高等院校數學專業解析幾何課程改革研究

邵光華, 王培合

(1.寧波大學教師教育學院,浙江寧波 315211; 2.曲阜師范大學數學科學學院,山東曲阜 273165)

高等院校數學專業解析幾何課程改革研究

邵光華1, 王培合2

(1.寧波大學教師教育學院,浙江寧波 315211; 2.曲阜師范大學數學科學學院,山東曲阜 273165)

本文從高校幾何學課程改革的一般現狀、解析幾何課程改革的必要性、課程內容改革和課程安排設想以及相關課程內容及設置時間的處理建議等角度對高等院校數學專業解析幾何課程改革做了一定的探討,并提出了解析幾何教材改革的具體內容和結構安排設想.

課程改革;Klein幾何觀點;變換群;解析幾何

1 高校幾何學課程改革的一般現狀

高等院校數學專業課程設置中,幾何學占有重要一塊,尤其是師范院校,幾何學被作為未來中學數學教師專業知識的重要組成部分.幾何學主要包括解析幾何、高等幾何、微分幾何、拓撲學等課程.課程教材多是二十年前的老教材.如呂林根、許子道的《解析幾何》(高等教育出版社,1987年),朱鼎勛的《解析幾何學》(北京師范大學出版社,1984年)等.新世紀以來,高等院校課程改革進入了一個新高潮,國家有關部門組織了面向二十一世紀課程改革及教材編寫工作.許多新版本教材相繼出版,其中,幾何課程新教材有幾本,如周建偉的《解析幾何》(科學出版社,2005年),黃宣國的《解析幾何和微分幾何》(復旦大學出版社,2003年),陳志杰的《高等代數與解析幾何》(高等教育出版社,2000年)等等.分析這些新教材,我們發現,仍有許多不盡人意的地方.如課程內容仍然陳舊,沒有很好地考慮到中學數學學習內容,尤其是中學新課改之后的幾何內容的變化;與高等代數課程整合的版本,淡化了幾何思想的學習,等等.的確,在數學課程改革中,誠如我國著名數學家姜伯駒院士所說：“隨著科學技術的發展,數學課程要不斷改革,其中以幾何課程的改革問題爭議最多,難度最大,中學如此,大學也如此,中國如此,外國也如此.數學本是幾何、代數、分析有機地結合的整體,人們往往看重代數的、分析的方法,而容易忽略幾何的觀念.其實,無論在數學史上,還是在當代數學中,數學思想的飛躍和突破常常與幾何學聯系在一起的.”所以,我們必須慎重地進行幾何課程的改革.

課程的改革是一個系統工程,它不僅是課程內容的簡單選取設定和教材的編寫修訂,同時它還涉及課程教學方面,課程改革同時指向教學改革,如教學方式的變革,教學手段的使用等,課程改革必須兼顧這些方面.但是,目前幾何課程的改革很少涉及對教學方式或手段的改革.綜觀大學幾何課堂,仍是傳統的教學方式,缺少時代教學思想信息,不能很好地利用現代信息技術手段輔助教學.我們認為,一場好的課程改革,一套好的教材的編寫,應能主導教師教學觀念的轉變、教學方式的變革和教學手段的革新.當然,就幾何課程改革而言,改革的成敗的評判標準最終取決于改革后的教學內容、課程體系、教學方法、教學手段、教學評價體系等能否能承擔起高校數學專業幾何課程的數學基本素質、基本能力和基本思想的培養責任.

鑒于當前幾何課程改革的情況,本文試從未來基礎教育數學課程改革狀況及數學教師專業知識需求出發,對幾何學課程系列中的基礎課程——解析幾何課程的改革做一探討.

2 解析幾何課程改革的必要性

解析幾何的基本思想是用代數的方法研究幾何問題.近年來,在高校教育改革的浪潮中,解析幾何課程從教學內容、課程體系、教材建設、教學方法和教學手段以及課程體系安排等多個方面也進行了一系列的改革,比如,有些改革從課程內容上嘗試涵蓋整個沒有微積分的仿射幾何、射影幾何以及橢圓和雙曲幾何,擴展解析幾何的內容,有些改革從整合角度,將傳統解析幾何和高等代數內容進行整合等等.隨著教學改革的進一步深化,解析幾何課程深入改革的內在必要性也越來越凸顯,主要體現在以下幾個方面：

1.新一輪中學數學課程改革導致高校解析幾何課程內容的重復.

近年來,中學數學教育已經進行了卓有成效的課程改革,一系列相關的改革成果被應用到中學的數學教學中去,給我國的中學數學素質教育做出了積極的貢獻.高等院校的數學專業,作為中學數學的進一步延伸和深化,隨著中學數學課程改革的不斷推進,有必要重新審視整個課程體系的設置,以便于整合課程資源,提高課程效率.從《普通高中數學課程標準》能夠看到,現在中學數學課程已經比較深入地講授了向量代數的基本內容,包括向量的線性運算、坐標表示、內積運算等有關向量代數的知識,以及向量在處理立體幾何上的應用.這樣,作為大學的基礎課之一的解析幾何,再詳細的闡述這些向量的基本運算及應用就造成了課程設置的重復和資源浪費.雖然在大學解析幾何中會明確地把向量置入線性空間和內積空間進行高觀點之下的討論,但這本質上應該歸屬于高等代數的理論范疇,不應該是解析幾何課程要承擔的角色.因此,高校解析幾何課程內容應該精簡,提高起點.

2.解析幾何與高等代數課程的整合實踐效果告訴我們解析幾何課程應保持其獨立性.

如前所述,解析幾何課程的改革一直以來吸引著人們的興趣.上世紀九十年代開始,國內諸多知名高校如清華大學、南開大學、華東師范大學等開始嘗試將高等代數和解析幾何有機地整合,借以消除向量空間在兩門課程中重復講授的弊端,并相繼編著了多部高等代數和解析幾何整合的統一教材,課程體系的安排也相應地做了些改變.這些改革的嘗試現在看來應該算是不成功的.解析幾何的基本思想和主要任務是用代數的方法研究幾何,具體說來就是把高等代數中的空間理論、二次型理論以及線性變換的相關理論應用到幾何對象上,借以研究幾何固有的性質.但是,解析幾何基本思想的內涵中還應該包括“代數工具的選取不能影響幾何”.這就要求解析幾何課程要承擔兩方面的角色,一是研究與代數工具選取無關的幾何性質,另一方面就是如何選取最有效的代數工具使得幾何性質的研究變得簡單.解析幾何的基本思想的內涵要求決定了它不是高等代數的附屬品,不能僅僅作為高等代數的空間理論的一個具體應用夾入到其中作為一部分.另外,國內的諸多高等代數和解析幾何的整合教材都或多或少地顯現著機械拼湊的痕跡,甚至在有的教材里面,解析幾何的相關內容都被作為高等代數的部分例題處理,這無疑使得解析幾何課程思想的傳授變得模糊甚至完全喪失.總體看來,高等代數和解析幾何的整合沒有先前預想的成功,課程性質和課程思想側重點的不同也決定了這兩門課的整合并不是解析幾何課程改革的必由之路.整合帶來的是淡化、降低了解析幾何的核心思想的體現,把解析幾何作為代數的應用領域或具體的一個實現模型了,失去了解析幾何的“幾何”本色.

3.解析幾何課程的深化改革是改變《高等幾何》課程的現狀的內在需要.

傳統的《高等幾何》課程包含了仿射幾何學和射影幾何學的教學內容,現在也被看作是解析幾何學的一個組成部分,其主要內容是討論空間幾何在仿射變換和射影變換之下的不變量并由此研究空間的幾何.作為數學的重要基礎課之一的高等幾何現在卻面臨著在絕大部分高等院校被忽略的尷尬地位.尤其是在省屬地方院校這一類學校層次上,現在基本上已經把《高等幾何》課程從教學計劃中刪除.作為數學專業的主要組成部分的幾何,只有經典的解析幾何和微分幾何是遠遠不夠的,沒有辦法把空間幾何的固有屬性和幾何學的基本思想完全滲透到數學教學中去.那么,基于這樣的現實,我們有必要將原來屬于高等幾何學的部分內容拿到解析幾何課程中來,重新組織解析幾何內容,以保持高校數學專業整個幾何課程的完整的體系,使學生獲得必要的幾何修養.

4.解析幾何課程的深化改革是Klein幾何觀點在大學數學教育中的滲透的需要.

經典的解析幾何主要內容包括向量代數、空間的點線面及相互位置關系、二次曲面以及二次曲線的分類理論.由于在課程講授過程中一般采用特殊的笛卡爾坐標系,所以逐漸喪失了解析幾何學的基本思想的合理滲透,甚至導致了“解析幾何就是在為學習高等代數中的空間理論做準備以及幫助學習數學分析時畫好空間圖形”這一以偏概全的錯誤觀點.向學生滲透課程思想是數學教學的主要任務之一.從數學教育的本質來講,這甚至是數學教學的最根本的任務.一門課程的成功教學,必定伴隨著學生對課程思想充分的理解和把握,反之,如果學生只是掌握了課程所列舉的計算和邏輯推理技能,很難說這樣的教學效果是合格的.在整個幾何學課程體系教學過程中,Klein的幾何學觀點是最重要的學科思想之一.Klein強調幾何學是探討變換群下不變性的一門學科.在整個幾何學的組成里面,經典的解析幾何可以看作是在歐氏變換群之下保持不變的性質,高等幾何中的仿射幾何則是在仿射變換群之下保持不變的性質,射影幾何則強調在射影變換群之下不變的性質.這三種幾何構成了空間中沒有微積分的幾何學的主要內容,并組成一個完備的空間幾何體系.通過對這個體系的完整學習,可以幫助學生深刻理解幾何學的本質內涵和研究方法,進而掌握Klein的幾何學觀點.所以,有必要將它們整合在一門課程中.

總之,解析幾何課程的改革需要深入進行.

3 解析幾何課程內容改革及其課程安排設想

1.轉變解析幾何課程觀念.

首先轉變傳統解析幾何課程觀念,不應再把它看成只是輔助《數學分析》的工具或學習《數學分析》的基礎,而應作為一門獨立課程來看待,有自己的課程思想,應作為一門學問來研究,學習其核心概念和重要數學思想.應該把分析、代數、幾何看成三門真正獨立成體系的學科,“三權鼎立”構筑數學專業學生的數學基礎,分別注重分析思想、代數思想、幾何思想等的學習.

2.突出解析幾何的幾何本質.

目前,《空間解析幾何》的基本內容多數仍是由“向量代數”、“直線和平面”、“二次曲面”等構成,學生接受這些內容困難不大,但學完后,對什么是幾何仍沒有弄明白,對于幾何的客觀存在性,“幾何量”與坐標變換的無關性,幾何圖形變換(變換是現實世界處理問題的主要基礎)的動態性質等等基本觀念,缺乏理性的認識,而這些基本觀念的建立,對于學習現代數學(如流形論)和現代物理(如廣義相對論)都是至關重要的.因此,有必要將《解析幾何》內容現代化,把變換群與幾何學緊密的聯系在一起,進一步加強同線性代數的內容和方法的聯系,即不僅要體現線性代數作為解析幾何的主要工具的作用,而且更要具體地給線性代數提供各種幾何背景和幾何解釋,更系統地閱讀解析幾何四種最基本的方法：向量方法、坐標方法、坐標變換方法和點變換方法,發展幾何空間概念,即在解析幾何課程中既要討論圖形的歐氏性質,還要進一步討論圖形的仿射性質和射影性質.

3.充實解析幾何課程內容.

解析幾何的內容不能過于貧乏,不能僅局限于歐氏幾何,課程內容必須能夠擴大學生的幾何視野,架起通向近代幾何的橋梁,及時傳達現代數學思想、數學方法和發展精神,使解析幾何課程內容改革跟上現代數學發展的步伐.整合經典的解析幾何學、仿射幾何學和射影幾何學,作為新的解析幾何內容,作為數學專業的基礎課程之一列入教學計劃.對于經典幾何學中的向量代數的基本內容和核心精神,由于在中學已經講授,并且在高等代數中會有更詳盡的處理,所以這些內容在整合后的解析幾何中可以直接作為工具來應用.對于三種幾何學的相關內容,要統一處理并做相應的比較,旗幟鮮明地體現出Klein的幾何學思想,明確課程的不可替代性,確立課程傳承幾何思想的地位.在這里,可能涉及到群概念的知識欠缺,可以適當補充介紹.

4.解析幾何課程改革后的教材內容設置.

整合后的解析幾何內容包含四部分內容.

第一部分 準備知識

Ⅰ 幾何變換理論

Ⅱ 群與變換群

Ⅲ 群在集合上的作用

Ⅳ 幾何不變量理論

Ⅴ Klein幾何觀點——愛爾蘭根綱領簡介

第二部分 空間中的線性解析幾何

Ⅰ 歐氏幾何中的點、直線、平面

Ⅱ 仿射幾何中的點和直線

Ⅲ 射影幾何中的點和直線

第三部分 空間中的非線性解析幾何

Ⅰ 歐氏幾何中的二次曲線的化簡和分類

Ⅱ 仿射幾何中的二次曲線的化簡和分類

Ⅲ 射影幾何中的二次曲線的化簡和分類

Ⅳ 歐氏幾何中的二次曲面

第四部分 球面幾何與羅氏幾何簡介

Ⅰ 球面幾何

Ⅱ 羅氏幾何簡介

5.解析幾何教材的編寫.

教材編寫要有特色,要體現現代教育思想觀念和教學理念,主導教學方法的改革.我們建議,教材編寫要突出問題性,通過設置各種問題啟發學生思維,引導教師貫徹啟發式教學原則.同時,根據課程的特點,教材編寫應與現代教育技術有機整合,使教學能夠有效利用現代教育技術,突出直觀性,幫助學生理解,提高教學效率.

4 相關課程內容及設置時間的處理建議

作為數學專業基礎課的解析幾何課程的改革會影響其他課程的內容設置和教學計劃的安排,尤其是傳統的三門基礎課之間的關聯.我們認為,作為三門基礎課的數學分析、高等代數、解析幾何,在內容安排上可以互相補充和滲透,并不一定非得邏輯地線性地進行安排講授,那樣做也是不現實的.因為數學從整體上講是邏輯的,但發展過程不是一個學科發展完而再發展另一個學科的,而是交叉進行的.所以,作為教學課程,也不可能一門課程完全在另一門課程之前或之后來講授,可以允許交叉滲透.這樣,我們可以統籌考慮如下：

1.數學分析的基礎問題.

傳統認為解析幾何為數學分析的學習提供基礎.根據目前中學課程改革情況看,數學分析前期內容的學習,中學解析幾何和向量內容部分基本夠了,個別的基礎解析幾何知識可在分析課程中適當補充.后面多元微積分的學習需要空間解析幾何做基礎,中學學習不夠,考慮到數學分析第三學期學習多元微積分內容,我們可以在第三學期開設解析幾何課程,跟多元微積分幾乎同步進行學習.

2.高等代數作為前奏.

課程安排上,整合后的解析幾何應該放在高等代數之后來開設.原因是高等代數中的二次型理論、矩陣的相關理論和線性空間、線性變換以及內積空間的代數工具可以直接納入到研究幾何的工具中,而不必要再做詳細的鋪墊.至于經典的解析幾何的向量代數所承擔的高等代數中的空間理論的模型角色,已經完全放在中學來實現.高等代數安排在第一學期開設,一年課程,正好為第三學期學習解析幾何課程做基礎.

這樣一來,三門基礎課在三個學期內開設完成,第一學期、第二學期開設分析、代數,第三學期開設分析、幾何.

3.后繼課程的學習也要體現幾何思想.

近世代數課程的學習中,可以在深刻地學習群論知識后,進一步闡釋Klein的幾何學群論觀點;復變函數的學習過程中,應該引導學生在等距群之下更好地理解球面幾何和羅氏幾何.

[1] 鞏子坤.論數學思想方法視域下的解析幾何課程改革[J].曲阜師范大學學報,2006,32(1)：125-128.

[2] 汪曉勤.Klein M的數學教育思想與高等數學教學[J].曲阜師范大學學報,2004,30(4)：106-110.

Study on the Curriculum Reform of Analytic Geometry in Universities

S HAO Guang-hua1, WA N G Pei-he2
(1.College of Teachers Education,Ningbo University,Ningbo,Zhejiang 315211,China; 2.School of Mathematical Science,Qufu Normal University,Qufu,Shandong 273165,China)

This paper states here probes into the curriculum reform of analytic geometry teaching in universities from the aspects of the general current teaching situation and the curriculum reform in universities,nececity of the reform,the reformed management of the teaching content and method.And also,we put forward to the content and management about the structure of the teaching material on analytic geometry.

curriculum reform;Klein’s geometrical option;transformation group;analytic geometry

G420;O182

C

1672-1454(2011)03-0017-05

2008-12-03

全國教育科學規劃“十一五”教育部重點課題(DHA060137)