高中數(shù)學(xué)分析和解決問題能力的培養(yǎng)策略

摘要：高中數(shù)學(xué)對(duì)于提高分析和解決問題的能力有著更深層次的要求，本文就教師在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)注重分析和解決問題能力的培養(yǎng)的方法和策略上進(jìn)行研討，得出了一般性的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，本質(zhì)上是解決認(rèn)識(shí)主體與認(rèn)識(shí)客體之間矛盾的過程。學(xué)生的學(xué)習(xí)，其特點(diǎn)是在教師的指導(dǎo)下，在學(xué)習(xí)知識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)展自己的認(rèn)識(shí)知識(shí)、創(chuàng)新知識(shí)的能力。

一、分析和解決問題能力的組成

1.審題能力。審題是對(duì)條件和問題進(jìn)行全面認(rèn)識(shí)，對(duì)與條件和問題有關(guān)的全部情況進(jìn)行分析研究，它是如何分析和解決問題的前提。審題能力主要是指充分理解題意，把握住題目本質(zhì)的能力；分析、發(fā)現(xiàn)隱含條件以及化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化已知和所求的能力。要快捷、準(zhǔn)確在解決問題，掌握題目的數(shù)形特點(diǎn)、能對(duì)條件或所求進(jìn)行轉(zhuǎn)化和發(fā)現(xiàn)隱含條件是至關(guān)重要的。

例：已知sinα+sinβ=■，cosα+cosβ=■求tgαtgβ的值。

分析：考慮將tgαtgβ寫成■，轉(zhuǎn)向求sinαsinβ、cosαcosβ。令x=cosαcosβ，y=sinαsinβ，于是tgαtgβ=■。

從方程的觀點(diǎn)看，只要有x、y的二元一次方程就可求出x、y。于是轉(zhuǎn)向求x+y=cos（α-β），x-y=cos（α+β）。這樣把問題轉(zhuǎn)化為下列問題：

已知：sinα+sinβ=■ ①

cosα+cosβ=■②

求cos（α+β）、cos（α-β）的值。

①2+②2得2+2cos（α-β）=■，cos（α-β）=■。

②2-①2得cos2α+cos2β+2cos（α+β）=■，cos（α+β）=-■。這樣問題就可以解決。

從剛才的解答過程中可以看出，解決此題的關(guān)鍵在于挖掘所求和條件之間的聯(lián)系，這需要一定的審題能力。由此可見，審題能力應(yīng)是分析和解決問題能力的一個(gè)基本組成部分。

2.數(shù)學(xué)建模能力。近幾年來，在高考數(shù)學(xué)試卷中，都有幾道實(shí)際應(yīng)用問題，這給學(xué)生的分析和解決問題的能力提出了挑戰(zhàn)，而數(shù)學(xué)建模能力是解決實(shí)際應(yīng)用問題的重要途徑和核心。

例：某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交α元（3≤α≤5）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元（9≤x≤11）時(shí)，一年的銷售量為（12-x）2萬件。

（Ⅰ）求分公司一年的利潤(rùn)L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q（a）。

解：（Ⅰ）分公司一年的利潤(rùn)L（萬元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：

L=（x-3-a）（12-x）2，x∈［9，11］。

（Ⅱ）L'（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）

=（12-x）（18+2a-3x）

令L'=0得x=6+■a或x=12（不合題意，舍去）。

∵3≤a≤5，∴8≤6+■a≤■

在x=6+■a兩側(cè)L'的值由正變負(fù)。

所以（1）當(dāng)8≤6+■a＜9即3≤a＜■時(shí)，LMAX=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）

（2）當(dāng)9≤6+■a≤■即■≤a＜5時(shí)，LMAX=L（6+■a）=6+■a-3-a12-6+■2=43-■a3

所以Q（a）=9-（6-a）3≤a＜■，43-■a3■≤a＜5

答：若3≤a＜■，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值Q（a）=9（6-a）（萬元）；若■≤a＜5，則當(dāng)每件售價(jià)為6+■a元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值Q（a）=43-■a3（萬元）。評(píng)述：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力。在該題的解答中，學(xué)生若沒有一定的數(shù)學(xué)建模能力，正確解決此題實(shí)屬不易。因此，建模能力是分析和解決問題能力不可或缺的一個(gè)組成部分。

二、培養(yǎng)和提高分析和解決問題能力的策略

1.立足教材，注意挖掘教材的內(nèi)涵。我們認(rèn)為，教材更加注重學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，及學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。新知識(shí)的引入借助實(shí)例，不僅有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，更能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，集中學(xué)生的注意力，提高課堂效率。通過對(duì)教材的研究，來改變教師腦海中原有模式，發(fā)現(xiàn)新問題，采取新方法、新策略，打破舊框框，找到更加合理的授課方法。

2.重視通性通法教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生概括、領(lǐng)悟常見的數(shù)學(xué)思想與方法。數(shù)學(xué)思想較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，有更高的層次和地位。它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，它是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、處理和解決。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段。只有對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法概括了，才能在分析和解決問題時(shí)得心應(yīng)手；只有領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想與方法，書本的、別人的知識(shí)技巧才會(huì)變成自己的能力。

3.加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué)，提高學(xué)生的模式識(shí)別能力。高考是注重能力的考試，特別是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問題和解決問題的能力，更是考查的重點(diǎn)，而高考中的應(yīng)用題就著重考查這方面的能力。

4.適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練，拓寬學(xué)生的知識(shí)面。要分析和解決問題，必先理解題意，才能進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題。近年來，隨著新技術(shù)革命的飛速發(fā)展，要求數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出更高數(shù)學(xué)素質(zhì)、具有更強(qiáng)的創(chuàng)造能力的人才，這一點(diǎn)體現(xiàn)在高考上就是一些新背景題、開放題的出現(xiàn)，更加注重了能力的考查。

5.重視解題的回顧。在數(shù)學(xué)解題過程中，解決問題以后，再回過頭來對(duì)自己的解題活動(dòng)加以回顧與探討、分析與研究，是非常必要的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。這是數(shù)學(xué)解題過程的最后階段，也是對(duì)提高學(xué)生分析和解決問題能力最有意義的階段.

6.加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)。新課改下教學(xué)內(nèi)容多，抽象性、理論性強(qiáng)，學(xué)生從初中升入高中后，首先遇到的又是理論性很強(qiáng)的函數(shù)。其中又有很多對(duì)實(shí)際情境不熟悉的實(shí)際問題，使一些學(xué)生感到不適應(yīng)而造成學(xué)習(xí)上的困難。如何讓學(xué)生盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)就顯然尤其重要。

總之，為了更好地進(jìn)行教與學(xué)，就必須與時(shí)俱進(jìn)，改進(jìn)教學(xué)方法，更要改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，倡導(dǎo)自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式，鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新與實(shí)踐，營(yíng)造開放、自主的學(xué)習(xí)環(huán)境，以學(xué)生為主體，發(fā)展創(chuàng)新思維，讓學(xué)生大膽地把個(gè)性展現(xiàn)出來，使學(xué)生得到和諧、全面的發(fā)展。