雙運算核提升小波變換的FPGA硬件實現

周新文，鐘明光

(1.西安電子科技大學電子工程學院，陜西西安 710071;2.西安電子科技大學機電工程學院，陜西西安 710071)

雙正交小波［1］具有對稱性，因此具有線性相位，有較高的正則性和消失距，能夠平滑地近似表示信號，使得小波變換后大系數盡可能地集中在圖像邊緣處及低頻子帶，適合于圖像壓縮。提升小波變換［2－5］是不依賴于傅里葉變換的新一代小波變換，運算量是傳統小波變換的50%。提升小波變換可以實現同址計算，這樣在運算中可以節省內存的消耗，易于硬件實現。同時提升方法的正反變換結構一致，只有正負號的區別。基于這樣的原因，應用提升運算實現傳統的雙正交小波變換，在圖像壓縮系統中具有一定意義［6－8］。

1 將雙正交小波變換分解為提升步驟

雙正交小波具有很多優良的數學性質，適合在圖像壓縮系統中使用。理論證明，可以將傳統的小波濾波器分解成提升步驟。將傳統小波變換轉換成提升運算，常見較簡單的分解方法是基于因式分解的方法，這里應用Euclidean算法實現。

小波濾波器組，應用Euclidean進行分解。將表示為奇數系數與偶數系數的和

由于ho(z)和he(z)互素，式(1)可進一步表示為

對于給定濾波器，通過下式可以得到一個濾波器g0，令

當i為偶數

當i為奇數

由式(4)和式(5)得

令 si(z)=q2i－1(z)，t(z)=q2i(z)得到

對于9/7小波濾波器分解為

結合小波濾波器的多相分解he(z)，ho(z)，ge(z)和go(z)，聯立方程組解得 α=－1.586 134，β=－0.052 98，γ =0.882 911，δ=0.443 506，k=1.149 604，得到9/7小波變換運算式如式(9)所示。

2 提升小波變換整體設計

采用3級小波變換，共6步一維小波變換操作，即第1層行變換，第2層列變換，第2層行變換，第2層列變換，第3層行變換，第3層列變換。模塊要求1個時鐘周期計算1個小波系數，進行實時處理。在FPGA中采用流水操作。假設1幀圖像的大小為N×N像素，進行小波變換。分析系統可以知道，第1層行列變換需要2×N×N個時鐘周期，第2層行列變換需要1/2×N×N個時鐘周期，第3層行列變換需要1/8×N×N個時鐘周期。

第1層行變換需要直接接收原始數據，因此時鐘頻率應當與數據同步時鐘一致，并且單獨設計。其余5步變換共需1.625×N×N個時鐘周期。要滿足1個時鐘周期產生1個小波系數，則后續5步變換模塊的時鐘頻率至少應當是第1層行變換時鐘頻率的1.625倍，這樣設計就會引入雙時鐘。

FPGA硬件設計中的多時鐘往往是造成系統工作不穩定的主要因素。設計時需要考慮的因素增多，因此設計難度增加。更高頻率，對于器件的要求會提高，需要更高性能的芯片。同時更高的頻率就意味著更高的功耗。基于以上考慮，本文在后續5步變換的設計中采用了雙變換核的模式。當前幀圖像的第1層行變換與上一幀圖像的后續5步變換并行進行。后序變換過程中，采用雙運算核設計，同時進行兩行(列)數據的運算，這樣就能夠能保證在使用單一時鐘的情況下，每個時鐘周期處理1個數據，達到實時處理的要求，這是本文設計的關鍵。這里引入一個新問題，就是上一步變換的結果需要進行數據組織，為下一步兩行(列)并行運算做好準備。小波變換模塊整體設計如圖1所示。

圖1 小波變換模塊框圖

3 小波變換模塊詳細設計

下面分運算模塊，控制模塊和數據組織模塊對硬件設計做一介紹。運算模塊負責主要的數據運算，控制模塊負責流程控制，數據組織模塊負責對上一步變換的結果進行組織，以滿足下一步兩行(列)變換的需要。

(1)運算核設計。小波變換運算核設計如圖2所示。運算核共涉及8個加法器和5個乘法器。由于前面輸入或者前中間運算結果數據在后序運算中需要用到。因此依據時序為相應的信號設置一定數量的寄存器組。采用流水設計，每步運算到相應寄存器中去取數，這樣保證數據時序對齊。同時運算中還需要處理的問題是邊界擴展。圖 2中的原始數據 x(n)，p(m)，q(y)和r(z)都需要作邊界擴展，每行(列)各擴展一個數據。其中x(n)和q(y)需要在右邊界作擴展，分別用第一個數據x(N)和q(Mi)，p(m)和r(z)需要在左邊界作擴展，分別為最后第一個數據p(0)和r(0)，Mi為第i層一維變換需要處理的數據個數的1/2。邊界擴展的時序同步由控制模塊負責。

圖2 小波變換運算硬件設計框圖

(2)控制模塊。控制模塊主要負責各步變換運算的啟動，停止，邊界擴展同步控制，變換模塊數據讀寫的使能，讀寫數據存儲地址的產生等工作。在設計中將第一層行變換進行單獨設計，后序5步變換進行集中設計。這里首先說明第一步行變換的流程控制，后序5步變換相似。

第1層行變換模塊主要作以下工作:1)接收外部數據，將運算結果送數據組織模塊。2)數據運算。3)產生寫數據地址信號以及寫使能信號。4)控制邊界擴展。5)產生外部存儲器RAM片選信號;f產生第一層行變換結束標志。數據按幀處理，幀內部按行處理。隨原始數據有幀同步和行同步信號。控制模塊依據同步信號來控制相應的計數器計數，以控制邊界擴展，產生寫使能，寫數據地址，RAM片選信號，第一層行變換結束標志等信號的產生。

第1層行變換結束，隨即啟動該幀數據的后序5步變換依次進行。后序5步變換進行獨立設計。同時后序5步變換依次控制兩個運算核進行運算，實現兩行(列)的并行處理，這是本設計的關鍵。

(3)數據組織模塊。數據組織模塊服務于運算模塊。分為兩個子模塊，org1和org2，分別負責行變換數據組織和列變換數據組織。行變換結束之后的數據都要參與列變換運算，在數據組織過程中將同行相鄰兩列兩個數據組織起來，存在一個存儲單元內，這樣在列變換時，讀取一次就能讀出來兩個分別屬于兩列的數據，再分別送給兩個運算核進行處理。數據組織及數據讀取如圖3所示。

圖3 行變換數據組織及列變換數據讀取示意圖

列變換數據組織模塊org2負責列變換結果數據組織。列變換結果只有第1層列變換后的LL1區域和第2層列變換后的LL2區域的數據參與下一層行變換，因此也只有這些數據需要進行組織，其他數據作為最終的變換結果。這些數據的組織是結合后序操作進行的，文中不予說明。列變換結果組織的目標是在行變換過程中讀取一次數據，可以讀取同一列相鄰兩行的兩個數據。數據組織形式與圖3所示類似。

4 試驗仿真

文中的設計在外部時鐘為50 MHz下通過仿真驗證。系統工作穩定可靠。仿真中主要參照C語言版本的數據。格外關注幀數據首尾、行列首尾的同步信號、控制信號、計數器和運算數據等。同時在行列中進行了大量的數據核對工作。在硬件設計中使用了數字時鐘管理模塊(DCM)，同時對時鐘和端口做了約束。仿真結果如圖4所示。

圖4 小波變換模塊仿真截圖

雙正交小波變換采用提升步驟進行計算，大大降低了計算量，同時由于雙運算核設計，系統能夠達到實時處理的要求。雙正交小波變換在圖像壓縮中性能優良。將小波變換作為圖像壓縮系統的一部分，進行了測試。測試過程中，將最終的小波系數按照編碼掃描的要求進行組織。結果顯示，該模塊能夠滿足圖像壓縮系統的要求，數據正確，壓縮性能優良，系統工作穩定。圖5給出了小波變換模塊應用于圖像壓縮編解碼系統的測試結果。圖5(a)為原始圖像，圖5(b)，圖5(c)和圖5(d)分別為8倍，16倍和20倍壓縮重構圖像。在20倍壓縮時，重構圖像依然比較清晰。

圖5 小波變換圖像壓縮測試結果

5 結束語

小波變換是圖像壓縮系統中的關鍵模塊。其端口定義明確，易于進行獨立設計。本文應用提升算法在FPGA硬件平臺上實現了小波變換。使用了雙運算核的設計，使得系統在不增加設計復雜性，不提高功耗的情況下，實現了數據的實時處理。系統通過了仿真驗證，工作穩定可靠，達到實用要求。

［1］ 崔錦泰.小波分析導論［M］.西安:西安交通大學出版社，1995.

［2］ DAUBECHIES I，SWELDEN W.Factoring wavelet transforms into lifting steps［J］.Journal of Fourier Analysis and Applications，1998，4(3):247 －269.

［3］ LIN T，HAO Pengwei，XU Shufang.Factoring m － band wavelet transforms into reversible integer mappings and lifting steps［C］.IEEE International Conference on Acoustics，Speech，and Signal Processing，2005(4):629 －632.

［4］ CHENG L，LIANG D L，ZHANG Z H.Popular biorthogonal wavelet filters via a liftings cheme and Its application in image compression ［J］.IEE Proc. － Vis.Image Signal Process.，August，2003，150(4):227 －232.

［5］ SWELDEN W.The lifting scheme a custom －design construction of biorthogonal wavelets［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，1996，3(2):186 －200.

［6］ 王文君，陳思錦，秦其明，等.基于雙正交小波的多分辨率遙感圖像數據融臺［J］.現代電子技術，2004(5):33－36.

［7］ 都伊林，戴文琪.雙正交小波提升系數的遞推算法與實現［J］.現代電子技術，2006(8):77－80.

［8］ 胡濤，黃鋁文，張鵬.基于雙正交小波變換在灰度圖像壓縮中的應用［J］.現代電子技術，2004(21):84－86.