hz，205 Hz 和 255 Hz 有明顯的譜峰，而且譜峰的高度基本相當，這和所取的信號幅度所對應。這些數值只是相對值，功率譜圖無法給出波形的實際絕對幅度。而解決這一問題的辦法，要對功率譜圖作正規化處理。

韋爾奇方法理論推算表明，它的功率譜估計的理論期望與真實功率譜值間有一定的關系，為

顯然，期望值并不等于真實的功率譜密度，因此這個估計是有偏的。W(ω)是窗函數的離散傅里葉變換，而標度因子是窗函數的平方和。為

這說明，只要W(ω)的主瓣寬帶比各譜峰的距離窄，如果Px(ω)在頻率ω0處有一個高度為1的譜峰，則譜估計對應的譜峰高度為所以，要獲得一個反映實際功率譜譜峰高度的估計，可以將Pwelch函數的結果乘以norm2(w)/sum2(w)，這里w窗函數向量，這樣得到的功率譜估計，就與窗的長度和形狀關系不大。

采用不同的窗函數，漢明窗和漢寧窗。相同長度，相同噪聲，相同信噪比仿真如圖12，圖13所示。

采用相同的窗函數，漢寧Hanning窗。長度不同，噪聲相同，信噪比相同，仿真如圖14和圖15所示。

圖14 256，漢寧窗

圖15 356，漢寧窗

4 功率譜估計的置信區間分析

計算功率譜估計時，功率譜估計的置信區間計算非常重要，通過置信區間的計算，就可以定量地知道所得功率譜估計結果在統計意義下的可信程度。

圖16 功率譜估計95%置信區間

圖16表明，真實的功率譜曲線概率有95%的可能性在這兩條曲線之間。估計置信區間時，只有在分段無重疊的情況下，才有可靠性，如果在重疊的情況下，計算置信區間，其結果不可靠。經過多次仿真表明，置信區間與窗函數的形狀和長度，采樣頻率，FFT長度等有密切關系，要想得到合適的信號置信區間圖，就要多次仿真，得到合適的參數。

5 結束語

本文主要對跳頻信號的功率譜做了分析，就經典的周期圖方法出法，指出此方法的不足，再從改進經典周期圖方法的思路出發，仿真分析了改進后的功率譜，得出韋爾奇方法的可行性。然后分析了韋爾奇方法的偏差和正規化及功率譜估計的置信區間。

［1］ 陳亞勇.Matlab信號處理詳解［M］.北京:人民郵電出版社，2001.

［2］ 陸根源，陳孝幀.信號檢測與參數估計［M］.北京:科學出版社，2004.

［3］ 葛哲學，陳仲生.Matlab時頻分析技術及其應用［M］.北京:人民郵電出版社，2006.

［4］ 趙宏偉.基于時頻分布的跳頻信號參數檢測方法研究［D］.西安:西北工業大學，2006.

［5］ 張明照，何玉彬，劉政波，等.應用Matlab實現信號分析和處理［M］.北京:科學出版社，2006.