洋溢著數(shù)學智慧的符號化陳述課

[關注背景]

成都市特級教師鄭大明在廣元市北街小學承辦的四川省小學教育教學改革研究共同體第九屆數(shù)學論壇活動中，利用圓形和方形學具組織了一系列活動，帶領三年級學生將第一學段學過的對應與比較知識進行系統(tǒng)化學習與符號化陳述。教者向學生提供了充分參與數(shù)學活動的機會，利用學生已有知識經(jīng)驗和認知發(fā)展水平，實現(xiàn)了幫助學生理解和掌握基本的數(shù)學思想和方法的新課程要求，為數(shù)學思想方法的教學提供了很好的借鑒?，F(xiàn)將本課實錄剪輯、教授評語和老師們的聽課感想呈現(xiàn)給讀者，共同分享。

游戲中陳述引出對應問題

課前談話時，教師組織學生利用1、2、3等數(shù)字進行玩口令、唱歌曲、走舞步等活動，讓學生體會數(shù)字符號與動作、節(jié)拍等之間的對應關系。

師：剛才咱們玩數(shù)字，知道了像1、2、3、4這些數(shù)字，既可以帶著我們唱，又可以帶著大家跳。還有成語呀，歌曲呀，他們里邊都有數(shù)字。有趣嗎？

生：有趣。

師：下面來做個搶凳子的游戲，你們玩過嗎？

生：我們玩過。

課件出示：請四名同學上臺做游戲，每人只能坐一張凳子。第一輪：4人2張凳子。

師：請兩位男同學和兩位女同學上臺來。我先給大家編個號，不然一會兒誰贏了都不知道。

教師一邊說，一邊按從左往右的順序把寫有1、2、3、4的號碼牌貼在學生胸前。

師：你們圍在凳子周圍，聽老師播放的鼓聲。播放的時候就開始，停止的時候就坐下?？凑l能搶到凳子。準備，開始！

學生隨著鼓聲圍繞著凳子走動。停止時，四個學生全部擠到兩張凳子上，全班大笑。

師：不是玩過嗎？一人只能坐一張凳子，現(xiàn)在看看幾個人坐了一張凳子？

聽到老師的話后，一名男生擠了一下，另一名男生站了起來。

師：現(xiàn)在有個人被擠下去了。重來，再搶一次。

師：（播放鼓聲，學生再次圍繞凳子走動）停！

一名女生坐在了一張凳子上，另外三名學生先后擠在了另一張凳子上，全班大笑。

師：都坐下了？沒搶到的沒事兒。（邊說邊把兩名后坐上凳子的一名男生和一名女生請到旁邊，其他學生再次笑了起來），他們很想再去搶一下。

師：現(xiàn)在是幾號先搶到了？

生：2號和3號。

師：2號和3號搶到了。1號和4號剛好轉過去了。現(xiàn)在請大家想想，如果還要做游戲，這次的結果又怕忘了，怎么辦呢？

生：用筆寫在本子上。

師：“寫在本子上”，這個辦法不錯?，F(xiàn)在請把2號和3號寫在本子上。還有沒有其他辦法？

生：就是想他是幾號。

師：“想他是幾號”？現(xiàn)在你已經(jīng)知道他是幾號了呀？

生：找規(guī)律。

師：哦？找規(guī)律？現(xiàn)在我們是要把誰贏了的結果記下來。（課件出示凳子數(shù)與學生人數(shù)的對應圖，如圖1）請看，老師有一個辦法，怎么樣？上面我們用1、2、3、4這四個號碼表示同學，這個圈里有幾個同學？

生：（齊）4個。

師：現(xiàn)在哪些同學搶到了凳子？

生：（齊）2號和3號。

師：好，我們給他們記一個符號。

課件演示：用○表示凳子，在2號和3號正方形下面各記上一個○。

師：這樣是不是也記下來了？下一輪我們做了游戲，又再記一次。

教師課件出示：第二輪游戲，4人搶4張凳子。

師：下面我們要增加凳子了。

老師增加兩張凳子，一名學生笑了。

師：（問笑的同學）為什么笑?。坎粫粩D到外面了？（學生點頭）我們還是先試一下，看誰先搶到凳子。注意聽，開始！（教師播放鼓聲，學生圍繞四張凳子走動）停！

兩名女生各自搶到一張凳子坐下，另外兩名男生又先后擠到一張凳子上。后搶到凳子的男生又站起來，站在了旁邊。

師：又有人被擠到旁邊了。還剩一張凳子，誰的？（對那名站立在旁邊的男生說）你自己坐過去。

師：這次都坐上凳子了。好，請大家回到位置上去。謝謝他們!（四名學生回位，全班同學鼓掌）

師：剛才我們在擺凳子的時候，就有同學笑了，但是在搶凳子的時候還是有人沒有搶到。大家看，（教師邊講解邊演示：在1、3、4號正方形的下面各添上一個圓）1號、3號、4號先搶到凳子了，2號雖然沒有走過來，但是最后還是有1張凳子等著他。（教師在2號正方形下面增加1個圓，如圖2）

師：大家想一想，剛才第一次游戲，有人沒有凳子坐；第二次游戲每人都坐了1張凳子，什么原因？誰來告訴大家？

生：第一次游戲，凳子數(shù)比人數(shù)少。

生：因為第二次游戲人數(shù)和凳子數(shù)是一樣的。

生：我有一個問題，如果一個人坐了兩張凳子怎么辦呢？

師：對啊，如果一個人坐了兩張凳子，另一個人就沒有凳子坐了。我們剛才說過，每人只能坐1張。如果一個人坐了兩張，那另一個人肯定會被擠到外面去了。嗯，這個同學非常愛動腦筋。

全班同學給這名學生鼓掌。

師：大家想一想，一人一張凳子這種現(xiàn)象在數(shù)學上應該給它取個什么名字呢？

生：如果是四個人四張凳子的話，我覺得應該給它取“平均分”。

生：我覺得應該取“人凳相等”。

生：我覺得應該取“一模一樣”。

師：一模一樣？數(shù)字一模一樣，還是凳子和人一模一樣??？

生：我覺得是“一人一張”。

師：好，大家都取了很好的名字。在數(shù)學上有一個新的名字，這個名字可能大家一時想不到。下面我們做一個動作，（請兩名同學面對面站立）一男一女，他們站立的方向怎么樣？

生：（齊）相反。

師：相反？還可以怎么說？他們是臉對臉的，還是這樣的？（把其中一名男生快速轉動，讓他的背對著女生，然后又轉過來，面對著女生）

生：面對面。

生：相對的。

師：面對面，相對。嗯，這個新詞語慢慢就出來了，數(shù)學上也叫做相對。一個對一個，上面一個對下面一個，左面一個對右面一個。在數(shù)學上給它一個新的名詞：對應。聽說過沒有？（板書：對應）

師：剛才我們在做游戲的時候，是不是兩輪的人數(shù)和凳子都是對應的？（學生做了正確的回答）

師：第二輪凳子和人數(shù)一樣多，他們一看就笑了。那么大家想一想，生活中我們還看到過這樣一個對一個的例子嗎？

生：（齊）看見過。

生：墻對墻。

生：一只母蟬對一只公蟬。

生：一張課桌對一張椅子。

生：在鏡子里。

生：在水里也是這樣的。

師：水里和鏡子里一樣的，圖像和人對應。剛才有同學說一只公蟬對一只母蟬，那么就像我們剛才站起來的同學，一名男生對一名女生，一張課桌對一張椅子等，這就叫一個對一個，數(shù)學上就叫做“一一對應”。我們今天就簡稱它為“一對一”。（老師板書：1對1）

操作中陳述 體驗對應方法

1.數(shù)圖形：體會多少與倍數(shù)

課前教師將裝有確定個數(shù)的圓形和方形紙片的信封按4人一封放在各小組學生課桌的抽屜里。

師：現(xiàn)在請各小組的同學把課桌下面抽屜里的信封拿出來，然后看老師出示的要求。

教師課件出示：

（1）擺一擺：取出信封里的紙片，把形狀相同的擺在一起。

（2）比一比：先數(shù)數(shù)○和□分別有幾個，再比○和□誰多誰少。

（3）說一說：用一句話說一說○和□的個數(shù)的關系，看誰的說法多。

師：大家交流的時候，請一位同學把大家說的話記下來，好嗎？活動開始。

學生在小組中合作完成三條要求，教師巡視指導，并請出圓形數(shù)量不同的幾個小組上黑板展示。

第一輪展示，兩個小組擺出的結果如圖3。

師：大家看一下，哪個組擺的更容易看出圓形和方形的個數(shù)關系？誰來告訴大家。

生：第一組。

師：是這組的嗎？（教師用手勢指著圖3右邊的一組圖，學生紛紛應答）這樣一個對一個更清楚。

師：下面的同學仿照這組同學的擺法再把你們的調整一下擺好。

教師手指著圖3左邊的圖，再請剛才那組學生調整他們的圖形。

學生繼續(xù)小組交流，并修正自己的擺法。

教師再次巡視，并請圓形是2個、6個和12個的組上臺展示。

師：還有沒有哪個組的圓形個數(shù)是不一樣的？（學生搖頭并說沒有了）現(xiàn)在我們按要求請大家說一句話表示圓形和方形的個數(shù)關系。這樣，哪個組先擺的就先上來說。

第一組匯報。

師：請這個組的同學匯報。看他們用了哪些話來表示圓形與方形之間的關系（學具擺放如圖4所示），說對了大家就鼓掌。

生：方形和圓形的個數(shù)相等。

師：他們各是幾個？

生：各是4個。方形和圓形一個對一個。

生：圓形和方形個數(shù)都一樣。

師：這個組說的大家都鼓掌了，他們的意思就是圓形與方形個數(shù)同樣多。（板書：同樣多）

第二組匯報。

師：剛才這組說得非常好。請第二組的同學上來（學具擺放如圖5所示）。圓形和方形各是幾個？

生：方形有4個，圓形有兩個。方形個數(shù)是圓形的兩倍。

生：方形和圓形不夠一對一。

生：圓形個數(shù)比方形少兩個。

師：剛才下面還有同學說，方形個數(shù)比圓形多，圓形個數(shù)比方形少。從這里我們就發(fā)現(xiàn)了（用手指著圖5）圓形與方形相比，圓形要少些，只有方形個數(shù)的一半。（板書：比少）

第三組匯報。

師：再看這一組擺的（學具擺放如圖6所示）與上面的有什么不同呢？幾個圓形幾個方形呢？

生：有6個圓形，4個方形。

生：圓形個數(shù)比方形多兩個，方形個數(shù)比圓形少兩個。

生：我們還可以用算式來表示。6個圓形減去兩個方形的個數(shù)。算式：6－2=4

生：我們還發(fā)現(xiàn)了圓形和正方形的個數(shù)都是雙數(shù)。（全班鼓掌）

師：這個組說得最多，一共說了四句。從這里（指圖6所示學具圖）我們看出圓形比方形多些。（板書：比多）

第四組匯報。

師：還有個擺紙片最多的組，（學具擺放如圖7所示），請你們說說看。

生：我們覺得圓形是方形的3倍。

師：幾個圓形幾個方形？

生：12個圓形是4個方形的3倍。

生：圓形比方形多8個。方形添上8個正好與圓形“1對1”。

師：非常好。這就是“12個圓形是4個方形的3倍”。（板書：幾倍）為了便于觀察，現(xiàn)在老師把你們剛才擺的調整一下，看得更清楚些。

課件出示整理好的示意圖（如圖8）。

2.找規(guī)律：研究多少與倍數(shù)

師：剛才大家通過擺學具，說關系，發(fā)現(xiàn)了我們學過的“比少”、“同樣多”、“比多”和“幾倍”是一系列的對應關系，都可以通過“1對1”的方法展示出來。

師：請大家看圖（如圖8），什么圖形的個數(shù)沒有變，什么圖形的個數(shù)有變化？

生：紅顏色的方形個數(shù)一樣，沒有變化。

生：方形都是4個。圓形的個數(shù)有變化，有2個，4個，6個，12個。

師：對，我們今天就研究圓形個數(shù)和方形個數(shù)的對應關系，請大家注意看（課件出示圖9）。這四組圖形中，對應關系是怎樣的？

生：第一組，比少。圓形與方形比，比它少。

生：以4個方形做標準，不夠一個對一個。

師：如果要圓形與方形“1對1”，怎么辦？

生：可以增加兩個圓形。

師：對，增加兩個圓形，就成了第二組了。

生：第二組，圓形與方形的個數(shù)相等，正好“1對1”。

師：很好。在上面的兩組圖形中，第一組，整體上看，圓形比標準少，叫“比少”。一個一個地看，不夠“1對1”。第二組，整體上看，圓形與標準相同，叫做“同樣多”。一個一個地看，正好“1對1”。下面的能夠這樣說下去嗎？

生：第三組，整體上比標準多，叫“比多”。6個圓形與4個方形比，比方形多，除了“1對1”，還有2個。

師：第四組，大家注意看（指著課件中的第四組）整體上有什么特點？一個一個地對應有什么特點？

生：整體上12個圓形比4個方形多8個。

生：一個一個地看，12個圓形與4個方形對了三次，就是三個同樣多。

生：一個一個地看，3個圓形對了1個方形。

師：所以，我們就說12個圓形是——

生：12個圓形是4個方形的3倍。

3.換思維：解讀多少與倍數(shù)

師：剛才呀，通過數(shù)一數(shù)，擺一擺，一下就看清楚了圓形與方形的關系。如果現(xiàn)在老師告訴你，方形被遮住了，怎么才能很快知道有幾個方形呢？

（1）知道圓形有4個，圓形與方形同樣多。

師：我們怎樣想呢？看老師演示（如圖10）。

生：因為圓形與方形同樣多，1個圓形應該對1個方形，所以4個圓形對4個方形。

師：4對4，如果寫成式子就是4=4。

（2）知道圓形有2個，圓形比方形少2個。

生：如果圓形增加兩個，就與方形同樣多。

師：是下面這樣擺的嗎？（演示如圖11）

師：還可以怎樣想？

生：有兩個圓形，就有兩個方形?，F(xiàn)在少了兩個圓形，就要增加兩個圓形才會與方形同樣多，那么方形也該增加兩個。

師：哇，她聰明得不得了，說得太好了。像下面這樣嗎？（演示如圖12）

生：圓形有2個，再增加兩個就與方形4對4了，列式2+2=4。

師：第一個2與第二個2意思一樣嗎？

生：不一樣，兩個圓形加兩個方形。

生：錯！一樣，應該是兩個方形加兩個方形，或者兩個圓形加兩個圓形。還可以列式：2×2=4。

師：真聰明，說得真太好了。接著看下一組。

（3）知道圓形有6個，圓形比方形多2個。

師：大家想一想，要怎么想才能準確知道方形的個數(shù)呢？

生：因為圓形比方形多了兩個，要是圓形減少兩個，就應該與方形同樣多。（全班鼓掌）

師：她說得非常好！她說圓形比方形還要多兩個，如果不多，就是4個。（演示如圖13）算式怎樣寫？

生：6－2=4，圓形與方形正好4對4。

（4）知道圓形有12個，圓形是方形的3倍。

師：誰知道“3倍”什么意思？

生：“3倍”就是要對3次。3個同樣多。

生：“3倍”就是圓形個數(shù)與方形要全部對3次。

師：全部對3次，那應該幾個圓形對1個方形？

生：是3個圓形對1個方形。

師：怎么才知道方形個數(shù)？

生：12除以3，等于4。所以是3個。

師：哦，結果都算出來了。要是不用算，請你擺出來，怎么辦呢？

生：把12個圓平均分成3份。每份就是4個。這里的4個圓對應4個方形。

師：你的方法不錯，老師也來提供一種方法。（演示如圖14，學生邊看邊說結果）請驗算一下，好嗎？

4.擺圖形：講述多少與倍數(shù)

師：下面，每個同學把自己的圓形和方形學具拿出來，和老師一起結合給出的問題邊說邊擺，看看誰聽得認真，擺得正確，說得明白。

教師課件出示要求和問題，學生齊讀一遍。

師：大家看第一題，誰與誰比？整體上看，誰多，誰少？

生：與蔬菜比。蔬菜多，水果少。

師：大家再讀一遍，看看誰與誰比？

生：她錯了，蔬菜比水果多2種。

生：與水果比，蔬菜多，多2種。

師：這道題我們確定了是與水果比，是把水果看作標準，用方形表示。4種水果我們就擺4個方形（一邊說一邊用課件擺了4個□）。蔬菜比水果多兩種，大家接著擺下去?？词窃摂[幾個圓形了？

生：我擺了4種水果。

生：我想，既然水果有4種，那蔬菜一定也有4種。

師：對，蔬菜至少也有4種，先擺擺4個圓。

課件演示：在4個正方形下面對應擺4個圓形。

生：而且一個一個地看，蔬菜還多兩種，要再加兩個圓。

師：說得太對了（增擺2個○）。算式怎么列？

生：我的算式是4＋2＝6個。（結合學生的回答，教師在課件上書寫：4＋2＝6）

師：現(xiàn)在看第二道題，誰與誰比？整體上看誰多誰少？

生：橙汁與可樂比。橙汁少，可樂多。

生：用方形表示可樂，用圓形表示橙汁。

師：對，橙汁去與可樂比，可樂多些，橙汁少些。來，一起擺?，F(xiàn)在橙汁有兩瓶，就擺兩個圓。（在課件上擺出兩個○），橙汁比可樂少，那么可樂至少有幾瓶？

生：2瓶。

教師在課件上擺出兩個□，與○相對應。

師：比可樂少3瓶什么意思？

生：假如我們還有3瓶橙汁，就與可樂同樣多，也就是一對一。

學生一邊講解，老師一邊在課件的○后面添上3個○。

師：現(xiàn)在我們添上3個圓形，總數(shù)就應該與方形的個數(shù)怎么樣？

生：“1對1”。應該還要加上3個方形。

教師一邊引導，一邊在2個□后面添上3個□。

師：現(xiàn)在是幾瓶可樂？算式——

生：5瓶。算式是2加3等于5。

教師結合學生回答，在課件上寫出2＋3=5。

師：大家注意看，剛才兩個題一個是“比多”，一個“比少”，但是兩個題都用的什么方法計算的？

生：用加法計算的。

師：所以我們不能見到“多”就用加法算，見到“少”就用減法算，關鍵是要仔細地讀題，看清楚題目給出的是什么條件，要求的是什么問題?？聪旅嬉坏李}，大家齊讀一遍。[學生齊讀（3）小題]

生：汽車用方形，摩托車用圓形。

生：題里告訴我們，摩托車是汽車的3倍。

師：整體看，與誰比？誰是誰的幾倍？

生：與汽車比，摩托車是汽車的3倍。

生：就是摩托車與汽車一共要對應3次。

生：應該是3輛摩托對1輛汽車。

師：嗯，真棒，大家鼓勵他們！（學生鼓掌）

師：對了，一個一個地看，就是3輛摩托對應1輛汽車。整體看，就是摩托車與汽車一共要對應3次?，F(xiàn)在我們假設有1輛汽車，（老師課件出示：一個正方形）應該配幾輛摩托車？

教師課件出示：在1個□的下面對應擺3個○。

師：是不是只有三輛摩托車？

生：不是。

師：還有幾輛摩托車？可以對幾輛汽車？

生：還有3輛摩托車，可以對應1輛汽車。

教師課件出示：在□的后面再增加一個□，在增加的□下面再對應3個○。

師：現(xiàn)在大家數(shù)一下，看看你擺的圖片是不是表示“6輛摩托車是2輛汽車的3倍”。（學生驗證）

師：在這道題中，如果摩托車與汽車同樣多的話，應該是幾？

生：應該是“1對1”，都該是2輛。

師：“1對1”是兩輛摩托車對兩輛汽車，現(xiàn)在是“3對1”，所以是“3倍”。誰來說說算式？

生：6除以3等于2。

教師在課件上寫出6÷3＝2。

畫圖中陳述內化對應策略

教師課件出示練習題。請學生閱讀后，安排學生分左右兩個大組，分別完成1—3小題和4—6小題。

1.畫一畫：用○與□比，看誰畫得對？

說一說：與同桌交流，看誰說得好？

（1）（）比5多2

（2）（）比7少5

（3）（）是2的3倍

（4）9比（）多5

（5）7比（）少3

（6）8是（）的2倍

師：誰先畫好，我們就先展示誰的。畫的時候要注意，圓形對應方形，要一個對一個地畫清楚。

學生獨立在題單上畫圖完成各題，老師巡視指導。

師：我們先展示這位女同學的（請到臺上來）。你怎么填的？用方形表示什么？怎么想的？

生：（投影儀展示，如圖15）我填的“7比5多2”。用5個方形表示5。我先畫了5個圓，比5多2，就再畫了2個圓。

生：應該是先畫與5個方形“1對1”的5個圓形，再畫比它多的兩個圓形。算式是5+2=7。

師：非常好。先畫5個方形，比5多2個，就畫了5個圓，再畫了2個圓。大家表揚她?。ㄈ囗懫馃崃业恼坡暎?/p>

…………

師：請一個做了4小題的同學說說是怎樣畫的。

生：（投影展示，如圖16）我填的是“9比4多5”。因為要與方形比，不知道該畫幾個方形，我就先畫了9個圓，題上說多了5個，就去掉5個。剩下的就與方形同樣多。所以應該畫4個正方形。

師：哇，這孩子說的怎樣？

全班又一次掌聲送過來了。

…………

師：剛才同學們依次展示了6道自己理解題意后畫出的圖形，非常好。我看到下面很多同學畫的圖形都對了。祝賀你們！

師：今天我們交流的內容就是，學會用“1對1”的方法去想數(shù)學問題，并把我們的想法用語言、圖形和算式等表示出來，讓大家看得更明白。

第一，（指黑板上學生擺好的學具）要想到如果兩個數(shù)同樣多，應該是多少。

第二，如果整體上有多或者有少的話，還要一個一個地看，看看他們是怎樣對應的。先想，假如同樣多是怎樣對應的；現(xiàn)在不是同樣多，那就看是比標準多呢還是比它少？再通過“添上”或者“去掉”的方法找出一一對應關系。

第三，如果遇到像這種特別多的，就想“同樣多”該有幾個；還有剩余，我們就對兩次，再有剩余的，我們就對第三次。如果剛好對應了3次，我們就說“圓形是方形的3倍?！?/p>

師：這些知識我們以前學過，今天把它們放在一起來比較和展示，是不是了解得更全面一些了？

生：對，我們學得比原來更“深奧”了。

生：我們學會了用“1對1”的方法思考問題。

生：我們會用寫字、說話、畫圖表示想法了。

師：好，大家的收獲真不少。就像剛才那位同學說的，學得更深奧了，表示的辦法更多了，所以變得更聰明了。學數(shù)學，還有很多深奧的知識等著我們，希望大家繼續(xù)努力。今天這節(jié)課就上到這里，下來完成課后獨立作業(yè)。

學生向上課老師和聽課教師鞠躬。全場報以熱烈的掌聲。

□廣元北街小學數(shù)學高級教師牟小蓉——

玩數(shù)學找回了久違的感覺

玩是孩子們的天性，如何讓抽象的數(shù)學課也能成為孩子們自主探究的樂園？給孩子們營造一個愉悅的數(shù)學課堂氛圍，讓所有的孩子都能蹦蹦跳跳上學、高高興興回家，是我今生最大的愿望。我也曾想方設法地嘗試讓孩子們在玩中學習數(shù)學，可是受諸多因素的影響，我卻沒能堅持下來。

俗話說：“百聞不如一見。”當我有幸在家門口觀摩鄭大明老師為我們帶來的精彩課堂展示時，我又找回了久違的感覺。

教者以學生喜聞樂見的“搶凳子”游戲引出生活中的“一一對應”現(xiàn)象，然后小組自主擺○與□。通過觀察與陳述○與□的個數(shù)關系，系統(tǒng)地為學生整理出小學第一學段學習過的“同樣多”、“比誰多”、“比誰少”、“是誰的幾倍”等知識，真切地幫助學生理解“加、減、乘、除”四則運算的意義，為小學高段理解分數(shù)的乘法和除法意義打下了堅實的基礎，把學生在小學階段的數(shù)學知識串點成線，連線成片，真正深層次地建構了數(shù)學概念和數(shù)學模型。

聽了教者高屋建瓴的說課，了解了設計這節(jié)課的想法以及教學理念。至此我才明白為什么我的學生上課時明明感覺到他們聽懂了，可是要讓他們獨立做題時要么做錯，要么不會。這源于我的包辦代替太多。我怕學生聽不懂，就教給他們現(xiàn)成的數(shù)學結論，而忽視了學生學數(shù)學的過程，也很少關注學生學習的最近發(fā)展區(qū)，更沒有想到用這么多方法去陳述思路和想法。

弗賴登塔爾認為，數(shù)學是人的一種活動，如同游泳一樣，要在游泳中學會游泳。學習數(shù)學唯一正確的方法是實行“再創(chuàng)造”，也就是由學生本人把要學的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來。他明確地提出了“做數(shù)學”的理念，要求教師在教學中重視學生知識的主動建構，讓學生在模仿、實驗、類比、分析、歸納等“做數(shù)學”的過程中“悟數(shù)學”。

通過今天的學習，我真切地感受到，學生的數(shù)學知識和數(shù)學能力不是“聽”來的，也不是老師“灌”來的，而是通過老師的適時點撥讓他們自己“講”出來和“做”出來的。只有學生親自動手“做”過，才能真正理解和掌握數(shù)學知識。只有通過“講”才能理清思路，形成可傳播和交流的意識形態(tài)。

玩中學，學得妙趣橫生，學得輕松愉快，學得主動深刻。思想在這里交流，經(jīng)驗在這里豐富，思維在這里拓展，這就是這堂課無窮的魅力所在。

（作者單位：利州區(qū)北街小學，四川，廣元 628017）

□龍泉實驗小學中學高級教師陳祖惠——

名師課堂的“三度”把握

《○與□玩數(shù)學》一課，從課程內容的整合設計，學生活動的有序展開，數(shù)學知識的層層遞進，數(shù)學思考的步步深入，數(shù)學思想的自然滲透，一直到互動交流的平等對話等方面，都讓我們感受到了數(shù)學名師課堂“三度”的恰當把握。學生在教師的引導下，經(jīng)歷了一次印象深刻的數(shù)學活動之旅，實現(xiàn)了知識與技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度目標的有機融合。

溫度——課堂氛圍的自然和諧

蘇霍姆林斯基說過：“沒有歡欣鼓舞的心情，學習就會成為學生沉重的負擔?！泵鎸πW三年級的兒童，怎樣很快吸引他們的注意力，教者做了精心的設計。新課伊始，教者出示了學生感興趣的課題——《○與□玩數(shù)學》，并提問：“你最喜歡哪個字？”孩子們異口同聲地回答：“玩”。“那這節(jié)課咱們就一起來玩數(shù)學，好嗎？”學生頓生親切感，師生距離很快拉近。接著，師生在“121”的列隊口令和教者“123”舞步、“1234”歌曲中，玩起了數(shù)字規(guī)律，激起了孩子們對“玩”數(shù)學的熱情，不知不覺中進入了符號與動作的對應氛圍。接著，結合教學內容設計的“搶凳子”的游戲活動也獨具匠心，自然喚醒了學生對“1對1”、“同樣多”、“1對多”、“有多余”等已有的認識。課堂上，教者一個不經(jīng)意的停頓、一個小小的手勢、一個夸張的語氣、一句幽默風趣的語言都不斷調整著課堂的氛圍。擺一擺、寫一寫、說一說、畫一畫、算一算等多種方式的恰當使用，不斷調動學生參與數(shù)學活動的積極性和主動性?！罢l愿意說說”，“誰愿意上臺來展示自己的擺法”，盡量多的給學生陳述知識的機會，哪怕有些學生的回答不滿意，教者都及時地給予鼓勵和引導，微笑的面容、贊賞的眼神、及時的肯定，給孩子創(chuàng)設了一個敢思、敢想、敢做的輕松學習氛圍。其背后展現(xiàn)給我們的是教師對學生的充分尊重，是以學生為主體的教學理念的自然體現(xiàn)。

寬度——課程內容的有機整合

本課教學內容，是教者20多年來研讀教材，探究問題的集中展現(xiàn)。教者站在整個小學階段學生知識的整體構建、能力的全面提升的高度，全方位地審視對應中的數(shù)學問題，積極大膽地思考和探究。先深入解讀教材，再跳出教材，突破教材，順應學情而創(chuàng)造性地整合課程內容。教者發(fā)現(xiàn)目前小學數(shù)學的四則運算，是建立在組合與分解的基礎上而研究的。對于對應與比較是采用轉化法轉化為組合與分解來研究的，如“8是2的4倍也就是8里面有4個2”。殊不知這種轉換到了高年級學分數(shù)和比例，學生理解就困難了。因為同一類事物的組合與分解，無法替代兩類事物的對應與比較，如“男生人數(shù)是女生人數(shù)的”，學生很容易誤解為“女生里面有一半是男生”。因此，有必要給學生建構另一個運算系統(tǒng)——對應與比較（如下表）。

在第一學段結束時補上這樣的課程非常有價值。這對我們普通教師只見樹木不見森林、見子打子就書教書、只重結果不重過程等問題是一個很好的指導與引領，因為這里彰顯著名師的創(chuàng)新智慧。

深度——數(shù)學思考的步步深入

教者在深入分析學生的認知、表達、運用和情感等學情的基礎上，創(chuàng)造性地設計并組織了本課的教學，以活動貫穿全課。游戲活動——搶凳子；操作活動——數(shù)紙片；觀察活動——找規(guī)律；講述活動——擺圖形；訓練活動——畫圖形。充分體現(xiàn)了數(shù)學學習中學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、講算、推理、驗證等活動過程的基本理念。

通過引導學生分一分、想一想、寫一寫、畫一畫、說一說、算一算等活動，采用游戲、操作、觀察、講述等融體驗性和活動性、思考性和表現(xiàn)性于一體的教學形式和方法，引導學生感知“一一對應”的關系，并用“一一對應”的方法確定兩組物體的多少和倍數(shù)關系。在具體直觀與抽象思維之間，運用操作、畫圖、講述、應用等方式多元理解，調動學生多種感官，整體感知?！氨取?、同樣多、比…多、幾…倍”，怎樣與“加、減、乘、除”建立起聯(lián)系，怎樣應用解決問題，學生雖然不是一下子就能跟上教學預設的思路，但經(jīng)過教者的引導和提示，在經(jīng)過交流與互動，學生調動自己的學習經(jīng)驗和認識成果，逐步從不會到會，從不理解到理解，從表述不清到流暢表達，讓整個課堂的數(shù)學學習活動既有親身活動的“形”，更有數(shù)學抽象思維的“神”。同時，符號化思想、對應思想、數(shù)形結合思想的相互滲透，又讓本課有了數(shù)學思想的“根”。

（作者單位：龍泉驛區(qū)實驗小學，成都 610100）

□成都大學師范學院教授張曉霞——

陳述對應關系突出數(shù)學本質

數(shù)學課堂教學的核心，是讓學生掌握數(shù)學的本質。這里的數(shù)學本質，主要指數(shù)學知識的內在聯(lián)系、數(shù)學規(guī)律的形成過程、數(shù)學思想方法的提煉、數(shù)學理性精神的體驗。

在數(shù)學課堂教學中，如何突出數(shù)學的本質？教者在這節(jié)研究課中進行了積極的探索。

一、凸顯數(shù)量關系，把握知識內在聯(lián)系

義務教育階段和高中階段的數(shù)學，本質上都是在研究關系。具體說就是在研究數(shù)量關系、圖形關系、隨機關系。多、少、同樣多、多幾、少幾、倍數(shù)，本質上都反映了數(shù)之間的大小關系。教者把這些知識聯(lián)系在一起，讓學生通過操作（動作表征）、畫圖（形象表征、符號表征）等不同的方式，進一步理解數(shù)與數(shù)之間的大小關系，溝通了知識之間的聯(lián)系，凸顯了知識的本質。

數(shù)的大小關系是形成學生數(shù)感的重要內容?！皵?shù)感”是《數(shù)學課程標準（實驗稿）》在“數(shù)與代數(shù)”領域中提出的核心概念之一。它貫穿于數(shù)學教學的全過程。數(shù)感指人們對數(shù)與數(shù)的關系的一種感悟，以及運用數(shù)的關系和數(shù)字模式進行推理與解決問題的能力。有研究認為，數(shù)感的形成有6方面的內容：數(shù)的意義，數(shù)的表示，數(shù)的關系，數(shù)的運算，數(shù)的估算，數(shù)的問題解決。發(fā)展學生的數(shù)感，有利于學生從數(shù)量關系的角度，更準確、更清晰地認識、描述和把握現(xiàn)實世界。教者抓住“數(shù)的關系”整理知識，對于形成學生的數(shù)感是很有意義的。

二、建立對應觀念，促進數(shù)量關系理解

“當我理解了，我就感到愉快，我就自信，我就可以忘掉所有細節(jié)；而在需要的時候重新構造，我覺得它已經(jīng)屬于我，我可以把它解釋給人聽。”(包建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009：116.)讓學生理解知識，陳述數(shù)量關系，是數(shù)學教學的重要任務。這節(jié)課，教者利用一一對應的方法，巧妙地完成了對應思想的認識、理解與陳述。

對應，是現(xiàn)代數(shù)學中的一個重要基本概念，它反映兩個集合中元素之間的關系。對應思想是一種重要的數(shù)學思想。在初等數(shù)學中，對應思想主要體現(xiàn)在數(shù)形結合、函數(shù)思想以及變換思想之中。

教者首先通過游戲，讓學生通過“一人對應一張凳子”的直觀方式，初步建立對應的觀念。然后用對應的方式、數(shù)形結合的思想和轉化的思想，理解同樣多、多些、少些、比多、比少、倍數(shù)等概念，陳述數(shù)量與數(shù)量之間的相差關系、倍數(shù)關系。以數(shù)學思想方法為主線，重組學生的認知結構，這有利于提高學生解決應用問題的能力，突出數(shù)學思想方法在數(shù)學教學中的地位和作用。

三、掌握課程特點，扎實專業(yè)研究功底

張奠宙先生在總結中國“雙基”教學的特點時，提出我國學生知識學習要經(jīng)歷三個階段：一是將知識形成一條“知識鏈”，然后通過“變式”形成知識網(wǎng)絡，再經(jīng)過數(shù)學思想方法的提煉，形成立體的知識模塊。這節(jié)課在這一方面給予我們一些啟示：

1.有效的課堂教學，是基于教師對學科知識的深刻理解。數(shù)學教師應全面了解數(shù)學知識的來龍去脈，正確理解數(shù)學中的“關系”，理解數(shù)學知識的本質，從整體上把握數(shù)學內容。將數(shù)學專業(yè)功底的提高，與研究小學數(shù)學的課程與教學融合在一起。

2.課堂教學研究的出發(fā)點和落腳點，是解決課堂教學的實際問題。這節(jié)課研究的主旨，是如何突出數(shù)學的本質，幫助學生進一步理解數(shù)的相對大小關系，為后繼學習尤其是分數(shù)應用題的學習打基礎。教者根據(jù)學生數(shù)學學習的現(xiàn)狀，梳理解決問題的教學經(jīng)驗，形成解決一類問題的一般方法，然后建構學習理論。這正是目前提倡的一種教學研究方法。

（作者單位：成都大學師范學院，成都 610106）

□成都大學教授周小山——

實現(xiàn)了概念到行為的認知穿梭

說老實話，我是學數(shù)學出生的，我最怕教小學低年級的數(shù)學，因為我不知道該講些什么。

今天這節(jié)課，是我很長一段時間聽小學數(shù)學課聽到的少有的好課。開始我也有一點看法，這節(jié)課是不是把簡單問題復雜化了??？不就是加減乘除嘛，犯得著費這么大的勁嗎？又是活動又是讓學生表達他們的看法，最后又用各種方法來概括和陳述。這樣做的必要性在哪里呢？看看學生，早就知道加減乘除了。老師的問題一提出來，有個小男孩馬上就說“4+2”。早就把最后的結論都說了，還需要讓學生去什么“一對一”、“對應”、擺方形圓形，什么意思??？

作為數(shù)學教育的同行，聽課過程中我逐漸明白了教者的意圖。這節(jié)課最值得我們關注的有兩點：

一、重視從行為認知到概念認知的來回穿梭

小學和中學的數(shù)學教學，我們都在致力于把學生的擺擺弄弄比如數(shù)數(shù)手指頭、腳指頭、擺擺小棍等這些動作性的認知提升到圖像性的認知，即畫線段和圖形來代表；再把這種圖像性的認知，提升到符號水平的認知，就是運用算式或者代數(shù)式。符號水平，應該是認知的最高層次。布魯納在談到我們人類學習的認知水平時提出了三種水平：第一種水平叫做行為水平的認知，即動一動、擺一擺；第二種水平叫做是圖像水平的認知，即能用圖畫來表示；第三種水平叫做概念水平的認知，即能用概念來陳述，這是最高層次的認知。我們數(shù)學老師要做的事情就是把兒童動作水平的認知逐步提升到概念水平的認知。

但是，教者發(fā)現(xiàn)了我們小學數(shù)學教學中存在的一個問題，那就是已經(jīng)到了概念水平的認知，學生還反得過來嗎？學生是否能把概念水平的認知又返回來做圖像水平認知的解釋，或者動作水平的演示呢？我們老師致力于從動作到符號提升的過程中，存不存在缺陷？我們今天發(fā)現(xiàn)，課堂上孩子們早就有符號認知的水平了，如“2+3=5”。但是一讓學生反過來用圖像、用動作來陳述和表現(xiàn)的時候，看出學生在認知上有明顯的欠缺。教者還發(fā)現(xiàn)了到高年級的時候，學生學習分數(shù)和比例時認知不清晰，不知道一個算式的數(shù)學實質究竟是什么，原因就在于低年級的數(shù)學概念模型建立不扎實或者根本沒建立。對于加法、減法、乘法、除法，這節(jié)課給我最大的震撼，就是他對布魯納的這種從低到高的認知水平的提升，有意識的把它反回來，揭示了我們數(shù)學算式的本質。

一個數(shù)學算式究竟代表什么意義？教者研究的這個問題是真問題?，F(xiàn)代教學研究發(fā)現(xiàn)，并不是認知層次越高就越好。人的認知就是在從低到高，從動作到符號，又從概念到行為的穿梭中得以實現(xiàn)的。反復穿梭，上得去、下得來，才能夠真正認識到數(shù)學的本質。所以，我覺得這節(jié)課提醒我們教數(shù)學的老師，在提升兒童不同層次認知水平的時候，一定要逼近學科本質，而不是只知道“3+2=5”。你看學生多熟啊，他都會計算了，但實際上他卻不一定真實地理解“3+2=5”的現(xiàn)實意義。

二、樹立從教學研究到教學實踐的課程意識

首先，以學生的自主學習為主。無論是教學目標的設置，還是教學環(huán)節(jié)的安排以及學生活動的組織，教者千方百計地在實現(xiàn)某種程度的學習自主。

第二，非常重視集體思維。兒童的學習不僅是向老師學習，更重要的是向同伴學習。因為同伴的理解力和解說力更接近自己理解的最近發(fā)展區(qū)。這節(jié)課教者非常注意這一點，不斷地啟發(fā)：你的看法是什么？他的看法是什么？誰再來談談自己的看法?盡管課堂上有時候學生的看法重復，但是我們也就從中發(fā)現(xiàn)，學生都在積極地思維。學習就是看別人在怎么做。和別人對話，聽聽別人怎么想的就是重要的學習。有這么一句話：認知的高度必須在寬度中去實現(xiàn)，高度就是深刻性，寬度就是集體思維。大家的想法，都拿出來交流，這對于理科課堂特別重要。

第三，體現(xiàn)了一種個性化的實踐。教材是這么編的，新課程是這么要求的，教者卻提出了質疑，并且進行自己個性化的實踐。教者認為人教版教材的編寫上有問題，沒有把“1對1”作為整個算法和解決問題的基礎，因此要反過來用一種總結、回顧的方式加深學生對數(shù)學本質的理解，以利于學生今后的學習。大家看，教者在批判。批判我們現(xiàn)在的新課程和新教材，這就叫做課程意識。名師工作室就要有這樣的課程意識，要開展自己的個性化實踐，實現(xiàn)多樣化的價值取向。我認為這才是最值得今天借鑒的好東西。

（作者單位：成都大學，成都 610106）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文