高中學生數學思維障礙突破與良好思維品質培養

在高中數學教學過程中，我經常發現在給學生分析和完整地解答完某一問題之后，他們總是無奈地說：“老師，我們都聽懂了，但您的方法我就是想不到，怎么回事呢？”我愣住了，并且慢慢意識到這個問題不是多做題總結經驗就能達到的，而是高中學生的思維方式和思維結構障礙造成的。作為一名高中數學教師，我在學習教育學理論和反思教學實踐的過程中總結了一些體會。

思維是人腦對客觀事物的本質屬性和規律的概括的間接的反映，屬于認識的高級階段，語言是思維的工具。高中學生數學思維，是指學生在對高中數學感性認識的基礎上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，理解并掌握高中數學內容而且能對具體的數學問題進行推論與判斷，從而獲得對高中數學知識本質和規律的認識能力。高中數學的數學思維雖然并非總等于解題，但高中學生的數學思維的形成是建立在對高中數學基本概念、定理、公式理解的基礎上的；發展高中學生數學思維最有效的方法是通過解決問題來實現的。事實上，有不少問題的解答學生有困難，并不是因為這些問題的解答太難以致學生無法解決，而是其思維形式或結果與具體問題的解決存在著差異，也就是說，這時候，學生的數學思維存在著障礙。這種思維障礙，有的是來自我們教學中的疏漏，而更多的則來自學生自身，來自學生中存在的非科學的知識結構和思維模式。如高一年級學生剛進校時，在求二次函數中最值問題尤其是含參數的二次函數的最值時，經常會出現這樣的錯誤解答：

求函數y=x2-2x-3在[－2，5]上的最值．

解：∵ y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4

∴ 當x=-2時，ymin=5 x=5，ymax=12

初看題目，本題似乎只要代入兩個端點值即可得到最值，產生這種錯誤的根源在于學生是按照求一次函數最值的思路，而沒有注意到在區間[-2，5]上二次函數并不具有單調性。學生的思維障礙是思維的呆板性，也說明學生思維缺乏靈活性。為此我作了如下題型設計，對突破學生的這個難點問題有很大的幫助。設計如下：

1．求出下列函數在x∈[-1，2]時的最大、最小值：

（1）y=（x+1）2＋1，（2）y=（x—4）2＋1，（3）y=（x+1）2＋1

2．求函數y=x2－2ax＋a2＋2，x∈[0，3]時的最小值。

3．求函數y=x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]的最小值。

上述設計層層遞進，每做完一題，適時指出解決這類問題的要點，大大地調動了學生學習的積極性，提高了課堂效率。

為突破學生錯誤的思維定勢，我鼓勵學生大膽質疑，集體討論，注意啟發和引導，培養他們思維的批判性，思維的批判性指思維活動中獨立分析的程度，是否善于嚴格地估計思維材料和仔細地檢查思維過程，提倡人人平等的討論模式，不盲目崇拜老師的權威。

例如：⊿ABC中，sinA=■，cosB=■，求cosC。

大部分學生如此解：由sinA=■可得cosA=±■；由cosB=■可得sinB=■，進而可求cosC=■或cosC=■。

有學生提出異議：

由sinA=■＜■可知：A＞■或A＜■，同理可知B＞■。

由A+B＜π知：A＞■不可能！即cosA=-■取不到。

故只有一解cosC=■

學生對結論的可靠程度進行懷疑，在獨立分析的基礎上，集體討論，辯證思維，靈活運用三角函數的單調性來確定三角形內角的取值范圍，嚴密論證了三角函數值取值的可能性。

另外，我在教學過程中教育學生：不怕犯錯，勇于糾錯，知錯就改。并引導學生暴露其原有的思維框架，來消除思維定勢的消極作用。因為在高中數學教學中，我們不僅僅是傳授數學知識，培養學生的思維能力也應是我們的教學活動中相當重要的一部分。而引導學生暴露其原有的思維框架，包括結論、例證、推論等對于突破學生的數學思維障礙，培養嚴謹的思維習慣會起到極其重要的作用。例如，在學習了“函數的奇偶性”后，學生在判斷函數的奇偶性時常忽視定義域問題，為此我們可設計如下問題：判斷函數在區間[2，6]上的奇偶性。不少學生由f（-x）=-f（x）立即得到f（x）為奇函數。教師設問：①區間[2，6]有什么意義？②y=sinx一定是奇函數嗎？通過對這兩個問題的思考，學生意識到函數只有在定義域關于原點對稱的前提下才能討論奇偶性，這也是討論任何一個函數奇偶性的前提條件。

（作者單位：江西省南昌市八一中學）

責任編輯：鐘 石