圓中的雙解題

摘要：圓這一部分知識是初中幾何教學(xué)中的重難點(diǎn)，是壓軸題的重要組成，在教學(xué)中，會發(fā)現(xiàn)有一部分題目是一題雙解甚至多解，所以教師應(yīng)教會學(xué)生總結(jié)歸類、分析問題的方法，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)中分類討論的數(shù)學(xué)思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

關(guān)鍵詞：圓；雙解；多解；數(shù)學(xué)思想

中圖分類號：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）38-0101-02

在初中圓的教學(xué)中，會出現(xiàn)很多的一題雙解甚至多解題，教師在教學(xué)過程中要善于總結(jié)、歸納。通過這段時間的教學(xué)，我將出現(xiàn)頻率比較高的幾類題型作了一個總結(jié)，既便于自己教學(xué)，也便于學(xué)生學(xué)習(xí)，更利于學(xué)生體會數(shù)學(xué)分類思想，打開思維。

一、按可能出現(xiàn)的不同位置分類

1.已知⊙O的半徑為13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，則AB、CD之間的距離為7或17cm。

簡析：本題有弦AB和CD在圓心的同側(cè)或異側(cè)兩種情況。

2.在⊙O中，已知⊙O的直徑為2，弦AC=■，弦AD=■，則CD2=2+■或2-■。

簡析：本題應(yīng)按 、 在 異側(cè)或同側(cè)分類討論。

3.相交兩圓的半徑分別為5和4，公共弦長為6，那么兩圓的圓心距為4+■或4-■。

簡析：本題應(yīng)按O1、O2在AB的異側(cè)或同側(cè)分類。

二、按落點(diǎn)可能出現(xiàn)的不同位置分類

1.CD是⊙O的一條弦，作直徑AB，使AB⊥CD，垂足為 E，若AB=10，CD=6，則BE的長是1或9。

簡析：本題應(yīng)考慮到CD可能和OB交于點(diǎn)E也可能和OA交于點(diǎn)E兩種情況。

2.已知△ABC內(nèi)接于圓中，AB=AC，圓心O到BC的距離為6m，圓的半徑為10cm，則腰AB的長為8■或4■cm。

簡析：本題應(yīng)考慮O在線段AD內(nèi)或不在線段AD內(nèi)兩種情況。

3.在一半徑為5的半圓上有兩點(diǎn)A和B，點(diǎn)A到直徑的距離為4，點(diǎn)B到直徑的距離為3，若點(diǎn)P為直徑上的一個動點(diǎn)，則PA+PB的最小值為5■或7■。

簡析：本題應(yīng)考慮到點(diǎn)B既可能落在弧AN上也可能落在弧AM上兩種情況。

4.A、B是⊙O上任意兩點(diǎn)，如果∠AOB=70°，C是⊙O上不與A、B重合的任一點(diǎn)，則∠ACB=35°或145°。

簡析：本題應(yīng)考慮點(diǎn) 可能落在優(yōu)弧上也可能落在劣弧上兩種情況。

三、按可能出現(xiàn)的不同情況分類

1.一個點(diǎn)到圓的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則此圓的半徑為2.5或6.5cm。

簡析：本題應(yīng)考慮A點(diǎn)在⊙O內(nèi)、外兩種情況。

2.⊙O1與⊙O2的圓心距為5，⊙O1的半徑為3，若兩圓相切，則⊙O2的半徑為2或8。

3.在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，⊙A的半徑為2，若以點(diǎn)C為圓心作一個圓，使⊙C與⊙A相切，那么⊙C的半徑為11或15。

4.小圓的圓心在原點(diǎn)，半徑為3，大圓的圓心坐標(biāo)為（a，O），半徑為5，如果兩圓相切，那么a的值為±8或±2。

簡析：這三個題均要考慮到兩圓相切要分內(nèi)切與外切兩種情況，而11題不僅要考慮兩圓相切要分內(nèi)切與外切兩種情況，還要考慮到大圓的圓心既可能在x軸的正半軸上也可能在x軸的負(fù)半軸上。

5.已知兩個同心圓的半徑為R和r（R>r），則和這兩個同心圓都相切的圓的半徑為■或■。

簡析：本題應(yīng)考慮這個圓可能和大圓內(nèi)切小圓外切或與大圓內(nèi)切小圓外切兩種情況。

四、從全面性考慮分類

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C 為圓心，r為半徑畫一個⊙C，若⊙C與斜邊AB只有一個公共點(diǎn)，則⊙C的半徑r的取值范圍是r=2.4或3

2.已知⊙O1與⊙O2的半徑不相等，⊙O1的半徑長為3，若⊙O2上的點(diǎn)A滿足AO1=3，則⊙O1與⊙O2的位置關(guān)系是相交或相切。

簡析：這兩題均應(yīng)考慮相切時有且只有一個交點(diǎn)，相交時是交點(diǎn)之一。

五、按可能出現(xiàn)的方向分類

1.⊙O的半徑OC=5cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AB=8cm，則l沿OC所在直線平移 2或8時與⊙O相切 cm。

簡析：本題可按直線移動方向的可能性分類即直線既可向上也可向下移動。

2.在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為1，圓心A的坐標(biāo)為（-2，0），⊙B的半徑為2，圓心B的坐標(biāo)為（3，0），當(dāng)⊙A沿x軸正方向移動4或6個單位時，⊙A與⊙B相內(nèi)切。

簡析：本題可按切點(diǎn)位置的可能性分類即切點(diǎn)可能在⊙B的左邊也可能在⊙B的右邊。

通過這種歸類教學(xué)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，建立分類討論的意識。教師在講解時要結(jié)合圖形，盡量讓學(xué)生自己畫圖，在作圖的過程中體會分類的原因和分類的必要性，同時明白如果原題沒有圖形或是題意不明確時，一定要有分多種情況討論的意識，為后一步的教學(xué)打好基礎(chǔ)。