一種加權最小熵的ISAR自聚焦算法

徐 剛 楊 磊 張 磊 李亞超 邢孟道

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

1 引言

逆合成孔徑雷達(ISAR)由于能夠實現運動目標的2維成像，獲得更多的散射點信息，有利于目標的分類和識別，因此越來越被廣泛應用[1]。ISAR距離維高分辨依靠發射寬頻帶的信號獲得，方位維高分辨依靠目標相對于雷達的轉動獲得。ISAR方位維分辨率與雷達相干積累時間和目標的轉動角速度兩者有關。在實際情況下，由于目標平動的存在，需要進行平動補償處理才可以獲得聚集良好的圖像。由于ISAR成像目標往往是非合作目標，所以基于回波數據的自聚焦算法研究是非常必要的。

自聚焦算法基于回波數據估計誤差相位實現圖像聚焦，在雷達成像中起著相當重要的作用。一般自聚焦算法大致分為兩類：基于特顯點的自聚焦算法和基于圖像整體信息的自聚焦算法，其典型算法分別為相位梯度自聚焦(Phase Gradient Autofocus,PGA)算法[2?4]和最小熵自聚焦(Minimum Entropy Autofocus, MEA)算法[5?7]。PGA 算法通過提取特顯點目標的相位歷程以估計誤差相位進行圖像聚焦處理。PGA具有很好的魯棒性，是因為其理論不基于模型化。更為重要的是，PGA算法的執行效率很高，往往只需要幾次迭代便可以實現圖像的良好聚焦。文獻[2]提出了一種通過選取高質量樣本的非迭代的QPGA算法，進一步提高了PGA的運行效率。文獻[3]針對 PGA存在相鄰特顯點導致聚焦效果不理想的缺點，提出了一種自適應距離單元樣本選擇的改進 PGA算法。文獻[8]提出了一種基于誤差相位最小二乘估計的 WPGA(Weighted Phase Gradient Autofocus)算法，根據不同距離單元的相位方差對回波的觀測相位進行加權處理，從而使估計誤差的方差最小，最終得到誤差相位的最優估計結果；文獻[9]進一步提出了一種適用于條帶SAR的WPCA(Weighted Phase Curvature Autofocus)算法，該算法具有較高的魯棒性，可以被應用于干涉SAR處理。然而PGA的主要缺點是在場景均勻和低信雜比條件下，因為不能成功提取特顯點的相位歷程而得不到理想的聚焦效果。MEA算法利用圖像的熵值進行誤差相位估計，它是一種基于圖像整體信息的算法。相對于PGA算法，MEA算法在低信噪比和低圖像對比度的條件下更具有魯棒性，能夠取得更好的聚焦效果。文獻[10]基于坐標下降法提出了一種同時更新(simultaneous update)法的最小熵自聚焦的迭代算法，能夠有效提高最小熵自聚焦算法的收斂速度。文獻[6]提出了一種基于子空間的最小熵ISAR自聚焦算法，其魯棒性和收斂性得到進一步保證。最小熵自聚焦算法將圖像的熵作為代價函數，如果直接求解誤差相位是非常困難的，需要利用數值迭代算法逐漸逼近最終求解目標函數。雖然最小熵算法能夠利用圖像的整體信息保證算法的魯棒性，但同時會增加最小熵算法的運算量。另外，利用所有樣本求解誤差相位必定會影響算法的收斂速度，從而導致最小熵自聚焦算法實時性較差的缺點。相對于PGA算法，MEA算法的缺點主要表現為運行效率較低和運算量較大。

PGA算法有效利用特顯點求解誤差相位，具有很高的收斂速度和高效性。可見，高質量的樣本在提高算法收斂性方面具有很重要的作用。本文基于最小二乘估計的魯棒特性提出了一種加權最小熵(Weighted Minimum Entropy Autofocus, WMEA)的ISAR自聚焦算法。首先基于最小二乘估計準則，根據不同距離單元的相位方差對圖像的熵進行加權處理，然后利用迭代算法估計誤差相位，通過逐步迭代最終實現圖像的聚焦處理。相對于MEA算法，WMEA算法的特點和優勢主要表現為：根據相位方差進行加權處理，提取回波信號中的多特顯點作為“高質量”的樣本，使其在熵值收斂中起主導作用，從而有效提高自聚焦算法的收斂速度；同時，利用最小二乘估計減小估計子的誤差方差，有效降低雜波以及噪聲的影響，具有更高的“魯棒”性，從而取得更好的聚焦效果。

2 最小熵自聚焦

自聚焦算法一般用于消除非空變的誤差相位，即誤差相位對于圖像中的各個散射點而言是相同的。這一類誤差相位主要由運動誤差、電磁波的傳播效應以及系統的不穩定性等因素造成[11,12]。在本文分析中，同樣假設誤差相位具有非空變性。自聚焦處理的對象一般為回波信號經過距離維脈沖壓縮處理而未進行方位維脈沖壓縮處理的回波信號。假設回波信號經過距離維脈沖壓縮處理，并且采用文獻[13]的最大相關法進行包絡對齊處理，對齊精度小于二分之一距離單元。

2.1 圖像模型

假設回波信號經過距離維脈沖壓縮和包絡對齊處理，第m個距離單元的最強散射點的多普勒頻率為fm以及起始相位為ψ0,m，并且假設第m個距離單元的其他較弱的散射點為雜波信號。ISAR回波信號可以表示為

式中ym,n為第m個距離單元在慢時間n的回波信號，m和n分別為距離維和方位維離散時間；φm(n)為第m個距離單元的雜波干擾相位；γ(n)為需要校正的非空變的誤差相位，僅為方位離散時間n的函數。

對式(1)的回波信號進行方位維 IFFT(Inverse Fast Fourier Transform)操作可得

式中zm,n為未進行誤差相位校正的“散焦”的圖像。假設 φ={φ1, φ2,… , φN}表示需要校正的誤差相位，那么誤差相位校正后的圖像可以表示為

式中zm,n(φ)為誤差相位的函數；在不考慮噪聲影響的條件下，當 φk=?γ (k)時，可以認為得到誤差相位的理想估計結果。為了簡化符號便于后續處理，在本文后面的表示中假設zm,n=zm,n(φ)。

2.2 最小熵自聚焦算法

假設

表示圖像的總能量，誤差相位影響圖像的聚焦質量，但由Parseval定理可知，圖像的總能量保持不變，所以Ez為常數。假設表示像素的能量密度(energy density)。圖像的熵定義為pm,n的函數：

當圖像散焦時圖像的熵較大，而當圖像聚焦良好時圖像的熵較小，所以可以將圖像的熵作為誤差相位的目標函數，那么目標函數可以構造如下：

根據文獻[10]可以求得誤差相位迭代表達式如下：

式中

3 基于加權最小熵的自聚焦算法

3.1 圖像的加權最小熵

由前面分析可知，MEA算法基于圖像的整體信息，在低信噪比和低圖像對比度的條件下，相對于PGA或者PCA算法具有更好的聚焦效果。然而，MEA最主要的一個缺點是運行效率偏低。對于MEA算法而言，各個樣本具有相同的權值，所占比重相同，其實質是假設各個距離單元的誤差相位的方差相同，然而通常情況下并非如此。PGA具有很高的運行效率，是因為它有效利用多特顯點。那么通過增加特顯點的權值以提高其在誤差相位估計中的作用，是否可以有效提高 MEA的運行效率？更為重要的是，應該根據什么準則進行權值構造才能有效提高MEA的收斂速度？

加權最小二乘估計根據觀測樣本方差的不同進行加權處理，從而取得估計子的最小估計方差。加權的作用是使“高質量”的樣本在估計中占較大的比重，從而有效提高估計的效果。ISAR圖像具有稀疏性，可以近似認為由若干個散射點組成，具有多特顯點特性。特顯點可以認為是“高質量”的樣本，因為特顯點具有較好的雜波和噪聲抑制特性。經過以上分析，如果根據距離單元的相位方差得到的權值對 ISAR圖像的熵進行加權處理，增強特顯點在MEA中作用，同樣可以達到提高誤差相位估計效果的作用。分析其原因主要包含兩個方面：(1)根據相位方差進行加權處理，提取回波信號中的多特顯點作為“高質量”的樣本，使其在熵值收斂中起主導作用，從而有效提高自聚焦算法的收斂速度。(2)根據相位方差進行加權處理，達到減小估計子方差的目的，這樣可以有效降低雜波以及噪聲的影響，從而取得更好的聚焦效果。本文通過分析誤差相位的最小二乘估計準則，提出了一種加權最小熵的自聚焦(WMEA)算法。

由于最小熵自聚焦僅為誤差相位φ的函數，與距離單元中特顯點的頻移相位2πfmn以及起始相位ψ0,m無關，所以假設特顯點被平移到圖像中心以及忽略起始相位的影響。根據文獻[14]可以求得誤差相位的加權最小二乘估計(WLS)結果。

加權最小二乘估計的方差可以表示為[14]

基于加權最小二乘估計準則，根據距離單元的相位方差構造權值，定義圖像加權熵如下：

由Parseval定理可知，進行誤差相位校正并不改變距離單元像素的總能量，所以式(11)中的第二項為常數。

那么 WMEA誤差相位估計的代價函數可以構造為

由于圖像在方位維的平移并不改變圖像加權熵的大小，所以 WMEA算法并不能估計常數和一階的線性誤差相位，而只能用來估計高階的誤差相位。其實沒有必要估計常數和一階誤差相位，因為它們并不影響圖像的聚焦質量。直接求解或者近似求解式(12)所示的代價函數非常困難，一般采用迭代的收斂算法進行求解。

3.2 加權最小熵自聚焦算法的求解

3.2.1 替代方程 如果直接求解式(11)和式(12)所示的代價函數是非常困難的，本文利用一種最優轉換算法[16]通過求解替代的代價函數進行誤差相位估計。假設式(11)的替代代價函數可以表示為Θ(φ;φ(l))，其中 φ(l)為第l次迭代得到的誤差相位估計值。Θ(φ; φ(l))需要滿足以下條件：

式中第1個條件可以保證原代價函數Swei(φ)在每次迭代時是下降收斂的；后面3個條件用以保證目標函數的單調性，其中前兩個條件表示替代函數Θ(φ; φ(l))與原代價函數Swei(φ)在 φ(l)處是正切的。

為進一步推導 Θ(φ; φ(l))的具體形式，做以下假設：

由式(14)可知，f(p)是一個實值的凹函數。f(p)在q(q≥ 0)處進行一階泰勒級數展開，g(p;q)=f(q) ?(1 + lnq)(p?q)=?plnq+q?p。 令p=可以得到以下結論：

式(16)所示的代價函數是一個非線性數學方程，直接求解也非常困難，需要進行代價函數的進一步轉化。

3.2.2 加權最小熵自聚焦算法的求解 由式(13)可知，替代函數 Θ(φ; φ(l))的收斂性弱于代價函數Swei(φ)，在保證替代函數收斂的條件下可以保證代價函數Swei(φ)的收斂性，即保證 Θ(φ; φ(l))遞減的前提下，Swei(φ)必定是遞減的。本文采用一種稱為同時更新[16](simultaneous update)的迭代算法求解式(16)所示代價函數，估計誤差相位。其基本原理是，每次迭代時同時估計然后利用每次估計的結果進行誤差相位補償，最后通過不斷迭代得到最終的誤差相位估計結果。

假 設 第l次 迭 代 估 計 的 誤 差 相 位 φ(l)=并且 φ(0)={0 ,0,… , 0}，利用估計值 φ(l)對回波信號進行誤差相位補償，進行初步聚焦處理，并假設初步聚焦圖像為下面基于第l次迭代的估計值推導第l+1次迭代的估計值。

式中

通過求解式(18)的導數，令其為零，從而求出誤差相位的迭代表達式。

式中該迭代算法的運算量主要在于求解Bk和Ak。通過計算可得：對于M×N大小的圖像，估計其中一個未知參數進行一次迭代的運算復雜度為O(MN)，那么N個參數一次迭代的運算復雜度為O(MN)。通過分析可以發現，對n的求和可以利用FFT進行高效計算，這樣可以同時求得估計誤差k=1,2,… ,N}，這種迭代算法稱為同時更新算法[8,16]。通過計算可得：對于N個未知參數的一次迭代，同時更新算法的運算復雜度為 Ο(MNlnN)。這樣自聚焦算法的迭代運算量可以得到有效降低；由于可以同時估計N個未知參數，迭代的收斂速度也可以得到有效提高。

4 實驗數據驗證

下面分別通過對 ISAR仿真數據和實測數據處理，通過比較最小熵自聚焦算法(MEA)和加權最小熵自聚焦算法(WMEA)所得結果的不同，驗證本文算法的有效性。

4.1 ISAR仿真數據處理結果

在仿真數據處理中，以 B727飛機作為仿真模型，信號帶寬150 MHz，脈沖重復頻率20 kHz，誤差相位如圖1所示。在進行距離維脈沖處理后，越距離單元徙動校正采用文獻[13]的最大相關法進行包絡對齊處理和誤差相位粗補償，包絡對齊誤差精度小于二分之一距離單元。由于誤差相位校正精度要求小于λ/4，所以誤差相位需要進行進一步的補償。然后分別采用MEA和WMEA算法進行自聚焦處理，并且經過相同的迭代次數，迭代次數設置為30。圖2(a)為MEA處理結果，圖2(b)為WMEA處理結果。由圖2可得，WMEA的成像結果比MEA得到整體改善，WMEA具有更好的聚焦效果。從飛機尾翼可以觀測到，WMEA成像結果為聚焦良好的點目標，而MEA成像結果發生“散焦”，點目標被擴散到相鄰的方位單元。圖3為兩種算法每次迭代時圖像熵的變化情況，觀測曲線可得：在前5次迭代中，WMEA比MEA具有更快的收斂速度；在第10次迭代時兩者熵值差異不大，是因為此時圖像已經達到了一定的聚焦效果，所以熵值變化不大；但從第 10次迭代后，MEA熵值基本保持不變，而WMEA算法對應的圖像熵值仍然在繼續變小直至不變，最終WMEA所得圖像熵值比MEA小，這說明 WMEA能夠在一定程度提高誤差相位的估計精度，從而有效提高聚焦效果。

圖1 誤差相位

圖2 兩種算法的ISAR仿真數據處理結果

圖3 兩種算法仿真數據處理的圖像熵收斂情況

4.2 ISAR實測數據處理結果

為了進一步驗證本文算法的有效性，下面對一組實測數據進行處理。該實測數據為 ISAR系統錄取的Yak-42飛機的回波數據，系統參數為：中心頻率5520 MHz，發射信號帶寬400 MHz，脈沖重復頻率100 Hz。原始回波數據的信噪比近似為22 dB，并且回波信號經過最大相關法的包絡對齊[13]處理。圖4(a)為MEA處理結果，圖4(b)為WMEA處理結果，并且兩者的迭代次數相同，設置為30。通過比較可得，WMEA算法比MEA算法具有更好的聚焦效果，這樣更加有利于目標的分類和識別。圖5(a)為兩種算法迭代的圖像熵收斂情況，顯然 WMEA比MEA具有較好的收斂特性，并且WMEA最終得到的圖像熵比 MEA小。需要說明的是，該實測數據比仿真數據的特顯點多，圖像信息豐富，通過比較圖3和圖5可得，實測數據下的WMEA算法的優越性更加突出。

圖4 兩種算法的ISAR實測數據處理結果

驗證自聚焦算法有效性的其中一個重要方面是考察在低信噪比的條件下的該算法是否具有良好的聚焦效果。在回波信號經過最大相關法的包絡對齊[13]處理后，對回波信號添加高斯白噪聲，其信噪比設置為0 dB。圖4(c)為MEA處理結果，圖4(d)為 WMEA處理結果，并且兩者的迭代次數相同，設置為30。可見，在低信噪比條件下，相對于EMA算法，WEMA 具有更好的聚焦效果。圖5(b)為兩種算法的收斂曲線，在低信噪比條件下，EMA算法的收斂性有很大起伏，即在噪聲的影響下，收斂性很差。而 WEMA算法在低信噪比條件下，同樣具有良好的收斂特性，可見該算法具有很好的魯棒性和噪聲抑制能力。

5 結論

圖5 兩種算法實測數據處理的圖像熵收斂情況

本文基于加權最小二乘估計的最小方差準則，提出了一種加權最小熵的 ISAR自聚焦算法(WMEA)。該算法相對于傳統最小熵自聚焦算法(MEA)具有更好的迭代收斂特性，并且在一定程度上能夠提高聚焦質量。最終分別通過仿真數據和實測數據對本文算法的有效性進行了驗證。

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