線電荷與無限長介質橢圓柱系統的電勢

張婭妮 何 暉

(西南大學科學教育研究中心 重慶 400715)

在穩恒場中存在著大量的復雜邊界問題，常采用保角變換，使邊界簡單化、規范化;而且為了進一步簡化穩恒場的分析和計算，還常引入像電荷、像電流等物理量．線電荷與橢圓介質圓柱的電勢就是比較常見的一種復雜邊界問題．本文求解線電荷與接地橢圓柱介質系統的電勢，所采用的方法是，先由儒闊夫斯基變換將橢圓變換為圓，同時找出與橢圓柱軸平行的線電荷所在位置，變換前后點與點的對應關系，接著用鏡像法求得問題的解．

1 保角變換

如圖1所示，設有介電常量為ε1無限長直橢圓柱介質與平行線電荷系統置于介電常量為ε2的無限大均勻介質中．

圖1 線電荷與橢圓柱介質系統

橢圓柱介質的任一橫截橢圓面的長、短半軸分別為a和b，半焦距為c，平行線電荷單位長度的電荷量為λ，圖中P(x0，y0)是平行線電荷在截面中的位置，Q(x，y)為截面中橢圓外的任意點．由于無限長直橢圓柱介質與平行線電荷的電勢在任意橫截面上的情況都是相同的，因此可以轉化為二維場的問題．

圖2 同心族

利用儒闊夫斯基變換［1］的圓．

令 z=x+iy ω=Reiψ

則z平面上的點P(x0，y0)變為ω平面上的點P'，且

假設過點P(x0，y0)點的共焦橢圓方程滿足可將z平面上的共焦橢圓族變成ω平面上的同心族，如圖2所示．圖1中的橢圓變為ω平面上半徑為

解得

則ω平面上線電荷所在位置的半徑和輻角分別為

同理，對于z平面中橢圓外的場點Q(x，y)，可變為ω平面上的圓，其中

2 線電荷與介質橢圓柱的電勢分布

用鏡像法求解特定條件的電勢分布的關鍵在于確定鏡像電荷的位置和鏡像電荷的電荷量．因此用鏡像法求解某區域的電勢時，應在所求電勢區域外部的適當位置上，設想有像電荷，這個像電荷不改變所求電場區域內的電荷分布，并且像電荷在所求空間產生的電場與邊界上極化電荷所產生的電場等效［2］．因此在計算介質橢圓柱內的電勢時，鏡像電荷必在圓柱外，可設在介質橢圓柱外q1處有一鏡像線電荷q1'，以q1'代替圓柱表面的極化電荷的作用，并將整個空間視為介電常量ε1的均勻介質．同理，計算介質圓柱外的電勢時可設圓柱內部有一線電荷q1″，并設q1″位于q1與圓柱軸線O的連線上，距離O為r'處，同時考慮到介質圓柱極化電荷的凈電荷為零，故在計算介質圓柱外的電勢時還應假設在圓柱軸線上有鏡像電荷 － q1″(圖 3)．易求得［3］

圖3 鏡像電荷的位置

于是得到介質橢圓柱內、外的電勢分布為

3 討論

3． 1 線電荷與導體橢圓柱系統的電勢分布

故利用(4)式可以很容易得到線電荷與導體橢圓柱系統的電勢分布．將(4)式代入(2)式得到

這就表明導體橢圓柱的電勢是常量，等于導體橢圓柱上的電勢．

3． 2 無限長的線電荷與無限大的電介質分界面

由前面所得到的線電荷與介質橢圓柱系統的電勢分布，當a→∞，b→∞ 時，橢圓柱面就過渡到平面，處于橢圓柱軸上的像電荷－q1″所激發的電場就可以忽略．

如圖4所示，設兩介質分界面為yO'z平面．

式(5)即是導體橢圓柱外介質中的電勢分布．由該式可知橢圓柱導體外的電勢由位于(r0，0)的q1和位于

圖4

則x＜0左半空間的電勢是

關于 x＞0右半空間的電勢，由于 a→∞，b→∞，則位于橢圓柱軸線上的 －q1″距分界面無限遠，其對電勢的貢獻可以略去，于是可以得到x＞0右半空間的電勢為

綜上所述，利用保角變換可以將橢圓柱化為熟悉的圓柱;再利用鏡像法求出線電荷與橢圓柱介質系統的電勢．這種方法比較簡便易行．對結果的近一步討論，可以得到線電荷在導體橢圓柱外和線電荷在兩種無限大均勻介質中的電勢分布．

1 周希郎．電磁理論中的應用數學基礎．南京:東南大學出版社，2006．271 ～ 272

2 郭碩鴻．電動力學．北京:高等教育出版社，1997．70～71

3 劉邁，蘇景順，王樹平．線電荷和介質圓柱系統的電勢分布．大學物理，2010，29(03)