基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

趙蕾

（華中師范大學(xué)，湖北武漢430079）

1.引言

在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，信號(hào)中經(jīng)常混有各種復(fù)雜成分，所以很多信號(hào)的處理和分析都是基于濾波器而進(jìn)行的。但是傳統(tǒng)的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程復(fù)雜、濾波特性調(diào)整困難，利用MATALB信號(hào)處理工具箱(signal processing toolbox)可以快速有效地實(shí)現(xiàn)由軟件組成的常規(guī)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)、分析和仿真，極大地減輕了工作量，有利于濾波器設(shè)計(jì)的最優(yōu)化。

2.IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

2.1 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR濾波器

脈沖響應(yīng)不變法就是要求數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)序列h(n)與模擬濾波器的脈沖響應(yīng)ha(t)的采樣值相等。根據(jù)模擬信號(hào)的拉普拉斯變換與離散序列的Z變換之間的關(guān)系，我們知道：

將Ha(s)映射為H(z)，即得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：

2.2 雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象，為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用雙線性變換法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到s1平面上的-π/T～π/T之間，再用z=eS1T轉(zhuǎn)換到z平面上。

這里用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：

最終得到的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

3.IIR數(shù)字巴特沃斯濾波器的MATALB實(shí)現(xiàn)

3.1 MATALB信號(hào)工具箱函數(shù)簡(jiǎn)介

MATALB信號(hào)工具箱提供了幾個(gè)直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的函數(shù)，直接調(diào)用這些函數(shù)就可以很方便地對(duì)濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)。用MATALB工具箱函數(shù)設(shè)計(jì)數(shù)字巴特沃斯濾波器的函數(shù)如下：

(1)求最小階數(shù)N和3dB截止頻率的函數(shù)buttord

[N，wc]=buttord(wp，ws，Rp，As)，此處wp，ws分別為數(shù)字濾波器的通帶邊界和阻帶邊界頻率的歸一化值。Rp和As分別指通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。

(2)計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量B和A的函數(shù)butter

[B，A]=butter(N，wc，’ftype’)，計(jì)算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量B和A，參數(shù)ftype用來(lái)區(qū)分濾波器的類(lèi)型。

(3)求模擬濾波器Ha(s)的頻率響應(yīng)函數(shù)freqs

[H，w]=freqs(B，A，w)，計(jì)算M個(gè)頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)。頻響存于H向量中，M個(gè)頻率存放在向量w中。

(4)脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換函數(shù)impinvar和雙線性變換法的轉(zhuǎn)換函數(shù)bilinear

[Bz，Az]=impinvar(B，A，F(xiàn)s)和[Bz，Az]=bilinear(B，A，F(xiàn)s)，分別實(shí)現(xiàn)用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量為B和A的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

3.2 MATALB程序設(shè)計(jì)法示例

例1：設(shè)采樣頻率=4 kHz，分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃斯低通濾波器，其3dB邊界頻率為1000Hz。

設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

圖1給出了這兩種設(shè)計(jì)方法得到的頻響，虛線為脈沖響應(yīng)法得到的結(jié)果，實(shí)線為雙線性變換法的結(jié)果。

例2：設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯低通濾波器，性能指標(biāo)如下：通帶截止頻率6 KHz；通帶最大衰減ap=3dB；阻帶最小衰減as=25 dB；阻帶截止頻率12 kHz。假設(shè)輸入該濾波器的信號(hào)為混合信號(hào)，低頻信號(hào)f=5 kHz，高頻信號(hào)f=20 kHz，取樣間隔T=0.025 us，要求從輸入信號(hào)中濾除掉高頻信號(hào)，僅留下低頻信號(hào)。

設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

其幅頻和相頻響應(yīng)如圖2所示，輸入信號(hào)及濾波器的輸出信號(hào)如圖3所示。

3.3 利用FDATool界面設(shè)計(jì)示例

以3.2例2中濾波器的性能指標(biāo)為例設(shè)計(jì)IIR數(shù)字巴特沃斯低通濾波器，過(guò)程如下：在命令窗運(yùn)行FDATool，啟動(dòng)FDATool。界面如圖4所示。

在Filter Type中選擇lowpass(低通濾波器)，在Design Method中選擇IIR Butterworth（IIR巴特沃斯濾波器），在Filter Order中選擇Minimum order（滿足要求的最小濾波器階數(shù)），在Options選擇passband，在Filter Specifications和Magnitude Specifications中制定設(shè)計(jì)指標(biāo)（Fs=40 kHz，F(xiàn)pass=6 kHz，F(xiàn)stop=12 kHz，Apass=3dB，Astop=25dB）。指定所有的設(shè)計(jì)指標(biāo)后，單擊FDATool最下面的Design Filter按鈕即可完成濾波器的設(shè)計(jì)。

通過(guò)FDATool的工具條查看設(shè)計(jì)的濾波器的幅頻響應(yīng)、相頻響應(yīng)等。由此可見(jiàn)，利用FDATool工具設(shè)計(jì)更為簡(jiǎn)潔，不僅節(jié)省大量時(shí)間，還保證了準(zhǔn)確性。

4.結(jié)論

采用MATLAB設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，使原來(lái)非常繁瑣復(fù)雜的程序設(shè)計(jì)變成了簡(jiǎn)單的函數(shù)調(diào)用，為濾波器的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)開(kāi)辟了廣闊的天地。MATLAB信號(hào)處理工具箱為濾波器設(shè)計(jì)及分析提供了非常優(yōu)秀的輔助設(shè)計(jì)工具，在設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，善于應(yīng)用MATLAB進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)，能夠大大提高設(shè)計(jì)效率。

[1]高西全，丁玉美.數(shù)字信號(hào)處理[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2008

[2]陳懷琛，吳大正，高西全.MATLAB及在電子信息課程中的應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2006.