關于鐵絲圍矩形問題的有效教學

摘要：在教學活動中實施有效教學，使學生的基礎性學力、發展性學力和創造性學力都得到很好的發展。

關鍵詞：有效教學；鐵絲圍矩形

蘇科版教材九年級數學上冊第四章第三節中用一元二次方程解決鐵絲圍矩形的“動態”問題，設置了有一定挑戰性和思考性的現實問題情境。學生通過自主探索研究，可以提高分析問題、解決問題的能力，從而獲得更多的解決問題的方法和經驗，更好的體會數學的價值。教師只需加以適當的引導就可以了。下面加以簡要分析：題目：現有總長度為22m的柵欄，能否圍成面積是30m2的矩形花圃？能否圍成面積是32m2的矩形花圃？并說明理由。

學生獨立思考，舉手并嘗試分析：如果設這段柵欄圍成的矩形花圃的一邊長是xm，那么矩形花圃的另一邊長是■m。學生據此可以列出方程求解。

教師請兩名同學到黑板板演，其余同學在下面做。解題過程如下：

解：設這段柵欄圍成的矩形花圃的一邊長是xm，那么矩形花圃的另一邊長是（11-x）m。

（1）如果矩形花圃的面積是30m2，那么x（11-x）=30，解這個方程，得x1=5，x2=6，從而算出長22m的柵欄能圍成面積是30m2的矩形花圃。

（2）如果矩形花圃的面積是32m2，那么x（11-x）=32，整理，得x2-11x＋32=0因為b2-4ac=（-11）2-4×1×32＝121-128=-7＜0，所以此方程沒有實數解。因此長22m的柵欄不能圍成面積是32m2的矩形花圃。

學生的解答過程較好。教師激疑：難道說，一段長22m的柵欄可圍成的矩形花圃的面積是有范圍的嗎？學生認可。

教師：那么面積有怎樣的范圍？學生陷入深深地思考，并急于想獲知結果。同學們將思考聚焦在x（11-x）上，然后終于有學生有所發現，闡述觀點：設這段柵欄圍成的矩形花圃的一邊長是xm，那么矩形花圃的另一邊長是（11-x）m，x（11-x）=-x2+11x=-（x-5.5）2+30.25，∴不論x取任何實數，x（11-x）的值總不大于30.25。同學們這才恍然大悟，原因、病根、癥結找到了，對問題的理解就更透徹了。

教師給予肯定。教師追問：哪位同學還會有其他發現？學生：當一邊長為5.5m時，矩形的面積為最大，是30.25m2，此時四邊形的形狀為正方形。教師對同學們的細心發現表示贊賞。教師激疑：如果要用給定長度的柵欄圍成一個最大面積的四邊形區域，那么應當把這一區域的形狀選成什么四邊形？學生：正方形。教師繼續追問：如果要用給定長度的柵欄圍成一個最大面積的區域，那么應當把這一區域的形狀選成什么圖形？憑借以前的知識積累，學生回答是圓。教師：你們如果能用實驗說明，就更好了。學生討論交流，嘗試舉例。如：可以在一塊四周均勻拉緊了的自行車內胎薄膜上，用針劃一個細小的小口，它必然會變成近似圓形的小孔。或拿一根柔軟的皮圈，水平放在一塊玻璃板上（皮圈與玻璃板之間無空隙），向皮圈中間緩慢倒水，皮圈會變成圓形，而由于水的特性會保證水占有盡可能大的面積，所以問題得證。

學生的思維一旦發散，就像打開泄洪的閘門一樣，一發不可收拾。學生試圖利用液體的表面張力去探尋。教師組織學生小組合作，實際動手操作演示：先用細線打一個小圈（線要較軟，不要太長），放在一個沾有肥皂水并形成薄膜的鐵絲圈上。再用針將線圈內的薄膜刺破，這時由于線圈外的薄膜要收縮到最小面積，而將線圈拉成圓形，即空出來的面積最大。

學生小組合作，興致盎然，課堂氣氛熱烈。在教學中，如何通過設問引導學生積極思考是很多教師的疑難問題。對于這道題筆者從x（11-x）=30的有解，到x（11-x）=32的無解，激發學生重新審視x（11-x），得出了x（11-x）有著自身特有屬性，進而探究給定長度的柵欄圍成一個最大面積的四邊形區域是什么形狀？又從學生已有的知識經驗水平與最近發展區之間的問題入手，讓學生舉例，并通過實驗演示，驗證圍成一個最大面積的區域是圓形的結論，通過連續提問，誘導學生去發現問題、探究問題、創造性地解決問題。學生對給定長度的線段圍成的最大面積的區域是圓的生活體驗，教師事先也無法了如指掌，學生的想法與思維既有“歸隊”的時候，也有“出軌”的時候，但也只有這樣切合學生的實際，才會真正體現數學的“返璞歸真”。作為教學設計的實施環節，課堂教學實踐永遠是教師發揮創造性的最大舞臺。只要教師在課堂教學中注重培養學生的自覺反思習慣，善于抓住培養學生反思意識的切入點，定能使學生學會用數學的眼光看問題，學會用數學的頭腦去發現問題、分析問題、解決問題等，學生將會終生受益，這也正切合數學教學所要達到的最終目的。