線電荷與無(wú)限長(zhǎng)介質(zhì)橢圓柱系統(tǒng)的電勢(shì)

張婭妮 何 暉

(西南大學(xué)科學(xué)教育研究中心 重慶 400715)

在穩(wěn)恒場(chǎng)中存在著大量的復(fù)雜邊界問(wèn)題，常采用保角變換，使邊界簡(jiǎn)單化、規(guī)范化;而且為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化穩(wěn)恒場(chǎng)的分析和計(jì)算，還常引入像電荷、像電流等物理量．線電荷與橢圓介質(zhì)圓柱的電勢(shì)就是比較常見(jiàn)的一種復(fù)雜邊界問(wèn)題．本文求解線電荷與接地橢圓柱介質(zhì)系統(tǒng)的電勢(shì)，所采用的方法是，先由儒闊夫斯基變換將橢圓變換為圓，同時(shí)找出與橢圓柱軸平行的線電荷所在位置，變換前后點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，接著用鏡像法求得問(wèn)題的解．

1 保角變換

如圖1所示，設(shè)有介電常量為ε1無(wú)限長(zhǎng)直橢圓柱介質(zhì)與平行線電荷系統(tǒng)置于介電常量為ε2的無(wú)限大均勻介質(zhì)中．

圖1 線電荷與橢圓柱介質(zhì)系統(tǒng)

橢圓柱介質(zhì)的任一橫截橢圓面的長(zhǎng)、短半軸分別為a和b，半焦距為c，平行線電荷單位長(zhǎng)度的電荷量為λ，圖中P(x0，y0)是平行線電荷在截面中的位置，Q(x，y)為截面中橢圓外的任意點(diǎn)．由于無(wú)限長(zhǎng)直橢圓柱介質(zhì)與平行線電荷的電勢(shì)在任意橫截面上的情況都是相同的，因此可以轉(zhuǎn)化為二維場(chǎng)的問(wèn)題．

圖2 同心族

利用儒闊夫斯基變換［1］的圓．

令 z=x+iy ω=Reiψ

則z平面上的點(diǎn)P(x0，y0)變?yōu)棣仄矫嫔系狞c(diǎn)P'，且

假設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)點(diǎn)的共焦橢圓方程滿足可將z平面上的共焦橢圓族變成ω平面上的同心族，如圖2所示．圖1中的橢圓變?yōu)棣仄矫嫔习霃綖?/p>

解得

則ω平面上線電荷所在位置的半徑和輻角分別為

同理，對(duì)于z平面中橢圓外的場(chǎng)點(diǎn)Q(x，y)，可變?yōu)棣仄矫嫔系膱A，其中

2 線電荷與介質(zhì)橢圓柱的電勢(shì)分布

用鏡像法求解特定條件的電勢(shì)分布的關(guān)鍵在于確定鏡像電荷的位置和鏡像電荷的電荷量．因此用鏡像法求解某區(qū)域的電勢(shì)時(shí)，應(yīng)在所求電勢(shì)區(qū)域外部的適當(dāng)位置上，設(shè)想有像電荷，這個(gè)像電荷不改變所求電場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的電荷分布，并且像電荷在所求空間產(chǎn)生的電場(chǎng)與邊界上極化電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)等效［2］．因此在計(jì)算介質(zhì)橢圓柱內(nèi)的電勢(shì)時(shí)，鏡像電荷必在圓柱外，可設(shè)在介質(zhì)橢圓柱外q1處有一鏡像線電荷q1'，以q1'代替圓柱表面的極化電荷的作用，并將整個(gè)空間視為介電常量ε1的均勻介質(zhì)．同理，計(jì)算介質(zhì)圓柱外的電勢(shì)時(shí)可設(shè)圓柱內(nèi)部有一線電荷q1″，并設(shè)q1″位于q1與圓柱軸線O的連線上，距離O為r'處，同時(shí)考慮到介質(zhì)圓柱極化電荷的凈電荷為零，故在計(jì)算介質(zhì)圓柱外的電勢(shì)時(shí)還應(yīng)假設(shè)在圓柱軸線上有鏡像電荷 － q1″(圖 3)．易求得［3］

圖3 鏡像電荷的位置

于是得到介質(zhì)橢圓柱內(nèi)、外的電勢(shì)分布為

3 討論

3． 1 線電荷與導(dǎo)體橢圓柱系統(tǒng)的電勢(shì)分布

故利用(4)式可以很容易得到線電荷與導(dǎo)體橢圓柱系統(tǒng)的電勢(shì)分布．將(4)式代入(2)式得到

這就表明導(dǎo)體橢圓柱的電勢(shì)是常量，等于導(dǎo)體橢圓柱上的電勢(shì)．

3． 2 無(wú)限長(zhǎng)的線電荷與無(wú)限大的電介質(zhì)分界面

由前面所得到的線電荷與介質(zhì)橢圓柱系統(tǒng)的電勢(shì)分布，當(dāng)a→∞，b→∞ 時(shí)，橢圓柱面就過(guò)渡到平面，處于橢圓柱軸上的像電荷－q1″所激發(fā)的電場(chǎng)就可以忽略．

如圖4所示，設(shè)兩介質(zhì)分界面為yO'z平面．

式(5)即是導(dǎo)體橢圓柱外介質(zhì)中的電勢(shì)分布．由該式可知橢圓柱導(dǎo)體外的電勢(shì)由位于(r0，0)的q1和位于

圖4

則x＜0左半空間的電勢(shì)是

關(guān)于 x＞0右半空間的電勢(shì)，由于 a→∞，b→∞，則位于橢圓柱軸線上的 －q1″距分界面無(wú)限遠(yuǎn)，其對(duì)電勢(shì)的貢獻(xiàn)可以略去，于是可以得到x＞0右半空間的電勢(shì)為

綜上所述，利用保角變換可以將橢圓柱化為熟悉的圓柱;再利用鏡像法求出線電荷與橢圓柱介質(zhì)系統(tǒng)的電勢(shì)．這種方法比較簡(jiǎn)便易行．對(duì)結(jié)果的近一步討論，可以得到線電荷在導(dǎo)體橢圓柱外和線電荷在兩種無(wú)限大均勻介質(zhì)中的電勢(shì)分布．

1 周希郎．電磁理論中的應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．南京:東南大學(xué)出版社，2006．271 ～ 272

2 郭碩鴻．電動(dòng)力學(xué)．北京:高等教育出版社，1997．70～71

3 劉邁，蘇景順，王樹(shù)平．線電荷和介質(zhì)圓柱系統(tǒng)的電勢(shì)分布．大學(xué)物理，2010，29(03)