“整體思維”在三角函數(shù)中的運用

中學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)把培養(yǎng)學(xué)生的“雙基”轉(zhuǎn)變?yōu)椤八幕保岢鰯?shù)學(xué)教學(xué)的總目標(biāo)是讓學(xué)生獲得適應(yīng)社會生活和社會發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基本知識、基本技能、基本思維及基本活動經(jīng)驗。數(shù)學(xué)思維涉及面很廣，整體思維就是其中一種較高級的思維方式。

所謂“整體思維”是指注重對對象的整體性把握的思維傾向，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的一種重要的高級思維方式，具有快捷性、直接性、簡約性、跳躍性、獨創(chuàng)性等特點。

在三角函數(shù)變換學(xué)習(xí)中，有一種重要策略是整體處理某些結(jié)構(gòu)，使求解過程變得簡潔、高效。本文旨在說明整體思維在三角函數(shù)變換中的運用，從中感受它帶來的巧妙、簡潔。

一整體代換

將結(jié)構(gòu)式中的某一部分當(dāng)做一個整體，把復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)，化繁為簡，將問題簡潔解決。

另外在求三角函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間也常用到整體代換思維，關(guān)鍵抓住代換后的變量t范圍及單調(diào)性。

二整體應(yīng)用三角公式

有些三角變換問題有特殊的結(jié)構(gòu)，觀察并聯(lián)想它對應(yīng)的三角公式，整體創(chuàng)造出應(yīng)用公式的條件。

例2 在三角形ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosS=1，則C的大小為_______，

分析與解 觀察兩式結(jié)構(gòu)與特點，整體平方相加可得：

9+24sinAcosB+24cosAsinB+16=37，

∴ sin（A+B）=，即sinC=，

又由于4sinB+3cosA=1，∴ cosA＜＜

∴ A＞，∴ 0＜C＜，∴ C=，

三整體換元

將結(jié)構(gòu)式中的某一部分當(dāng)做一個整體，用新變量替換，轉(zhuǎn)化問題呈現(xiàn)形式，從而找到求解該問題的途徑。

四整體構(gòu)建不等式

求解某些三角式的范圍時，可聯(lián)想它對應(yīng)的常見公式，整體構(gòu)建出不等式，通過解不等式確定范圍。

例3 已知sina cos β=，則cosa sin β的范圍是____________

-1≤+cosa sin β=sin（a+β）≤1

-1≤+cosa sin β=sin（a-β）≤1

解以上不等式組得：≤cosa sin β≤

五整體構(gòu)建方程

方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法，把求解式中某些整體視作為未知數(shù)，構(gòu)建方程，常常使問題京戲得易于求解。

六局部整體代入

注意結(jié)構(gòu)式中的相對整體，先變形處理，從局部求出各相關(guān)系，然后在整體代入求解。

例4 已知函數(shù)f（x）=asin（πx+a）+b cos（πx+β）+1，且f（2009）=3，

分析與解 則f（2010）=_______________.

由題意可得：f（2009）=3，

asin（2009π+a）+bcos（2009π+β）+1=3，

化簡得：s sina+b cosβ=-2，

整體代入得

f（2010）=asin（2010π+a）+bcos（2010π+β）+1

=asina+bcosβ+1=-1，

七整體構(gòu)造對偶式

某些結(jié)構(gòu)特殊的三角函數(shù)問題，如果加以觀察、利用，構(gòu)造出與之匹配的對偶結(jié)構(gòu)式整體求解，常常可以達到出其不意的效果。

數(shù)學(xué)實踐表明，學(xué)生在用整體思維解答三角變換問題時，為其中所蘊涵的巧妙所折服，很好地調(diào)動了學(xué)生思維的積極性。采用整體性思維學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，往往對整個問題所涉及的層次結(jié)構(gòu)以及將要采取的解決方式較多地進行合理推理、猜想，提出整體方案，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，有助于學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，有利于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)敏銳的直覺和創(chuàng)造性思維。

（作者單位：江西省高安市教師進修學(xué)校）

責(zé)任編輯：周正旺

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