加筋板整體屈曲臨界應力計算與分析

王 偉 吳 梵

海軍工程大學 船舶與動力學院，湖北 武漢 430033

加筋板整體屈曲臨界應力計算與分析

王 偉 吳 梵

海軍工程大學 船舶與動力學院，湖北 武漢 430033

利用解析法對加筋板穩定性進行了研究，忽略材料非線性的影響，利用理論方法求解四邊簡支加筋板的整體屈曲臨界應力。對有一根加強筋的加筋板，定義板的撓曲函數，將其代入邊界方程和協調方程，求解線性方程組的特征方程得到加筋板的臨界應力。對有2根或多根加強筋的規則加筋板，利用能量法導出統一計算的公式得到臨界應力。最后，利用有限元軟件Abaqus和Nastran進行數值仿真，與理論解比較后得出本文計算方法是正確的，可以準確求解加筋板的穩定性問題。

加筋板；穩定性；整體屈曲；臨界應力

1 引言

屈曲問題是船舶設計中的重要問題，歷來受到船舶力學工作者的高度重視［1］?，F代船舶隨著功能的多樣化，結構形式更加復雜，為了保證船體結構的安全，必須對其穩定性進行研究。加筋板是船體的主要組成結構，對其穩定性的研究是船舶穩定性研究的基礎。許多學者都進行了加筋板的穩定性研究［2－7］，其中絕大多數是采用有限元法進行研究，缺乏理論指導，沒有給出統一的計算公式，本文利用解析法，研究了加筋板的屈曲問題，給出了規則加筋板臨界應力的統一計算公式，使加筋板的臨界應力計算簡單可靠，可以用來指導工程實踐。屈曲從失效模式上分為局部屈曲和整體屈曲，整體屈曲對船舶結構的影響更大，所以本文只研究加筋板的整體屈曲問題。在計算過程中，為了簡化理論推導，忽略了材料非線性的影響，本文只研究加筋板的彈性屈曲問題。

2 理論分析

2.1 基本模型

一塊長度為a，寬度為b，厚度為t的矩形板，四邊簡支連接，該板在中線上有一縱向加強筋，加強筋的截面積為A，慣性矩為I。假定加強筋的抗扭剛度相當小，可以忽略不計，只考慮加強筋在垂直于板面方向的抗彎剛度，如圖1所示，加筋板單向受壓，板在x＝0和x＝a的2條邊上承受均布荷載σt，加強筋具有和板相同的壓應力。

2.2 屈曲模式分析

首先引入下列符號：

式中，系數γ為加強筋的抗彎剛度與寬度為b的板的抗彎剛度的比值；δ為加強筋的橫截面積與板的橫截面積bt的比值；n為加強筋的數量。

由于板和加強筋組成的加筋板是對稱于x軸的，在屈曲后所發生的位移形式有以下2種情況：對稱形式—加強筋和板一起發生撓曲，即加筋板的整體屈曲；反對稱形式—加強筋保持為直線，加強筋兩側的板各自發生撓曲，即加筋板的局部屈曲。在后一種情況中，板在屈曲后有一波節線，它和加強筋的軸相重合，板的每一半就相當于長度為a，寬度為b／2的四邊簡支板，此時，板和加強筋組成的加筋板的屈曲荷載達到其最大值。

加筋板的剛度比值γ較小時，加筋板出現對稱位移形式，此后隨著γ的逐漸增大，加筋板的臨界應力逐漸增大，當γ大于某一數值γ0時，加筋板出現反對稱的位移形式，此后加筋板相當于2塊四邊簡支的板和加強筋各自發生撓曲，加筋板的臨界應力與筋無關，而是等于寬度為b／2的簡支板的臨界應力。臨界值γ0是與加筋板產生反對稱屈曲形式所必需的加強筋的最小抗彎剛度相對應的，求出γ0就可以直接判斷加筋板是發生對稱屈曲還是發生反對稱屈曲。當γ＞γ0時，加筋板發生反對稱屈曲，加筋板的臨界應力達到最大值，這在工程實際中很少遇到，即使遇到也可以容易求解，所以本文主要研究在γ＜γ0時的對稱屈曲情況。

2.3 臨界應力求解

假設屈曲板的撓度表達式為［8］：

式中，w1為板的下半部分的撓度。由于對稱關系，板的另一半的撓度w2可立即得到。κ1和κ2的表達式為：

式中，Q1和Q2為靠近加強筋的板在單位長度內的剪切力。

加強筋的軸向荷載為σcA，將加強筋簡化為單跨梁，它的撓度w的微分方程式為：

將式（3）分別代入式（6）、式（7）、式（15），求解線性方程組的特征方程得到對稱屈曲形式的穩定條件：

將式（4）、式（5）代入式（16），對不同的半波數 m求出相應的μ，回代式（5）得到該屈曲模式下的臨界應力為：

2.4 兩根相同加強筋規則布置的情況

如圖2所示單向受壓的四邊簡支板上有2根加強筋，加強筋將板等分為3份，由于加強筋尺寸相同，而且均勻布置，因此加筋板將發生關于板面中線的對稱屈曲或3個半波的反對稱屈曲，不會發生其他形式的屈曲。發生反對稱屈曲時的臨界應力可以利用板的屈曲理論求得，在此不作討論，主要研究發生對稱屈曲時情況。

若用上面類似方法進行求解，協調方程難以確定，下面采用能量法計算多根加強筋的加筋板整體屈曲臨界應力。加強筋均勻布置，加筋板為對稱結構，根據板架的簡化計算模型［9］，假設四邊簡支加筋板的撓度為：

式中，m為x方向的半波數；y方向為對稱屈曲形式，只有1個半波。

板的應變能為：

式中，Nx為板上作用的均布壓力，且 Nx＝σcrt；t為加筋板的板厚。

加強筋的外力功為：

式中，Px為加強筋上作用的軸向力，且Px＝σcrAx；Ax為加強筋的截面積。

根據Timoshenko提出的能量法，如果加強筋的外力功小于其應變能，加強筋是穩定的；如果外力功大于應變能，加筋板是不穩定的［10］。利用外力功等于應變能可以確定加筋板對稱屈曲時的臨界應力，簡化得到：

求出最小的σcr便得到加筋板的臨界應力，此時對應的m值為x方向的半波值。

2.5 多根相同加強筋規則布置的情況

3根相同加強筋均勻布置的加筋板示意圖如圖3所示。

撓曲線仍取上面的函數為：

根據相關參考文獻中提到的加筋板臨界應力統一公式的推演過程，結合上面的推導，得到如下結論：對于相同加強筋均勻布置的規則板架，其發生整體失穩時，在y向屈曲成一個半波，且臨界應力為：

式中，n為加強筋的數目。

此公式具有一定的通用性，可以方便計算規則加筋板的臨界應力。

3 算例分析

3.1 一根加強筋置于簡支板中的情形

板和加強筋示意圖如圖4所示。

板四邊簡支，加強筋縱向布置在板中間，加筋板縱向受壓，板和加強筋采用相同的材料，E＝205 800 MPa，υ＝0.3。 利用本文方法求得理論解，同時利用有限元軟件Abaqus和MSC.Nastran進行數值仿真，將有限元解與理論解進行比較。

3.1.1 板和加強筋的尺寸都發生變化的情況

取12個算例，板和加強筋的尺寸都在發生變化，研究各參數對臨界應力的影響，計算結果如表1所示，臨界應力隨γ的變化曲線如圖5所示。

從表中數據和圖中曲線可以得出如下結論：

1）Abaqus計算的結果與理論值較接近，用其進行數值仿真，所得結果更加準確；

2）板的尺寸較加強筋的尺寸對臨界應力影響大一些，在板和加強筋的尺寸都發生變化時，首先關注板尺寸的變化；

3）加強筋的高度比厚度對臨界應力影響大一些；

表1 板和加強筋尺寸均發生變化的臨界應力計算表Tab.1 Camputation sheet of critical stress varying with the sizes of plate and stiffener

4）在各參數都變化時，臨界應力與γ沒有完全的線性增長關系，不能僅根據γ的變化判斷臨界應力的變化，還要參考其他數據；

5）理論計算結果較有限元解偏大。這主要是由于撓度表達式中所選的項數太少，這樣計算相對簡單，但使結果偏大，增加撓度表達式的項數就可以使結果更加準確。

3.1.2 板寬發生變化，其他尺寸均不變

板尺寸對臨界應力的影響很大，取4個算例，板的寬度發生變化，其它尺寸不變，研究板寬單獨變化對臨界應力的影響，計算結果如表2所示，臨界應力隨γ和δ的變化曲線如圖6和圖7所示。

表2 板寬發生變化的臨界應力計算表Tab.2 Computation sheet of critical stress varying with width of plate

從表中數據和圖中曲線可見：

1）隨著板寬的增加，臨界應力減小的幅度越來越??；

2）臨界應力隨γ和δ的增大而增大，增長幅度越來越大。

3.1.3 板厚發生變化，其他尺寸均不變

取4個算例，板的厚度發生變化，其他尺寸不變，研究板厚單獨變化對臨界應力的影響，計算結果如表3所示，臨界應力隨γ和δ的變化曲線如圖8、圖9所示。

從表中數據和圖中曲線可見：臨界應力隨γ和δ的增大而減小，減小幅度越來越??；隨著板厚的增加，加筋板的屈曲半波數發生變化。

表3 板厚發生變化的臨界應力計算表Tab.3 Computation sheet of critical stress varying with the plate thickness

3.2 多根加強筋均勻布置的情況

利用有限元軟件Abaqus和Nastran進行仿真計算，得出多根加強筋時加筋板穩定性的規律。材料屬性同上，加強筋采用板條加強筋和L型加強筋。

3.2.1 多根板條加強筋的情況

取 4個算例，板條加強筋的根數為 2、3、4、5，研究加筋板臨界應力隨根數的變化規律，計算結果如表4所示，臨界應力隨γ和δ的變化曲線如圖10和11所示。

表4 多根板條加強筋臨界應力計算表Tab.4 Computation sheet of critical stress of stiffener with multiple slabs

從表中數據和圖中曲線可見：

1）臨界應力隨γ和δ的增大而增大；

2）隨著板條加強筋數量的增加，加筋板屈曲的半波數并沒有發生變化，說明加強筋的數量并不是影響屈曲模式的主要因素。

3.2.2 多根L型加強筋的情況

取 4 個算例，L 型加強筋的根數為 2、3、4、5，研究加筋板臨界應力隨根數的變化規律，計算結果如表5所示，臨界應力隨γ和δ的變化曲線如圖12和13所示。

表5 多根L型加強筋臨界應力計算表Tab.5 Computation sheet of critical stress of stiffener with multiple L slabs

從表中數據和圖中曲線可見：

1）臨界應力隨γ和δ的增大而增大；

2）L型加強筋比板條加強筋對加筋板的臨界應力影響大。

4 結論

通過理論分析和算例比較，可以得到如下結論：

1）本文導出的解析方法簡單可靠，可以求解加筋板的彈性屈曲問題，具有重要的理論價值，為更加復雜結構的彈性屈曲問題求解奠定理論基礎。

2）加強筋的尺寸和形狀影響加筋板的臨界應力，但板的尺寸，特別是厚度對臨界應力的影響比加強筋的尺寸影響更大。

3）加筋板的屈曲模式受板的厚度，加強筋的尺寸和位置的影響，由多種條件共同制約。

4）有限元軟件Abaqus和Nastran對同一問題所得的結果有偏差，這是由于它們采用的求解器不同。Abaqus軟件采用Subspace法進行求解，而Nastran軟件采用Lanczos法進行求解。

5）本文忽略了材料的非線性影響，只求解加筋板的彈性屈曲臨界應力，沒有對結果進行非線性修正，這和實際情況有所差別，需要在后面的研究中解決非線性的影響。

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Computational Analysis on the Critical Stress of Stiffened Plates′Overall Buckling

Wang WeiWu Fan
College of Naval Architecture and Power，Naval University of Engineering， Wuhan 430033， China

The paper used analytical method to deal with the stability problem of stiffened plates， by ignoring the influence of material＇s nonlinearity， it employed theoretical method to resolve critical buckling stress of stiffened rectangular plate with simplified supporting.For single stiffened plate， the deflection function was defined and introduced to boundary equation and coordinate equation，which acquired the critical stress of stiffened plate by solving linear equations.For plate with two or more stiffeners， the paper acquired the critical stress through uniform formulation using Energy Method.The results of numerical simulation by using Abaqus and Nastran were compared with theoretical solutions，the validity of analytical method was verified， it can be used to solve the stability problem of stiffened plates.

stiffened plate； stability； overall buckling； critical stress

U661.31

A

1673－3185（2011）03－21－07

10.3969/j.issn.1673-3185.2011.03.005

2010-05-27

王 偉（1985－），男，碩士研究生。研究方向：船舶結構穩定性。E-mail：wangweixfl＠163.cn

吳 梵（1962－），男，教授，博士生導師。研究方向：艦船結構強度。