基本不等式 的應(yīng)用

函數(shù)的最值是函數(shù)這一章節(jié)中的重要內(nèi)容，它的重要性不僅在題型多樣、方法靈活上，更主要的是其在實際生活及生產(chǎn)實踐中的應(yīng)用。高考應(yīng)用題幾乎都與最值問題有關(guān)，一元二次函數(shù)是函數(shù)應(yīng)用求最值的常用方法，而基本不等式是解決此類實際問題的有力工具。利用基本不等式求函數(shù)最值的方法使用范圍較廣泛，既可適用于已學過的二次函數(shù)，又可適用于分式函數(shù)、高次函數(shù)、無理函數(shù)。

兩個基本不等式：

（1）若a，b∈R，則a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時取“=”號）

（2） 若a，b∈R+，則 ■≥■（當且僅當a=b時取“=”號）

其中■和■分別叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。基本不等式可以敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

利用基本不等式求最值需注意的問題：

⑴各數(shù)（或式）均為正；

⑵和或積為定值；

⑶等號能否成立，即“一正、二定、三相等”，這三個條件缺一不可。

基本不等式的幾種變形公式：

對于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種常見變形形式及公式的逆用等，如：設(shè)a，b∈R+，則■≤■≤■≤■（調(diào)和均值≤幾何均值≤算術(shù)均值≤平方均值），當且僅當a=b時等號成立。

題型一 利用基本不等式證明不等式

例1 求證：對于任意實數(shù)a、b、c，有a2+b2+c2≥ab+bc+ca當且僅當a=b=c時等號成立.

證明：由基本不等式（1），得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2，

對應(yīng)相加，得 2（a2+b2+c2）≥2(ab+bc+ca)，即a2+b2+c2≥ab+bc+ca，當且僅當a=b=c時等號成立。

題型二、利用基本不等式求最值或者取值范圍

例2 已知ab=1，求a+b的取值范圍。

解：若a，b﹥0，a+b≥2■=2，當且僅當a=b=1時，等號成立。若a，b﹤0，a+b=-[(-a)+(-b)]≤-2■=-2，當且僅當a=b=-1時，等號成立。綜上，a+b的范圍為：a+b≤-2或a+b≥2。

例3 求下列函數(shù)的最值

（1）x﹥0，求y=■的最小值，若x＜0呢?

解：因為x＞0，所以f(x)=■=x+■≥2■=4，當且僅當x=■，即x=2時 ，f(x)min=4。

若x<0，f (x)=■=-[(-x)+(■)]

≤-2■=-4，

當且僅當-x=■ 即x=-2時f(x)min=-4。

（2）求 y=t+■的最小值，t∈(0，n]，n﹥0。

■

因為當0﹤n≤2時，y在(0.n]在上單調(diào)遞減，所以當t=n時，ymin=n+■，而當n＞2時，y在(2，n]上單調(diào)遞增。所以當t=2時，ymin=2+■=4。

題型三、基本不等式在實際問題中的應(yīng)用

例4 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4 800m3，深為3 m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得

l=240 000+720(x+■)≥240 000+720×■=240 000+720×2×40=297 600。

當x=■，即x=40時，l有最小值297 600。

答：當水池的底面是邊長為40 m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297 600元。◆(作者單位：江西省南昌縣蓮塘第二中學)

責任編輯：周瑜芽