用遞推思想解決排列組合中的教學難點

作為高中代數中的一個獨立分支，排列組合涉及的概念和原理不多，但內容抽象，相對獨立性強，不容易掌握，成為教與學的難點。排列組合中的相當一部分題目又是很難用比較清晰簡潔的語言講授的。即使教師覺得講清楚了，由于學生認知水平、思維能力的限制，不少學生還是會感到一知半解。針對這一現象，我嘗試在解題時根據已知條件盡快地發現規律，并利用規律解決問題。比如相鄰數之間的關系叫遞推關系，有了遞推關系就可以利用前面的數求出后面的未知數，這種思想稱為遞推思想。本文運用遞推思想嘗試解決排列組合中的幾個難點。

一階梯問題

從一樓到二樓共10級臺階，可以一步一級，也可一步二級，問小明上這10級階梯共有多少種不同方式？

解析：可以分類進行：（1）若走0個二級，則走了10個一級，共有C010■■種共1種；

（2）若走1個二級，則走了8個一級，共有C19■■種共9種；

（3）若走2個二級，則走了6個一級，共有C28■■種共28種；

（4）若走3個二級，則走了4個一級，共有C37■■種共35種；

（5）若走4個二級，則走了2個一級，共有C46■■種共15種；

（6）若走5個二級，則走了0個一級，共有C55■■種共1種。

故共有1+15+35+28+9+1＝89種不同方式。

也可根據到第n級臺階只能由第n－1級或第n－2級達到，

則 f(n)=f(n－1)+f(n－2)，且f(1)=1，f(2)=2，

故： f(3)=3，f(4)=5，f(5)=8，f(6)=13，f(7)=21，f(8)=34，f(9)=55，f(10)=89。

二環形涂色問題

在如圖所示的6個區域涂上四種不同的顏色，且相鄰兩個區域不能同色。

解析：依題意只能選用4種顏色，可分五類：

（1）②與⑤同色、④與⑥同色，則有A44；

（2）③與⑤同色、④與⑥同色，則有A44；

（3）②與⑤同色、③與⑥同色，則有A44；

（4）③與⑤同色、②?搖與④同色，則有A44；

（5）②與④同色、③與⑥同色，則有A44。共120種。

上述分類較多且易漏，是學生學習中的一個難點。其實只需確定①中顏色，②③④⑤⑥就是一個環形涂色問題。環形涂色又如何解決呢？

如圖，把一個圓分成n(n≥2)個扇形，每個扇形用m種顏色中的一種去涂，要求相鄰不同色，有多少種涂色方法？

（1）當n=2時，有A2m=m(m－1)種

（2）當分成n個扇形，如圖，A1與A2不同色，A2與A3 不同色，

…，An-1與An不同色，共有m(m－1)n－1種涂色方法， 但由于An與A1鄰，所以應排除An與A1同色和An與A1異色；若An、 A1同色把它們看成一個扇形，與前n－2個扇形加在一起為n－1個扇形，此時有an－1種染色法，若An與A1異色，則滿足條件。再看前面問題，4種顏色①中用去一種，另有3種，故m=3，n=5，a■=6，a■+6=3×4=12，a■=6。

a4+6=3×8=24，所以a4=18；a5+18=3×6=48，所以a■=30。

故共有4×30=120種涂色方法。

上述{an}的通項公式有an=(－1)n(m－1)+(m－1)n，即a■=(－1)5·2+25=30。

三傳接球問題

在排列組合中，傳接球問題通常用樹圖求解。當傳接次數不多時可以很快得出結果，當次數增多、人數增多時，樹圖表示就困難了。例如，四人進行傳球練習，要求從甲開始，每次只能傳給別人：

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可以看到，第n次在甲手中的可能性，即是第n－1次不在甲手中的可能性。

故由甲開始第n次回到甲手中為an，第n－1次一定不在甲手中，則an+an－1=3n－1。

若4人進行傳接球練習，要求每人接球后再傳給別人，開始甲發球，并作第一次傳球，則第5次傳球仍回到甲手中共有多少種傳球方式？

a5+a4=34，所以a5=60種。

上述三類問題在排列組合中都運用了列舉法，列舉法對學生來說最直接、最簡單。但是，列舉的元素較多時，分類、分步就較麻煩。為了防止重復、避免遺漏，除了一題多解之外，另一種切實有效的辦法是倡導學生之間進行交流與合作。

（作者單位：江西省新建縣第二中學）

責任編輯：李 林