拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)

拋物線是離心率為1的圓錐曲線.由于其離心率的特殊性，使拋物線的焦點(diǎn)弦盡管位置千變?nèi)f化，但“動(dòng)中有靜”，許多性質(zhì)不會(huì)因焦點(diǎn)弦位置的改變而改變。如圖，拋物線y2=2px(p>0)中，A（x1y1）、B（x2，y2）為過(guò)焦點(diǎn)F的弦，設(shè)，則： xy=#8226;y1y2=-p2這個(gè)題堪稱拋物線焦點(diǎn)弦問(wèn)題的“母親題”，許多與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的結(jié)論都由此而得，從而使拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)絢麗多彩。下面以此為基礎(chǔ)研究拋物線焦點(diǎn)弦的其它性質(zhì)，希望能起到拋磚引玉的作用。

命題證明：設(shè)直線AB的方程為：my=x-由方程組y2=2pxmy=x-得：y2-2pmy-p2=0，其中△=4p2(1+m2)>0

∴y1y2=-p2， x1x2==

(y1+y2=2pm，x1+x2=2pm2+p)

性質(zhì)1.kOA×kOB=-4( kOA，kOB分別表示直線OA，OB的斜率)

證明: kOA×kOB=×==-4

性質(zhì)2. #8226;=-P2

證明: #8226;=x1x2+y1y2=-p2=-p2

性質(zhì)3.+=.

證明: +

證明: |AB|=FA+FB=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p

設(shè)直線AB的方程為my=x-

(1)當(dāng)θ≠90°時(shí)，m≠0，tanθ=?圯cot=m?圯csc2θ=1+m2?圯sin2θ=

(2)當(dāng)時(shí)θ=90°時(shí)m=0，sin2θ=1=

綜上: sin2θ=

∴|AB|=x1+x2+p=(2pm2+p)+p=2p(1+m2)=

性質(zhì)5. 以焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓與拋物線y2=2px(p>0) 的準(zhǔn)線x=-相切.

證明:焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)C到準(zhǔn)線點(diǎn)x=-的距離為:d=-(-)==|AB|， 故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。

性質(zhì)6.設(shè)弦AB的傾斜角為θ ，則S△AOB=

證明:由性質(zhì)4知:|AB|= 又直線AB的方程為:my=x- ，而坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離 d==

∴S△AOB=|AB|×d=××=

數(shù)學(xué)題千姿百態(tài)，變化萬(wàn)千，在浩瀚的數(shù)學(xué)題海中，有許多問(wèn)題追根溯源，如出一轍，“一母所生”。如果我們能切中要害，抓住那些“母親題”，舉一反三，將事半功倍，做一題勝做百題，正所謂“擒賊先擒王”。

作者單位 陜西省靖邊縣第三中學(xué)

責(zé)任編輯 楊博