一道物理題的不同數學圖像解法

路文柱

“子彈擊木塊”是動量、能量綜合問題中的一種常見模型，一般通過動量守恒方程和功能原理方程綜合求解．但這類問題由于所列出的動量守恒和功能原理的方程一個為一次方程，一個為二次方程，有時求解非常繁瑣，不易得出有效結論;但通過圖像法求解，可使解決問題的過程更加直觀、簡潔．

【題目】一顆子彈水平擊穿原來靜止在光滑水平面上的木塊．設木塊對子彈的阻力恒定，則當子彈入射速度增大時，下列說法正確的是

A．木塊獲得的動能變大

B．木塊獲得的動能變小

C．子彈穿過木塊的時間變長

D．子彈穿過木塊的時間變短

分析:在子彈擊穿木塊的過程中，由于其間的阻力為恒力，故子彈做勻減速運動，木塊做勻加速運動．設質量為m的子彈以水平速度v0射入靜止在光滑水平面上、質量為M的木塊，用f表示子彈與木塊間的摩擦阻力，子彈相對木塊的位移為s相，d表示木塊的厚度．當子彈穿過木塊后，子彈和木塊的速度分別為v1和 v2，此時 s相=d．

解:由于子彈擊穿木塊過程兩者構成的系統動量守恒

由功能原理

設子彈加速度為a1，木塊加速度為a2，子彈穿過木塊時間為t，則對子彈和木塊由運動學公式得

其中 s相

理論上講，由(1)和(2)式可求出子彈擊穿木塊后兩者的速度表達式;再通過(3)或(4)式可求出時間t的表達式;并從表達式中可得到v1和 v2隨v0變化的情況．但實際解出v1，v2和t的過程非常繁瑣;即使解出了結果也無法直接看出v1，v2和t隨v0變化而變化的具體情況，即無法直接看出它們在數值上的大小關系．所以解答選擇題不宜定量求解;最好使用圖像法定性解答．

圖1

解法1:利用v－t圖求解

從子彈擊中木塊時刻開始，由前面(3)和(4)式可作出二者的vt－t圖像，如圖1中的實線所示．由vt－t圖像的物理意義可知，梯形OABv01的面積為子彈相對木塊的位移s相，即木塊的厚度d．當子彈的初速度增大為v02時，子彈、木塊運動的vt－t圖像如圖1中的虛線所示，梯形OA1B1v02的面積仍等于子彈相對木塊的位移，即木塊的厚度d．故二梯形面積相等．對比實、虛線可知，當子彈射入速度增大，即v02＞v01，木塊的速度將變小，動能將變小，子彈穿過木塊的時間將變短，即t2＜t1．本題的正確選項為B，D．

解法2:利用s相－t圖求解

設子彈擊穿木塊的過程中，子彈和木塊通過的位移分別為s1和s2，子彈相對木塊的位移和加速度分別為s相和a相，則由運動學公式得

由以上兩式可得

即

作不同初速度所對應的s相－t圖像，如圖2所示．

圖2

極大值為

對照物理過程，對稱軸左側部分為正向減速過程，運動速度(圖像斜率)大于零，對稱軸右側部分為反向減速過程，運動速度(圖像斜率)小于零，而頂點表示子彈相對木塊速度恰好減為零(即兩者有相同的速度)時的狀態．由于子彈在穿過木塊的運動過程一直是正向減速過程，所以實際上的運動圖像為對稱軸的左側部分．由頂點坐標公式可知，當初速度v0越大，對稱軸的值也越大，極大值s=也越大，圖像的頂點(圖2中平行于橫軸和縱軸的兩虛線的交點)依次向右、向上移動，如圖2所示，其中v02＞v01．由圖像可看出，在s相相同的情況下，t2＜t1，即初速度v0越大，則子彈擊穿木塊的時間t越短．再由公式v2=a2t可知，子彈擊穿木塊后，木塊的速度v2也越小．正確選項為B，D．

解法3:利用v相－t圖求解

由前面(3)和(4)式可得

即

作出不同初速度下的v相－t圖像，如圖3所示．

圖3

圖中v02＞v01．圖線和t軸所圍面積為子彈相對木塊的位移s相．由圖像可知，當s相相同時，即圖線和t軸所圍面積相同的情況下，由于圖像斜率

恒定不變，子彈初速度v0越大，則穿過木塊所用時間t越短，即

進而由公式v2=a2t求得子彈擊穿后木塊的速度v2也越小．正確選項為B，D．

以上利用不同的圖像解答了同一問題，結論完全一致．看來靈活應用函數及圖像來處理物理問題，是解決物理問題必需的一項本領，它使得處理問題更加方便、快捷、直觀．