大范圍運動剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學建模與仿真

楊正賢，孔憲仁，廖 俊，徐大富

（哈爾濱工業(yè)大學 衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150080）

0 引言

隨著航天器、機器人等機械系統(tǒng)朝著輕質(zhì)、高速、高精度方向發(fā)展，具有輕質(zhì)柔性部件的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)大量出現(xiàn)。以往對這類剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的控制研究多是基于傳統(tǒng)零次近似動力學模型[1-2]。這種建模方法直接使用結(jié)構(gòu)動力學中的變形假設，忽略了大范圍運動和彈性變形的耦合項，而且沒有考慮大范圍運動對彈性變形運動的振動頻率和振型模態(tài)的影響。當系統(tǒng)存在大范圍剛體運動特別是高速運動時，零次近似動力學模型已不能正確揭示剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的動力學行為[3-4]，所以有必要研究更符合實際的精細動力學模型。

近年來，許多學者[5-10]從連續(xù)介質(zhì)力學的基本原理出發(fā)，提出了較零次近似動力學模型更為精確的一次近似耦合動力學模型，并通過實驗驗證了零次近似模型的局限性和一次近似模型的準確性。但是該類模型都是從精細動力學分析需求的角度出發(fā)，在變形位移場和應力-應變中保留高階項，導致動力學模型越來越復雜并引入大量強非線性項。這對于控制器的設計來說是不利的，增加了其設計和實際應用的難度，因此有必要建立適合剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)控制器設計的一次近似耦合動力學模型。

本文針對中心剛體加旋臂梁的系統(tǒng)，首先利用Hamilton原理建立了偏微分的一次近似耦合動力學模型，然后采用有限元法對其離散得到常微分形式動力學模型。該模型在變形位移場描述中計及二次耦合項，同時忽略軸向拉伸量，使得在引入動力剛化項時，簡化了動力學模型。仿真結(jié)果表明，該精簡模型正確預示了系統(tǒng)的動力學行為，能夠用于實際控制系統(tǒng)設計。

1 剛?cè)狁詈蟿恿W模型

圖1為帶有大型柔性附件的典型剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)模型。模型包括一個中心剛體和一個均勻懸臂梁式柔性附件。中心剛體在平面內(nèi)繞固定點ON旋轉(zhuǎn)，柔性梁固結(jié)在中心剛體OB上。假設柔性梁為小變形小應變下的等截面Euler-Bernoulli梁，材料均勻且各向同性。這種模型在航天、機器人等領(lǐng)域有廣泛的應用背景。

圖1 剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學模型Fig. 1 Dynamic model of rigid-flexible coupling system

圖1中，中心剛體的半徑和轉(zhuǎn)動慣量分別為a和Jh；T為作用在其上的力矩；E、A、l、ρ分別為柔性梁的彈性模量、截面積、自然長度和體積密度；分別為慣性坐標系和固結(jié)在未變形柔性梁中與之間的夾角；為關(guān)于的矢量；未變形梁上任意點Q0變形后為Q，為其變形矢量；

1.1 梁變形描述

圖2中φ為梁變形后中軸面轉(zhuǎn)過的角度，柔性梁中軸線上任意點P0變形后為P，那么其變形矢量在浮動坐標系下的表示為[4-5]

式中：us、v分別為柔性梁軸向拉伸量和橫向彎曲撓度；為梁變形位移的二次耦合項，是梁橫向彎曲引起的縱向位移。傳統(tǒng)零次混合坐標建模方法中，并沒有考慮變形耦合，但當其與大范圍運動相耦合時，將影響系統(tǒng)的動力學性質(zhì)。矢量在浮動坐標系下的表示分別為

由圖2中梁的幾何變形關(guān)系，同時考慮到梁小變形下 φ為小值的假設，可以得到梁上任意點Q0(x,y)的變形矢量在浮動坐標系下的表示為

其中縱向位移 -y? v /?x 項是由梁橫向彎曲引起軸向伸縮變形造成的?？紤]在很多實際情況下，軸向拉伸量us為微小量，忽略us得到梁上任意點的變形描述為

由公式(1)、(3)、(4)、(6)得到柔性梁上任意點Q在慣性坐標系下的速度表示

圖2 梁上任意點變形描述Fig. 2 Deformation at any point on a flexible beam

1.2 系統(tǒng)動能

系統(tǒng)動能Tsys由中心剛體動能和柔性梁的動能兩個部分組成，即

假設梁為細長梁，其截面慣性矩為小量，忽略梁截面轉(zhuǎn)動引起的動能，可以得到的系統(tǒng)動能表達式為

1.3 系統(tǒng)勢能

梁的變形梯度J和拉格朗日應變張量ε[11]分別為

其中I為單位陣。將式(4)、(5)、(10)代入式(11)，得到柔性梁剪切應變 εxy= 0，y方向的應變εyy=0，而x方向的應變εxx≠0，可以看出應變張量ε滿足Euler-Bernoulli梁的假設。考慮小變形、小應變的假設，忽略εxx中高階項，則得

系統(tǒng)的勢能只考慮梁的應變能，那么正交各向同性材料構(gòu)成的等截面柔性梁的勢能為

1.4 連續(xù)動力學模型

利用Hamilton最小作用原理來建立系統(tǒng)的動力學方程為

式中：δUsys為系統(tǒng)勢能變分；δTsys為系統(tǒng)動能變分；δWf=Tδθ為外力做功變分。

將式(9)、(13)代入方程(14)，省略一些關(guān)于uf的高階小量，得到剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的一次近似動力學方程

及邊界條件

1.5 離散動力學模型

為便于動力學仿真和控制器設計，須對偏微分方程(15)、(16)進行離散化；同時為避免假設模態(tài)法在模態(tài)選擇上的隨意性影響動力學模型的精度，采用有限元 Galerkin加權(quán)殘值法[12]對剛?cè)狁詈蟿恿W方程組(15)、(16)進行離散化。

如圖3所示，將總長為l的柔性梁等分為n個長度le=l/n的兩節(jié)點單元段，得n+1個節(jié)點，第一個節(jié)點位于浮動坐標系原點OB。Li=l(i-1)/n為第i節(jié)點距離浮動坐標系原點OB的距離，為梁上中線點在第i單元段內(nèi)的縱向坐標，

圖3 柔性梁有限元模型Fig. 3 Finite element model of flexible beam

式中：vi( t)為第i節(jié)點在浮動坐標系內(nèi)的橫向平移量；定義梁的單元形函數(shù)[11]

方程組(15)、(16)的有限元離散化模型為

其中的常值量表示如下：

2 數(shù)值仿真

為驗證本文精簡的動力學模型是否能正確預示系統(tǒng)的動力學行為且有足夠的精確性，并適合控制器設計，取兩組動力學模型進行仿真對比分析。這兩組模型分別為：模型 1——文獻[4]中實驗驗證的動力學模型，并忽略其末端質(zhì)量塊的影響；模型2——本文動力學方程(21)、(22)。取系統(tǒng)物理參數(shù)：柔性梁的長度l = 8 m，楊氏彈性模量為E = 6.895 2×1010N/m2，體積密度ρ =2.766 7× 103kg/m3，截面積 A=7.3×10-5m2，截面慣性矩I =8.2×10-9m4，中心剛體半徑a = 1 m，轉(zhuǎn)動慣量

2.1 動力剛化分析

梁從靜止開始加速旋轉(zhuǎn)，采用文獻[8]介紹的旋轉(zhuǎn)規(guī)律，在時間 t =15 s內(nèi)達到角速度θ˙= 4 rad/s，即

圖4所示為模型1梁端點軸向拉伸量。當角速度達到4 rad/s時，8 m梁的端點軸向拉伸量僅為1.301×10-4m左右，并有微幅振動。圖5所示為兩模型梁末端的橫向位移對比圖，兩模型梁末端橫向位移之差隨時間變化可見圖6。模型2與模型1出現(xiàn)了動力剛化現(xiàn)象，梁的橫向振動并沒有像零次模型一樣發(fā)散。模型2與模型1的橫向變形位移基本一致，當角速度在 15 s后穩(wěn)定在4 rad/s時，兩模型的梁端點橫向位移做等幅振蕩，且在振動幅值和相位上只存在微小的差別。由圖6可以看出最大誤差在2×10-5m內(nèi)，由于存在振動微小相位差，橫向位移之差的幅值呈振蕩形式。

圖4 模型1梁端點軸向拉伸量Fig. 4 Axial tip displacements for model 1

圖5 梁末端橫向位移Fig. 5 Transverse tip displacements

圖6 兩模型梁末端橫向位移之間的差值Fig. 6 The difference of transverse tip displacements between model 1 and model 2

2.2 剛?cè)狁詈戏治?/h3>

對模型1、2實施bang-off-bang的大角度機動控制如下，T為控制力矩，

圖7所示為模型1梁端點軸向拉伸量曲線。在整個控制過程中模型1梁端點軸向拉伸量非常微小，最大約9×10-7m，完全可以忽略。圖8所示為模型1和模型2的剛體角度曲線，圖9為兩模型剛體角度之間的差值曲線。在bang-off-bang控制力矩作用下，系統(tǒng)在15 s時完成了3 rad左右的大角度機動，模型 1、2中剛體角度輸出基本一致，只存在細微的差別。圖10為在bang-offbang控制下，模型1、2中梁末端橫向位移曲線，圖 11為兩模型末端橫向位移之間的差值曲線?？梢钥闯觯涸诜讲ǖ募钕拢?5 s控制結(jié)束時，梁端點發(fā)生了幅值達0.15 m左右的橫向振動，模型1、2中梁末端橫向位移輸出基本一致，差別微小。

圖 7 模型1梁端點軸向拉伸量Fig. 7 Axial tip displacements for model 1

圖 8 剛體角度Fig. 8 Angular displacement of the hub

圖 9 兩模型剛體角度輸出之間的差值Fig. 9 Difference of angular displacements for the hub between model 1 and model 2

圖10 梁末端橫向位移Fig. 10 Transverse tip displacements

圖11 兩模型梁末端橫向位移之間的差值Fig. 11 The difference of transverse tip displacements between model 1 and model 2

所以，忽略軸向拉伸量的模型2與實驗驗證的動力學模型1相比，也正確地預示了剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的動力學特性，在梁的橫向振動以及中心剛體運動輸出上達到了同一級別的精度，完全滿足控制器設計高精度的要求；同時，由于軸向拉伸量的忽略降低了系統(tǒng)狀態(tài)變量并減少了動力學方程中的強非線性項，更利于控制器的設計。

3 結(jié)論

1）在柔性梁經(jīng)歷大范圍運動時，梁軸向拉伸量對梁橫向振動的固有頻率的影響很小。

2）忽略軸向拉伸量的動力學模型 2與實驗驗證的動力學模型1相比，正確地預示了剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的動力學特性。

3）在變形位移場描述中計及縱向變形的二次耦合項，同時忽略軸向拉伸量，可以減少動力學方程中的強非線性項及狀態(tài)變量，達到簡化動力學模型的目的。

4）本文模型是一種能夠用于實際控制系統(tǒng)設計的高效、高精度的一次近似剛?cè)狁詈蟿恿W模型。

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