關于數學模型評價的思考與實踐

魏國強

(江南大學理學院,江蘇無錫 214122)

關于數學模型評價的思考與實踐

魏國強

(江南大學理學院,江蘇無錫 214122)

重視數學模型的評價對于全方位提升數學建模能力具有舉足輕重的作用.數學建模的假設應遵循目的性、簡明性和真實性準則;數學模型的選擇要符合適合性、基礎性和可行性準則;提出模型算法評價的3項指標;給出粗略及細致檢驗模型求解結果的策略.這些準則和策略在數學建模實踐中的合理應用,有助于數學建模教學和參賽的成功.

數學建模;評價;準則;指標;策略

1 引 言

近年來,每當各類大學生數學建模競賽結果揭曉,在許多獲勝者收獲喜悅的同時,也常有不少參賽者因成績不佳而留下深深的遺憾.其成績不佳的原因主要有以下幾個方面：(i)對問題的理解不準確或假設不合理;(ii)模型構建或解法失當;(iii)計算有誤.作者回顧近年來擔任我校大學生數學建模參賽組織培訓工作的經歷,深刻體會到：數學建模教學過程中在全方位提升學生雙向翻譯能力、解模能力、觀察猜想能力、邏輯思維能力[1]的同時注重培養學生對數學模型的分析評價能力,將有利于他們對模型和算法的優化選擇,使建模和求解過程中的錯誤減少到最少,從而使他們的數學建模能力得到顯著提升.然而由于數學模型千姿百態,種類紛繁,對其評價并非易事.參賽論文中常見的例行公事式的優缺點評價往往于事無補,專門討論數學模型評價的文章也不多見[2].結合近年來從事數學建模教學、培訓的體會,作者嘗試就數學模型評價的內涵、功能、若干原則與準則以及方法策略等展開探討,旨在與同行交流.文中例題都指全國大學生數學建模(CUMCM)賽題.

2 數學模型評價的內涵與功能

數學模型的評價是人們利用已有的知識和經驗,依據一定的準則,采用一定的方法,對自己或他人建立與求解數學模型的過程和結果進行全面的檢驗、判斷,以利于對已建模型及其求解過程調整、完善和發展的過程.

數學模型評價對于學生成功完成建模、提高創新能力的功能在于：

第一,它是完善數學建模的重要環節和循環中樞.這從下面數學建模的基本步驟[5]不難看出：

(i)建模準備(確定課題);

(ii)建模假設(對原形抽象、簡化);

(iii)構造模型(表現為數學表達式或算法程序等);

(iv)模型求解(多為數值結果);

(v)模型分析和評價;若評價合格則轉(vi),否則轉(ii)修改假設及模型,循環往復直至得到滿意結果.

(vi)模型應用.

正是模型評價這一步驟使數學建模遵循“肯定—否定—否定之否定”的唯物辯證法的基本規律,走上螺旋式上升或波浪式前進的良性發展軌道.

第二,數學模型的評價是全過程、有目的的評價,建模者要掌握模型評價的基本準則和合理方法,有理有據地思考判斷和抉擇,有利于培養學生的認知能力、改善認知結構;

第三,有利于調動學生學習數學建模的積極性、主動性,提高自學興趣,全方位地提高建模能力.

近年來,我們在抓好數學建模教學培訓各個環節的同時,通過開設講座、討論班等各種形式引導學生反思自糾、品析錯例、評價思路,重視對數學模型評價的教學,保持了培訓的優質高效,獲得了多項大學生數學建模競賽的全國獎,并榮獲06年度高教社杯.這也從一個側面反映了數學模型評價分析的作用.

3 數學模型評價的準則和策略

3.1 數學模型假設的準則.

數學模型假設總的準則是圍繞建模目的,保留事物的本質因素對原形進行抽象簡化,為成功建模提供前提條件.具體準則有：

(i)目的性準則.從原形中抽象出與建模目的有關的因素,簡化掉與建模目的無關或關系不大的因素;例如2006年A題(出版社資源配置)給出的調查數據不少與建模目的無關,需要去掉;

(ii)簡明性準則.所給假設條件要簡單明確,有利于建模;

(iii)真實性準則.假設條件要符合情理,不違背原形的本質屬性,簡化帶來的誤差要在實際問題允許的范圍內.例如在2007年的大學生數學建模競賽中,有的參賽隊在求B題的最優公交線路時想當然地假設環形線路公交車、地鐵是單向行駛,違反了公交車雙向對開的常識,造成大量計算結果錯誤,功虧一簣.

真實性和簡明性有時會發生沖突,穩妥的做法是先按簡明條件建模,然后再逐步擴充以反映原形.例如2005年B題(DVD在線租賃)的問題(1)中,若假設題中給出的從1000名會員調查得到的5種DVD碟片的需求比例就是現有10萬會員的需求比例,則5種DVD的需求量就可由此比例同比擴大10萬倍得到;而嚴格地講,對每種碟片而言,10萬會員的需求量是服從正態分布的隨機變量,其分布參數可從上述1000名會員的調查數據估計得到.通過給定置信度計算置信區間上限得到10萬會員的碟片需求量.并指明：前者的處理方法是后者取置信度為0.5時的特例.

3.2 數學模型評價的準則.

模型假設的目的性準則、簡明性準則和真實性準則仍可作為構造模型的準則.此外還應遵循下列準則：

(i)適合性準則 要選擇適合問題本質特征、符合建模目的要求及建模人能力特長、符合求解軟硬件條件的模型[4],“適合的就是最好的”.

例如1998年A題(投資的風險和收益)中指明投資的總風險用各項投資中最大一項衡量,機械套用Markowitz理論用總收益方差作為目標函數將導致錯誤結果.

再如我校參賽學生在構造2006年A題(出版社的資源配置)模型時,精選經濟效益、滿意度、市場占有率和計劃準確率4個指標,為評價各單位的綜合實力,又經標準化處理后用線性加權和法化為單目標規劃模型,取得了優異成績,其中王艷等3位同學獲高教社杯.而對于2007年B題,要求建模尋找乘公交(包括地鐵)出行的最佳線路.目標可能有：換乘次數最少,時間最少,乘車費用最少等.有的參賽者受2007年A題解法思維定勢的影響,仍然采用線性加權和法化為單目標規劃,求得所謂綜合指標為目的的“最優線路”,顯然這不能滿足每個乘客的效用偏好,與題意不符.正確的方法是將各目標按字典序排列,用目標規劃法分別求出各種目標下的最優線路供乘客選擇.

(ii)基礎性準則 盡可能以相關專業理論、成熟數學方法或已有數學模型作為基礎,并有所改進和創新.如在求解2004年B題(奧運會臨時超市網點設計)時,我校參賽學生將商圈理論中著名的哈夫模型及哈夫法則[3]結合本題實際加以改進,解決了各商區有效購買力的計算問題.研究表明：近年來國內外大學生數學模型賽題大多可在某些成熟模型基礎上改進或推廣解決,但都需要結合題意,克服一定的困難,不能生搬硬套.仍以近年來我國CUMCM賽題為例：2005年B題(DVD在線租賃)可以指派問題模型為基礎,但要克服隨機因素及DVD碟片的購買與分配相結合等困難;2006年A題可建立整數多目標規劃解決,但需要克服海量數據的篩選、不同質優化指標的設置及標準化等困難;2007年B題的公交線路查詢可歸結為在有向圖上找最短路,但存在線路站點多、數據量大,公交車、地鐵的多條線路之間的換乘等困難,必須將最短路的Dijkstra和Floyd算法改進后才能應用于本題.

(iii)可行性準則 為使建立的模型便于求解,應盡量減少決策變量的個數、盡可能減少非線性約束和目標函數.

3.3 模型算法的評價.

不同的數學模型可導致不同算法,而同一模型也可采用不同的算法.算法決定效率,甚至決定成敗.可用以下指標評價算法：

(i)得到準確解的比率 即多次應用該算法計算同類問題得到準確解的百分比.若準確解難以得到,可用計算中獲得的最好解替代;

(ii)計算速度 可考察在特定的軟硬件環境條件下計算不同規模模型的時間.有條件時可作算法復雜性分析,判斷是否為有效算法(多項式時間算法);

(iii)占用內存空間大小 這一指標直接影響算法可解問題的規模.占用計算機內存空間過大的算法,無論其計算速度如何,都不能求解大規模問題.

再以2007年B題公交線路查詢問題為例：據統計,絕大多數參賽隊根據集合求交思想利用搜索法求解,此法對換乘次數少的線路效率較高,但隨著換乘次數的加大,計算時間快速增加.盡管有方法改進,但算法及編程的復雜性令許多人難以承受.

若建立有向圖求最短路的0-1規劃模型求解,則建模思路清晰,模型結構簡單,求解不受換乘次數的限制因而可精確地求出各種目標下的最優線路,所建模型具有通用性.但求解此模型必須解決數據量大占用內存大的問題.如果考慮直達時間矩陣或距離矩陣容易生成而將問題處理成完全圖,那么近4千個站點每兩站對應一條邊,共有近1600萬條邊,在0-1規劃中對應同樣多的決策變量xij,這是計算機內存不能承受的,不少參賽隊因此受阻.2008年暑假集中培訓時,我們指導學生利用MATLAB軟件編程列出所有直達邊,此時邊數為不到39萬條,僅為處理成完全圖時的1/40.再算出對應邊的最短直達時間和最少直達費用并生成文本文件,利用軟件間的數據交換功能將上述數據導入Lingo程序并成功運行,得到模型的精確結果.學生在模型與算法的比較評價中學會建模、學會計算,增長才干.

3.4 模型結果的評價與檢驗.

在人們費盡周折建立并求解數學模型并得到結果后,即進入結果評價階段.注意到對于開放性問題,不同的假設會導致不同的模型從而得到不同結果,其正誤難以比較;此外,數學模型結構復雜、步驟多、數據量大,正確結果通常未知,結構檢驗并非易事,完全避免出錯幾乎是不可能的.然而省略這一步驟則可能前功盡棄.因而采用適當策略提高檢驗效率以降低出錯風險是明智的.我們建議按實際情況選擇使用粗略檢驗與細致檢驗兩類方法.

以下為粗略檢驗：

(i)檢驗量的界限.數學模型中的變量都有明確的實際意義,其取值的正負、范圍常可預知,若結果不符合這些條件則必錯無疑.對于最優化問題,如用其它方法得到的可行解較模型中解出的“最優解”還優,則結果錯誤明顯.

(ii)檢驗量的對稱性.實際問題中條件對稱的兩個量其計算結果應保持一致,否則結果錯誤.如在2004年A題中,所處位置對稱的兩個商區人流量應一致,如A5與A7,A2與A10,B2與B4,C1與C3的人流量不等,則計算有誤.

(iii)檢驗參數取特殊值時的結果.如果一個模型是由熟知的經典模型擴充推廣而成,則參數取特殊值使模型復原時,應得到原經典模型的結果.例如：若求得允許缺貨庫存模型的訂貨批量,在令單位缺貨成本無窮增大時與不允許缺貨條件下的結果不同,則模型計算結果錯誤.

以下為細致檢驗.當條件許可時,采用細致檢驗策略可能比將問題重新求解一遍效果更佳、時間更省.

(i)多種解法或多人(競賽時僅限于同隊隊員間)計算結果對比.若利用多種方法求解同一問題或多人求解同一問題得到一致或基本一致的結果,則求解出錯概率大大降低,且不同解法所依據的原理差異越大,檢驗的準確性越高.例如在求解2007年B題時,將集合求交法與0-1規劃法求解的結果進行比較和相互驗證,效果極為理想.

(ii)分層分步檢驗模型計算結果.模型解決的問題可由多個子問題有序構成,前面子問題的結果可影響后繼子問題;每個子問題的求解由假設、建模、編程等步構成,每步的結果直接影響后繼步的結果.解決問題過程中分層分步檢驗,盡可能在每一步中查出并糾正錯誤,避免錯誤累積,大大提高了工作效率.例如2000年B題(鋼管訂購和運輸)的各鋼廠到各待鋪設管道節點的費用矩陣、2007年B題的直達時間(費用)矩陣等都是應該重點檢驗、不容有錯的中間結果.

[1] 趙建昕.提高數學建模能力的策略研究[J].數學教育學報,2004,13(3)：50-52.

[2] 丁思統.關于數學模型的評價與檢驗[J].江西農業大學學報,2006,28(4)：641-644.

[3] 趙麗君,朱華嵐.基于GIS商業零售業商圈分析[J].遙感技術與應用,2003,18(3)：144-148.

[4] 葉其孝.大學生數學建模競賽輔導教材(一)[M].長沙：湖南教育出版社,2000.

[5] 陳理榮.數學建模導論[M].北京：北京郵電大學出版社,1999.

Practice and Thoughts on Mathematical Modeling Evaluation

W EI Guo-qiang
(School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China)

Mathematical modeling evaluation is very necessary in raising students’modeling ability.Its presupposition must abide by purpose,simplicity and objectiveness.Mathematical model’s selection should accord with suitability,basic and feasibility.We put forward evaluation index abort model algorithm and check policy about calculate result.It is helpful to success of mathematical modeling teaching and competition to apply suitably this criterion and policy in the mathematical modeling practice.

mathematical modeling;evaluation;criterion;index;policy

G421

C

1672-1454(2011)03-0164-04

2008-09-16