剪切褶皺薄膜動態特性分析

李云良，魯明宇，譚惠豐，譚憶秋

(1.哈爾濱工業大學交通科學與工程學院，150090哈爾濱，liyl-hit@163.com;2.哈爾濱工業大學土木工程博士后流動站，150090哈爾濱;3.香港理工大學機械工程學院，香港;4.哈爾濱工業大學復合材料與結構研究所，150001哈爾濱)

在薄膜結構中，由于薄膜的抗彎剛度很小，所以往往有褶皺存在［1-2］.褶皺將影響到薄膜的穩定性及其應力分布，而且還會對薄膜的動態特性產生一定的影響［3］.目前對于薄膜褶皺的形成及擴展規律進行了廣泛研究［4-6］，而對于薄膜產生褶皺后的動態特性的研究則相對較少.

Kukathasan等［7］對具有褶皺薄膜的自振特性進行了數值模擬分析.對薄膜褶皺的處理采用了迭代薄膜性能方法(IMP)，分析了不同褶皺模式對于薄膜振動的影響，分析中還考慮了空氣阻尼的影響，并與實驗研究結果進行對比分析.Hossai和Jenkins［8-9］研究了具有褶皺的三角形薄膜和環形薄膜的振動特性，褶皺的模擬采用修正材料罰參數方法(PPMM).罰參數是在平面內的小主應力方向上分配一個近似于零的剛度值，以消除剛度矩陣的奇異使計算獲得收斂.具有褶皺薄膜的振動模態與不具有褶皺薄膜的振動模態相比發生了很大變化，二者的固有頻率也存在著一定區別.

薄膜產生褶皺以后，其平衡位形發生了變化，因此具皺薄膜的振動應當在褶皺的構形基礎上進行，才能獲得更為精確的分析結果;同時由于褶皺構形引起的薄膜平衡位形的變化及褶皺區域的應力分布特點，導致其振動模態與褶皺構形之間應具有一定的相關性，本方對相關問題進行了分析.

1 具有褶皺薄膜振動的微分方程

薄膜產生褶皺以后，將產生一定的面外變形.具有褶皺的薄膜，將以褶皺構形為平衡位置進行振動.采用拉格朗日方程建立褶皺薄膜振動的微分方程.

振動過程中薄膜彎曲形變勢能為

式中:D為彎曲剛度;w為振型函數;v為泊松比.應變勢能為

式中:E為彈性模量;t'為薄膜厚度;εx、εy、γxy分別為線應變和剪應變.

只考慮微幅的薄膜面外振動，而不考慮薄膜的面內振動，振動構形函數為w，褶皺的面外變形的表達式為w0，兩者均為坐標(x，y)的函數.在這種情況下，應變的表達式為

式(3)代入式(2)得到薄膜應變勢能為

設薄膜的密度為ρ，薄膜振動的動能表達式為

假定振動構形及褶皺構形為如下的級數形式

將式(6)代入式(1)、(4)、(5)，得到振動過程勢能表達式為

動能表達式為

由拉格朗日方程

其中

將式(7)、(8)代入式(14)，結合式(13)，得

式(15)表示非線性振動的微分方程，如果忽略非線性項的影響，則得到線性振動的微分方程

令qi=aisinωt代入上式有

寫成矩陣的形式為

式中剛度矩陣K和質量矩陣M的分量如式(11)和(9)所示，向量A是振動的特征向量，即振動的模態.

由式(11)可知，剛度矩陣中耦合了薄膜平衡位置的褶皺面外變形的影響.由于張力場理論忽略了褶皺引起的面外變形，所以采用基于張力場理論的褶皺薄膜的動態分析，相當于忽略了式(11)中所有與w0有關的項，所以基于張力場理論的動態分析將存在一定的誤差.

通過求解方程(18)的特征值和特征向量，可以得到褶皺薄膜振動的固有頻率和模態.矩陣的特征值問題可以通過子空間迭代法或蘭索斯方法進行求解.

通過有限元方法求解方程(18)，其剛度矩陣可由單元剛度矩陣組裝而成，即

單元剛陣Ke由3部分組成

并且

式中:KeL為線性剛陣;Keσ為初應力剛陣;KeNL為大位移剛陣;σ為初始應力;B為應變矩陣;D為彈性矩陣.

通過具有褶皺薄膜的單元剛陣的表達式可以看出，具有褶皺薄膜的動態分析要分兩步進行:首先獲得薄膜在外載荷作用下的平衡構形，即褶皺構形;然后通過褶皺變形來更新幾何模型，從而形成具有褶皺變形影響的剛度矩陣的分量，再通過特征值分析得到系統振動的固有頻率和模態.

2 褶皺薄膜振動的數值分析流程

褶皺產生以后，薄膜的構形發生了變化，并且薄膜中的應力分布也發生了變化.所以動態分析應當考慮薄膜構形的變化及其所引起的質量矩陣和剛度矩陣的變化，也就是說，動態分析應當在褶皺構形上進行.為此本文建立了具有褶皺薄膜的動態分析流程如圖1所示.

圖1 褶皺薄膜動態分析流程

采用殼單元進行薄膜褶皺分析，首先施加小的初始預張力，使薄膜獲得一定的初始剛度，便于分析收斂;然后施加微小的面外擾動(通過擾動力的形式來施加)使結構變得不穩定，以便跟蹤到分岔路徑，獲得褶皺構形;施加外載荷進行后屈曲分析(在分析過程中適時的去除外擾動力，以消除擾動對分析結果的影響)獲得褶皺構形;通過模型更新來考慮褶皺構形對動態特性的影響，進行考慮有預應力效應的褶皺薄膜的模態分析，得到振動的固有頻率和振動模態.

3 算例分析

建立矩形剪切薄膜分析模型如圖2所示.薄膜尺寸為380 mm×120 mm，彈性模量、泊松比、密度及薄膜厚度分別為:E=3.53 GPa，v= 0.34，ρ=1 400 kg/m3，t'=50 μm.

圖2 剪切矩形薄膜

邊界條件為上下邊界固定，左右邊界自由.上邊緣首先向y方向拉伸一個小的距離δ2，以使薄膜中產生一定的初始應力，然后上邊緣向x方向產生剪切變形δ1.此時在薄膜中會產生與底邊成θ角的斜向褶皺，通過圖1流程來分析薄膜產生褶皺以后的動態特性.單元數量為5 080個，初始張拉距離為 δ2=0.1 mm，剪切距離為 δ1= 0～3 mm.分析過程中施加的初始擾動力為0.1 N.

3.1 振動模態與褶皺構形的相關性

當初始張拉距離為0.1 mm，不同剪切距離得到的褶皺變形模式如圖3所示.可以看出，隨著剪切距離的增加，褶皺的數量并沒有發生變化(均為12個褶皺).

圖3 不同剪切距離時的褶皺構形

當剪切距離為0.5 mm時，得到具有褶皺薄膜的前四階模態.圖4為褶皺薄膜縱向中線的振動模態與張拉距離為 0.1 mm、剪切距離為0.5 mm時薄膜的縱向中線的褶皺構形的對比.圖中實線為振動模態，虛線為褶皺構形.箭頭所處的位置為節線位置.從節線的數目來看，隨著模態階數的增加，節線的數目依次減少.通過縱向中線的振型與褶皺構形的對比，可以清晰看出，振動模態與褶皺構形的相關性.由圖4可見，對稱的振型和反對稱的振型交替出現.并且節線的位置都處于褶皺構形的波峰位置.(反對稱的振型中，對稱軸處的節線除外).以節線為分界，振動模態中存在3種振動形式.Ⅰ型振動:1/2個褶皺波長范圍內同向振動，節線的位置為褶皺波峰的位置;Ⅱ型振動:3/4個褶皺波長范圍內同向振動，節線的位置為波峰和中面線的位置;Ⅲ型振動:1個褶皺波長范圍內同向振動，節線的位置為波峰的位置.依此類推，在更高階的振型中，將出現3/2個褶皺波長、7/4個褶皺波長、2個褶皺波長等波長范圍內的同向振動.3種振型在前八階模態中的數量分別如表1所示.從3種振型的數量來看，高階模態的振動形式變得更加復雜，并且有更多的褶皺波峰參與振動.

通過理論分析可知，褶皺波峰處將出現較大的拉應力，并且褶皺的波峰位置在一個褶皺范圍內具有最大的面外變形.由此結合式(21)可知，在褶皺的波峰位置將形成較大的局部剛度，這樣就導致在褶皺薄膜的振動過程中褶皺波峰多處于節線的位置，不發生振動.并且在高階模態下，隨著褶皺波峰開始參與振動，相應的其振動頻率也在增加.由此可見，由于褶皺所形成的面外變形及褶皺區域應力分布的特點，共同決定了褶皺薄膜的振動模態與褶皺構形的相關性.

圖4 褶皺薄膜的振動形式與褶皺構形的對比

表1 不同的振動形式分布

3.2 褶皺幅度對振動頻率的影響

在薄膜初始張拉距離為0.1 mm時，前四階固有頻率與剪切距離的變化關系如圖5所示(上橫坐標軸的刻度是與剪切距離對應的褶皺最大面外變形與薄膜厚度的比值).可以看出隨著剪切變形的增加，褶皺的變形幅度增大，并且其頻率出現了振蕩變化.各階頻率與沒有發生剪切變形的情況相比明顯下降了.

P1～P4(不同剪切距離時對應的基頻)點所對應的振動模態如圖6所示.圖中只顯示了節線的位置.由于褶皺的數目沒有隨著剪切距離的增加而發生變化(均為12個褶皺)，所以其節線的數目也沒有發生變化，這與前面分析的振動模態與褶皺構形相關性的分析結論相吻合.只是在大的剪切變形的情況下，在薄膜的邊緣處出現了局部振動.

圖5 剪切變形與振動頻率

圖6 不同剪切距離時的一階振型

4 結語

首先基于拉格朗日方程建立了考慮褶皺面外變形的薄膜后屈曲振動的微分方程，并基于有限元程序建立了其數值求解過程，基于所建立的求解過程對剪切矩形薄膜的后屈曲動態特性進行了分析.

薄膜后屈曲的振動模態與其褶皺構形具有很大的相關性，振動的節線處于褶皺的波峰位置，隨著褶皺的波峰參與振動，其固有頻率相應增加，薄膜褶皺的面外變形及褶皺區域的應力分布規律共同決定了這一特點.隨著褶皺面外變形幅度的增加，其固有頻率發生了振蕩變化，與沒有發生屈曲薄膜的動態特性相比，產生褶皺以后薄膜振動的固有頻率明顯減小了.

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