“高觀點(diǎn)”下以對數(shù)函數(shù)為命題背景的高考試題研究

王博威

（浙江省德清縣綜合高級中學(xué)，浙江 德清 313200）

例1（2007山東卷，22） 設(shè)函數(shù)（f x）=x2+bln（x+1），b≠0。（I）當(dāng)b＞時(shí)，判斷函數(shù)（f x）在定義域上的單調(diào)性；（II）求函數(shù)（f x）的極值點(diǎn)；（III）證明對任意的正整數(shù)n，不等式ln都成立。

近年來以對數(shù)函數(shù)為命題背景，結(jié)合高數(shù)知識、初等數(shù)學(xué)的最新研究成果的探究性試題在全國各地高考試卷中占有一定比例，且有逐年增大的趨勢。這就要求教師多運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的方法解釋一些初等數(shù)學(xué)中的問題，這種“高觀點(diǎn)”教學(xué)對拓展學(xué)生的解題思路，提高解題能力，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣大有裨益。

一、以對數(shù)函數(shù)y=lnx的基本不等式為背景設(shè)計(jì)的考題

分析：（I）、（II）略。至于（III），如果能夠想到令x=n-1，通過做輔助函數(shù)F（x）=ln（1+x）-x2+x3，那么（III）的證明將成為非常容易的事情。我們要問的問題是：命題者是在什么背景下想到這個(gè)不等式的？事實(shí)上，學(xué)過高等數(shù)學(xué)的人都知道，關(guān)于對數(shù)有如下的基本不等式＜ln（1+x）＜（x＞-1），此不等式可利用導(dǎo)數(shù)的知識證之。在上述不等式中令x=n-1，則得。這樣上述的（III）是否成立就轉(zhuǎn)化為：是否成立？即＜1是否成立？然而，當(dāng)n≥1時(shí)是顯然成立的。

二、以函數(shù)y=xlnx的凸性為背景設(shè)計(jì)的考題

琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等號成立條件）設(shè)f（x）為凸函數(shù)，則f[（x1+x2+…+xn）/n]≤[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]/n（下凸）；f[（x1+x2+…+xn）/n]≥[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]/n（上凸），稱為琴生不等式（冪平均）。

例2（2004全國卷（II，22））已知函數(shù)f（x）＝ln（1+x）－x，g（x）＝xlnx。

（1）求函數(shù)（f x）的最大值；（2）設(shè)0＜a＜b，證明：0＜g（a）＋g（b）－＜（b－a）ln2。

分析：（1）略。（2）中的第一個(gè)不等式，實(shí)際上就是凸函數(shù)的定義，或者說就是n=2時(shí)關(guān)于凸函數(shù)g（x）=xlnx的Jensen不等式。事實(shí)上，由g（'x）=lnx+1，g'（'x）=x-1＞0可知g（x）在（0，+∞）上是凸函數(shù)，因此由凸函數(shù)的定義第一個(gè)不等式成立。進(jìn)一步，熟悉凸函數(shù)的幾何性質(zhì)的答題者不難想到構(gòu)造出輔助函數(shù)：G（x）=g（a）+g（x）-），再利用G（x）的單調(diào)性就可證之。受第一個(gè)不等式的證法啟示，在證明后一個(gè)不等式時(shí)，容易想到構(gòu)造出輔助函數(shù)：F（x）=（x-a）ln2-G（x），然后再利用F（x）的單調(diào)性就可證之。

三、以對數(shù)函數(shù)為載體運(yùn)用拉格朗日中值定理的綜合考題

由拉格朗日中值定理可知，若對任意的x1，x2∈（a，b），（x1≠x2）設(shè)，則應(yīng)有的取值范圍與f（'x），x∈（a，b）的取值范圍相同。

例3（2010遼寧，21）已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax2+1。（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)a＜-1，如果對任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|，求a的取值范圍。

解：（1）略 （2）試卷提供的參考答案相當(dāng)麻煩，即使學(xué)生知道答案寫起來也相當(dāng)費(fèi)勁，但如果用拉格朗日中值定理來做，過程就非常簡單且能準(zhǔn)確得出答案，以下為筆者的解答過程：當(dāng)x=x時(shí)，a∈R；當(dāng)x≠x時(shí)由題得1212≥4，由拉格朗日中值定理可得|f（'x）|≥4，即≥4在x∈（0，+∞）上恒成立，又∵a＜-1，∴≥4解得a≤-2或a≥1（舍去），∴a≤-2。

由此題可以看出，當(dāng)題目中涉及到連續(xù)函數(shù)中任意兩點(diǎn)間的割線斜率范圍時(shí)，可以利用拉格朗日中值定理將割線斜率轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)，這樣可以快速簡化題目并且可以避免討論。

從以上幾題的解答過程可以看出，運(yùn)用“高觀點(diǎn)”認(rèn)識中學(xué)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，可以將中學(xué)數(shù)學(xué)的一些數(shù)學(xué)問題條件或結(jié)論加以改造。這種過程對思維方法會(huì)有全面的認(rèn)識，還可以對問題有新的認(rèn)識并得出新的結(jié)論，獲得成功的體驗(yàn)，使解題居高臨下，跳出題海。