時間序列的單位根檢驗與偽檢驗

郭洪偉

（首都經濟貿易大學統計學院，北京100070）

0 引言

經濟分析中經常涉及時間序列的分析處理。不管是多變量的回歸分析,還是用模型分析單個時間序列,都要先檢驗時間序列的平穩性。對于平穩序列和非平穩序列，在建模時需要給予區別對待。

如果一個時間序列的聯合概率分布不隨時間而變化，則稱該時間序列是嚴格平穩的。如果時間序列變量的均值、方差和協方差不隨時間變化,就可以認為該序列是弱平穩（或寬平穩）。通常情況下，我們所說的平穩指弱平穩。日常分析時，對于序列平穩性的檢驗，通常采用單位根檢驗檢驗方法。

假設隨機過程{yt,t=1,2,…,n}滿足yt=yt-1+ εt,其中,εt獨立同分布,且E（εt） =0,D（ε2t）=E（ε2t) =σ2＜∞ ,則稱 yt為隨機游走過程。假設隨機過程{yt,t=1,2,…,n}滿足yt=ρyt-1+εt,其中εt為一均值為0的平穩序列,當ρ=1時，其滯后算子特征多項式存在一個單位根，此時稱yt為單位根過程。可見,隨機游走過程是單位根過程的特例。當ρ＜1時 yt是一個平穩序列，當ρ＞1時，yt是一個非平穩序列。如果時間序列是非平穩的,但經過一階差分后成為平穩過程,則稱該序列為一階單整序列，記為I(1)。通過單位根檢驗判斷序列平穩性的方法叫單位根檢驗。如果一個序列不管差分多少次，也不能變為平穩序列，則該序列為非單整序列。因為我們研究的經濟數據非單整序列不多，本文不討論非單整序列。

目前對單位根檢驗所采用的比較有影響的方法,主要有ADF檢驗、PP檢驗、KPSS檢驗及NP檢驗等。其中最常用的方法是ADF檢驗和PP檢驗。

ADF檢驗法是對DF檢驗方法的擴展,當序列殘差項非白噪聲時,為了消除殘差項的自相關性,在回歸模型等號的右邊加入被解釋變量本身的滯后項,將這一滯后項視為外生變量再進行檢驗,這樣可以有效解決具有高階自相關的時間序列問題。

ADF檢驗有3個輔助方程:

(1)無截距項和無趨勢項

(2)僅含有截距項

(3)含有截距項和時間趨勢項

其中符號△表示一階差分算子,c為截距項,αt為趨勢項,∑ki=1γiΔyt-i為k個分布滯后項，ut為平穩的隨機誤差項,k為確定ut滿足白噪聲的最大滯后階數。依據Schwarz或Akaike信息準則越小則表明模型越好。

ADF檢驗對于上述三個回歸模型中ut有個基本假定：ut的方差相同。所以ADF檢驗只適用于方差齊性序列的檢驗。后來，Phillips和Perron對ADF檢驗統計量進行了非參數修正，得到PP統計量。利用PP統計量進行的檢驗叫PP檢驗。PP統計量不僅考慮到ut的異方差性，同時也考慮到自相關誤差產生的影響，并與ADF統計量有相同的分布。PP檢驗的輔助方程與ADF檢驗的也類似。

需要指出的是，在使用ADF檢驗與PP檢驗時，特別要注意假設檢驗犯第二類錯誤（β錯誤）的風險。正如劉田（2008）的結論：ADF檢驗與PP檢驗對數據生成過程非常敏感,它們對線性趨勢或無趨勢平穩過程可以作出很好的檢驗判斷。但對非線性趨勢而言,如平方根趨勢、二次趨勢、對數趨勢、分段線性的結構突變趨勢等,ADF檢驗與PP檢驗趨向于將平穩過程判斷為存在單位根,得出錯誤的檢驗結果[1]。不管是假設檢驗的第一類、第二類錯誤還是人為處理不當都會造成序列平穩性檢驗的偽檢驗，導致檢驗結論的錯誤。

1 時間序列平穩性的幾個結論

時間序列的平穩性與其生成過程、時期跨度及后期的加工方法都有關系。為了判別、驗證不同文獻的檢驗結論，下面我們先證明與平穩性有關的幾個結論。

定義 從一個完整的序列中連續抽取一部分數據構成的新的序列稱為原序列的子序列。如對于序列{0,1,2,3,4,5,6},序列{1,2,3,4}是一個子序列，但{2,3,4,6}不是子序列。

結論1對于一個平穩時間序列yt(t=1,2,...,n)，其任何一子序列都是平穩序列。

證明：根據平穩序列的定義，可得yt的均值、方差、協方差有以下特點。

那么，對于任意一個yt的子序列xt,(t≤n),顯然有：

所以子序列xt為平穩序列。結論1得證。

根據此結論可知，文獻[2]所述“由于樣本區間選擇的差異導致的錯誤”導致的偽檢驗是存在的。文獻[2]中原作者對水平值DLPOW的1970～2006數據檢驗是平穩的，但對1978～2006這個子序列檢驗的結論是存在單位根。根據本文結論1，后者是前者的子序列，如果前者平穩的結論是正確的話，1978～2006也應是平穩的。這兩個時間段的結論是相互矛盾的。從假設檢驗原理可知，第一類錯誤的概率不會大于α，一般來說拒絕原假設所犯錯誤概率小，所以“平穩”結論是正確的，而1978～2006這個子序列檢驗中是偽檢驗。一般來說是判定為有單位根（檢驗結論是非平穩）時，假設檢驗犯第二類錯誤風險較大。

根據上面結論1，可得如下推論。

推論 對于一個非平穩序列，任何以該序列為子序列的序列都是非平穩序列。

證明：設yt是個非平穩時間序列，yt是 zt的子序列。利用反證法。

如果zt是平穩序列，那么根據結論1，其子序列yt也是平穩的，這與yt是個非平穩時間序列矛盾。故推論1得證。

結論2對于一個時間序列yt，p為大于0的任意常數，則yt的每個值都乘以 p得到的新序列記為zt，則新序列zt與原序列yt平穩性相同，即原序列yt平穩則新序列zt也平穩，原序列yt非平穩則新序列zt也是非平穩的。

證明：假設yt是個平穩時間序列，p為大于0的任意常數，則有：

（1）均值E(yt)=u(t=1,2,...,n)

那么有：

所以zt也是平穩序列。

利用反證法，假設yt是個非平穩時間序列，如果zt是平穩序列，那么根據上面的結論用1/p去乘zt也應是平穩的，即yt也應是平穩，與前述矛盾。所以zt與yt一樣非平穩。綜上，結論2得證。

結論3對于一個d階單整時間序列yt,對于其任何一子序列zt，設zt的單整階數為k，則有k≤d。

證明：設有一個d階單整時間序列yt，記為I(d)，yt的d階差分序列記為ydt則根據單整定義ydt為I(0)，即是個平穩序列。

設zt為來自于yt的任一子序列，記zt的d階差分序列為zdt。顯然，zdt是ydt的子序列。根據結論1，因為ydt是平穩序列，所以zdt也是平穩的。所以zt的d階差分序列平穩，但我們不知其d-1階差分是否平穩，所以不能肯定zt是 I（d）.假設zt是 I（k）,我們肯定有k≤d。因為若k＞d，zt的d階差分序列不可能是平穩的。結論3得證。

根據結論3，文獻[3]所說的“偽檢驗”可能不存在。原作者把LGDP的樣本期間由原來的1978～2004年縮短為1992～2004年,檢驗結論由不平穩變為平穩，并把此稱為“樣本區間選擇帶來的錯誤”。根據結論3，把樣本期間縮短，LGDP序列的單整階數不會高于原來的階數，如果原序列是不平穩的單整序列，其子序列可能是平穩的也可能非平穩，這都不矛盾。這不能說檢驗方法出了問題，更不能稱之為“偽檢驗”。

2 文獻中我國GDP數據序列的偽檢驗

國內生產總值（GDP）,是指按市場價格計算的一個國家或地區所有常住單位或產業部門在一定時期內生產活動的最終成果。GDP作為一個國家或地區經濟總量的最重要的度量指標，在各種經濟分析文章中被經常使用。我們知道支出法計算的GDP數據和收入法計算的會有差異，各地方統計數據和國家統計數據也有出入。筆者無法獲得所有后附參考文獻的原始數據，所以本文以下的分析，假設所有人使用的原始數據沒有差異。

分析GDP序列首先要做的是對數據的加工和檢驗。GDP數據的加工主要分三步：

第一步，根據價格指數調整，剔除價格因素；

第二步，季節調整，去除季節因素（季度數據時）；

第三步，自然對數變換，減除數據系列的異方差性，使數據更平穩。

筆者對我國1952～2008年的GDP數據及人均GDP數據進行了實證檢驗。數據來源于國泰安信息技術有限公司的《中國宏觀經濟研究數據庫》（2010版）。在檢驗之前對GDP數據序列（記為GDP）及人均GDP數據序列（記為RGDP）進行了加工。以1952年為基期的價格指數剔除價格因素影響，得到實際GDP和實際人均GDP序列，分別記為SGDP、SRGDP。然后利用SGDP計算實際GDP年度增長率，記為DGDP。顯然，DGDP是從1953年開始到2008年的一個數據序列。對SGDP、SRGDP取自然對數，分別記為LNSGDP、LNSRGDP.我們主要探討DGDP、LNSGDP和SRGDP、LNSRGDP四個序列的平穩性。本文所有數據利用Eviews6.0處理,下面給出了檢驗結果。

2.1 LNSGDP的單位根檢驗

經檢驗LNSGDP原序列非平穩，對其一階差分的ADF檢驗結果如表1。

從檢驗結果看，LNSGDP序列是I（1）序列，這與大部分文獻的檢驗結論相同。利用本文結論3的結論，可知1952～ 2008間任一子序列要么是I(1),要么是平穩的。但是文獻[4]、文獻[5]、文獻[6]都認為取對數后的GDP序列是I（2）序列。這明顯與筆者檢驗結論矛盾。他們利用的數據都是筆者所用序列的一個子序列，他們的檢驗結論不應該和此結果矛盾。仔細研究發現文獻[4]和文獻[6]的數據沒有利用價格指數調整,根據本文結論2，價格調整對序列平穩性應該沒有影響，但是這里還要取對數，此時價格平減的影響就很難說了。實際上，我們應該先通過價格指數平減，然后再取對數，這樣LNSGDP序列應是I(1).文獻[5]先發現LNSGDP不平穩，后檢驗LNSGDP的二階差分平穩，但他們沒有發現LNSGDP的一階差分也平穩，所以他們把LNSGDP錯判成I(2)序列。這里要指出的是，文獻[7]考慮結構突變的檢驗結論也與此并不矛盾。文獻[7]認為我國1952—2004的實際GDP的對數序列是圍繞著1個或2個結構斷點的分段趨勢平穩序列。我們知道分段趨勢平穩，單位根檢驗的結果時不平穩的，但通過差分分段趨勢差異消除后，應該是平穩的，所以有結構斷點的分段趨勢平穩序列的單位根檢驗結果是I（1），有的文獻把這個檢驗也稱為偽檢驗[8]。筆者對此觀點持不同看法。

表1 △LNSGDP檢驗結果

2.2 DGDP的單位根檢驗

這里要說明的是，DGDP是實際GDP的年增長率，不是實際GDP的一階差分。DGDP原序列的ADF檢驗結果如表2。

經檢驗DGDP為平穩序列。根據本文結論1，DGDP的子序列也是平穩序列，所以我國1953～2008年期間任何一時間段的實際增長率序列（DGDP）都應該是平穩的。但文獻[9]認為真實GDP計算的增長率是I(1)序列.文獻[9]分析1995年第1季度到2008年第4季度季的度數據，季度數據不能和筆者年度數據檢驗結論直接比較。文獻[10]也分析季度數據，利用1979年第1季度到2009年第3季2009年第3季度GDP增長率數據，經檢驗調整后的GDP增長率數據具有整體平穩性，即是I（0）序列。文獻[9]的數據是文獻[10]數據的子序列，根據本文結論1，如果文獻[10]結論正確，文獻[9]的檢驗結論也應是平穩的，但實際不然。若不考慮其他原因，他們兩方至少有一方檢驗是偽檢驗。仔細研究發現文獻[9]使用季度數據但沒有進行季節調整，這可能是問題的原因所在。

表2 DGDP的檢驗結果

2.3 SRGDP、LNSRGDP的單位根檢驗

對實際人均GDP序列（SRGDP）進行檢驗，其原序列和一階差分序列都是非平穩的，對其二階差分序列ADF檢驗結果如表3。

對實際人均GDP自然對數序列（LNSRGDP）進行檢驗，其原序列是非平穩的，對其一階差分序列ADF檢驗結果如表4。

若考慮到SRGDP可能存在的異方差性，筆者也利用了PP檢驗法分析SRGDP序列，結果與上面類似，具體數據略。從上述檢驗結果可知SRGDP為I(2)序列,LNSRGDP序列是I（1）序列。根據結論3，SRGDP的子序列可能是I(2)，也可能是I(1),或者是I (0).對于具體的SRGDP的子序列要具體分析。但是對于一個固定的子序列只能是上面的三者之一。文獻[11]分析1981～2007年間年度數據，原作者認為年度人均實際GDP一階單整，即是I (1)序列。這并不與筆者檢驗結論矛盾（即使王冬生得出I(2)的結論與筆者也不矛盾）。但是文獻[12]檢驗1986～2006年的SRGDP是I(2).而文獻[10]判定1981～2007年的SRGDP為I(1).前者的序列正好是后者序列的一個完整子序列，根據本文結論3，此二位作者的結論矛盾，可能有一方的單位根是偽檢驗。仔細分析發現，文獻[11]沒有發現人均GDP異方差性，用ADF方法檢驗不合適，所以與文獻[12]用PP檢驗的結論矛盾。文獻[7]認為我國1952～2004年實際人均GDP的對數序列是圍繞著1個或2個結構斷點的分段趨勢平穩序列。正如前面LNSGDP檢驗中論述的一樣，筆者認為這與本文的結論“LNSRGDP是I(1)序列”不矛盾。

表3 SRGDP序列檢驗結果

表4 LNSRGDP序列檢驗結果

3 結束語

本文分析了時間序列平穩性檢驗與偽檢驗。我們知道數據序列期間選擇的不同或對數據的加工處理不一致，會導致不同的檢驗結論，但不同的結論不能說明單位根都是偽檢驗。GDP序列作為基礎數據，是分析其他經濟問題的前提，如果有關GDP序列的檢驗出了問題，那以后的結論可想而知。筆者通過對我國1952～2008年的GDP數據分析，得出有關GDP的檢驗結論：實際人均GDP及取對數序列分別為I (2)、I(1)序列，實際GDP取自然對數序列為I（1）序列，實際GDP增長率（DGDP）是平穩序列。在具體分析某個時間段GDP數據時，可利用本文的結論相互驗證，避免偽檢驗的發生。

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