通訊網絡中二維群體運動的一致性

許真錚，王隔霞

（上海電力學院數(shù)理學院，上海 201300）

近年來，群體運動的研究受到廣泛關注.文獻［1］研究了在切換通訊網絡連接方式下一維動力學個體的一致性;文獻［2］和文獻［3］研究了在固定通訊網絡連接方式下一維動力學個體運動的穩(wěn)定性.由于這些研究中個體的位置變量和速度變量均為一維情形，其結論不能推廣到二維，因此筆者對通訊網絡中二維群體運動的一致性問題進行了進一步的研究.

筆者將個體運動虛擬為二維的動力學行為，并考慮其在固定通訊網絡連接下群體運動的一致性，同時考慮到外部環(huán)境對速度的反饋控制和相鄰個體間的相互影響，發(fā)現(xiàn)二維群體運動的最終位置和速度的一致性與一維并不相同.在二維系統(tǒng)中，個體運動速度最終趨于零，且位置集中于某一點.

對動力學個體的群體運動研究有利于理解自然與社會中的復雜運動：一方面能更好地揭示自然秘密，理解社會經濟活動的規(guī)律;另一方面，可促進其他領域科學的進步和發(fā)展，督促人們不斷完善和發(fā)展新技術［4-6］.因此，對其進行透徹詳細的研究十分必要.

1 數(shù)學模型的建立

由M個二維動力學個體組成一類動態(tài)群體，個體與個體交流的通訊網絡由一個無向圖G= （V，A）表示［7-10］，圖中的頂點Pi代表群體的第i個個體，由于無向圖中的邊eij∈ε，說明個體Pi與個體Pj之間有信息交換.設這類群體中的個體Pi具有相同的動力學特征，用xi=（xi1，xi2）T∈R2表示個體Pi的位置狀態(tài)，vi=（vi1，vi2）∈R2表示個體Pi的速度狀態(tài)，則其動力學方程表示為：

文獻［1］中，每個個體的位置和速度都是一維的，但在本文中將其看成二維，并作平面運動，也符合實際情況.雖然從式（1）來看與一維的形式一樣，但由于反饋K中有了耦合項，其結果將與一維不同.

引理1具有M個頂點的無向圖G連通時，有如下性質［3］：

定義如果常向量x0=（x01，x02）T∈R2，控制反饋K滿足

多個個體形成的動力學系統(tǒng)的整體表示如下.

引理2 M個二維動力學個體按照式（1）的運動規(guī)律在圖G=（V，A）連接下的動力學行為可表示為：

式中，φ=IM?（A+BK）－LG?BF，而LG是圖G= （V，A）的Lapalicain矩陣.

證明由式（1）可知：

2 一致性的證明

針對式（2）中的矩陣φ我們有如下引理.

證明根據(jù)直積運算性質可得：

引理4當圖G=（V，A）連通時，存在正交矩陣WG∈RM×M，使得（W－1G?I4）φ（WG?I4）為對角塊矩陣.

證明因為該圖是無向圖，即aij=aji，從而矩陣LG為對稱矩陣.

由引理1可知，rank（LG）=M－1，并且LG有特征值0=λ1＜λ2≤λ3≤…≤λM.

由對稱矩陣必可正交對角化知，存在這樣的正交陣WG∈RM×M，使得：

證畢.

下面要說明對于上述連通圖，存在公共的反饋K，使得（W－1G?I4）φ（WG?I4）為Hurwitz穩(wěn)定.

引理5當反饋K同時滿足k11+k22＜0和k11k22－k21k12＞0時，對于任意的連通圖G=（V，A），矩陣（W－1G?I4）φ（WG?I4）的特征值除去兩個一階的零特征值之外全小于零.

證明由式（6）可知，當i=1時，

由引理5及相似矩陣特征值相同可知，φ的特征值也具備除去兩個一階的零特征值之外全小于零的性質.

證明根據(jù)上述性質，對于此反饋K有：設J是φ的Jordan塊，則存在矩陣S∈R4M×4M，使

同理可計算出φ（WG?I4）S的前兩列為04M×2，故（WG?I4）S的前兩列可選為wrd，其中d為待定矩陣.

定理1表明，當個體的位置變量選為二維時，其最終位置不但與初始位置有關，而且與反饋有關.這與一維不同，在一維情形下，最終位置只與其初始位置有關，與反饋無關.

3 數(shù)值仿真

現(xiàn)在考慮由6個個體形成的二維切換網絡拓撲結構，其個體相互間的關系如圖1所示.

圖1 二維網絡下個體通訊交流的連接關系

群體運動的二維位置軌跡與速度軌跡如圖2所示.

圖2 群體運動的二維位置軌跡和二維速度軌跡

群體運動的二維位置分量1和位置分量2關于時間的變化軌跡見圖3和圖4.

圖3 位置分量1關于時間的變化軌跡

圖4 位置分量2關于時間的變化軌跡

圖5 速度分量1關于時間的變化軌跡

圖6 速度分量2關于時間的變化軌跡

由推導后的公式可得：

比較后發(fā)現(xiàn)，計算數(shù)值與模擬所得的結果相一致.

4 結論

（1）群體行為在固定網絡下具有一致性;

（2）大多數(shù)的二維動力學個體都符合動力學方程，其運動的速度為位移的導數(shù)，所受力的大小和方向由自身速度和鄰居個體的速度對自身的反饋決定;

（3）二維動力學個體最終會達到速度趨于零，位置集中于某一點的狀態(tài).

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（編輯蘇娟）