制導彈藥允許發射區參數模型設計

左偉，馮金富，張佳強

(空軍工程大學 工程學院，陜西 西安710038)

0 引言

制導彈藥的開發者正致力于研究如何以較低的成本將制導彈藥集成到不同的載機平臺以增加其互用性。如美國軍方已成功地將聯合直接攻擊彈藥(JDAM)集成到空軍和海軍10 余種型號的飛機上，其它制導彈藥的互用性試驗也正在進行中。要想降低制導彈藥的集成成本就必須盡量減少集成對載機作戰飛行程序OFP 的影響［1］。武器的允許發射區(LAR)計算程序作為OFP 重要的組成部分，其計算的復雜度直接影響武器的互用性。

目前，存在多種制導彈藥的LAR 算法。如6 自由度(DOF)模型法、快速模擬法、模糊法和神經網絡法等，6DOF 模型法和快速模擬法是以解算武器的運動方程、武器結構模型、大氣環境條件等數學模型或其簡化形式為基礎的。該方法可以獲得高精度的LAR，但需要較多的計算資源且不適合于實時應用;模糊法和神經網絡法采用函數逼近器對武器6DOF 模型的輸出進行匹配，在一定程度上減輕了計算負擔。但由于模糊系統和神經網絡的結構比較復雜，要擬合的參數比較多，解算程序的軟件實現復雜，特別是當模糊系統的模糊規則數和神經網絡的計算神經元較多時，不但會影響解算結果的實時性，而且當要把制導彈藥集成到不同的載機平臺時，需對OFP 中的解算程序作較大的修改。為促進制導彈藥的互用性，美國空軍武器系統評審執行委員會(EWSR)向汽車工程師協會(SAE)請求協助，希望設計一種新的LAR 算法，來支持制導彈藥在不同載機平臺之間的“即插即用”集成［2］。SAE 提供的建議之一是要設計一種LAR 的參數模型，使武器或飛機制造商能夠通過更新參數來實現武器性能的改進。

本文提供了一種LAR 參數模型的設計方法，該方法采用一組二次多項式來建立LAR 幾何形狀參數的數學模型，通過仿真實驗獲得模型系數的訓練數據集和驗證數據集，利用多元回歸來擬合模型的系數。擬合的參數模型使用一組二次多項式來匹配制導彈藥6DOF 模型的輸出而并非實際地建模制導彈藥的運動方程組，這樣就可以避免由解算武器的6DOF 模型所帶來的計算負擔，使之適應于實時應用，而且可以通過更新模型系數來支持制導彈藥在不同載機平臺之間的實時集成。

1 LAR 參數模型的建立

LAR 是定義在空間中的一個區域，在該區域內發射的武器可以成功地導向目標。通常，LAR 為空間中的一個非規則的幾何區域，載機利用一個數學模型來計算并顯示該幾何區域的一個近似，該數學模型即為LAR 算法［3］。為建立LAR 算法的數學模型，首先對LAR 幾何形狀作出以下基本設定:

1)參考坐標系為地面固定坐標系。原點以發射時刻的載機為中心，x 軸的正向指向載機速度矢量的水平分量，y 軸在水平面內與x 軸垂直且指向右為正，z 軸由右手定則確定(與美國軍用標準MILSTD-1760 規定的坐標系一致)。LAR 即為該坐標系xy 平面內的一個幾何形狀。

2)LAR 的幾何形狀用一個n(n≥5)頂點的多邊形來表示，多邊形頂點的數目可根據武器具體的LAR 性能要求確定。多邊形的參考點在參考坐標系中的坐標為(xr，yr).

3)多邊形的第一個頂點v1定義在通過參考點(xr，yr)與x 軸平行的線上且距參考點r1處。

4)各頂點的標號相對于第一個頂點沿順時針方向依次遞增。相鄰頂點與參考點連線之間的夾角均為(360/n)°.

5)頂點vi定義在通過參考點且與x 軸正向夾角為(360 ×(i-1)/n)°的線上且距參考點ri處。

一個任選的8 頂點多邊形所表示的LAR 實例如圖1所示。

圖1 多邊形表示的LARFig.1 LAR represented by polygon

基于以上基本設定可知，該多邊形的形狀和大小由參考點和各頂點在參考坐標系中的坐標所確定，而參考點和各頂點的坐標依賴于影響武器LAR形狀和大小的因素，如載機的速度v、載機到目標的高度h 和風速wv等，因此，可將該多邊形各確定點的坐標xr，yr，x1，y1，… ，xn，yn作為模型的依賴變量，將影響武器LAR 形狀和大小的因素作為模型的獨立變量，建立各確定點坐標的數學模型如下:選擇二次多項式作為fj(1≤j≤k，k=2n+2)的數學形式，于是，這組二次多項式方程即為LAR 的參數模型。理論上(1)式中的任一方程fj將由m 個項組成，這m 個項的系數組成一個系數向量(cn1，cn2，…，cnm)，所有方程的系數向量組成一個系數矩陣Ck×m，因此該參數模型又可稱為基于系數的LAR算法［3］。接下來的問題就是如何確定系數矩陣Ck×m.

2 基于RSM 的模型系數的確定

反應曲面建模(RSM)是數學和統計技術的綜合，它主要根據實驗來研究一個或多個觀測的反應與多個輸入因素之間的關系。它包括以下幾個部分:設計一組實驗、建立一個數學模型來抽象感興趣的反應與其影響因素之間的關系、基于該數學模型確定感興趣的反應的最優值來更好地理解系統的整體行為［4］。這里感興趣的反應為多邊形各確定點的坐標xr，yr，x1，y1，…，xn，yn影響因素為獨立變量v，h，wv等。根據RSM 原理，確定系數矩陣Ck×m的大致過程如下:首先設計一組仿真實驗來獲得一組各坐標點的觀測值即訓練數據集，然后通過對訓練數據集進行多元回歸分析獲得各系數的估計值，并通過方差分析和假設檢驗對擬合的結果進行檢驗，這樣就得到一個初始的系數矩陣。最后，設計另一組仿真實驗產生一組獨立的驗證數據集來對初始的系數矩陣作進一步驗證，以獲得“驗證的LAR 系數”［2］。

2.1 基于D-最優設計的訓練數據集的產生

訓練數據集主要用于擬合LAR 參數模型。為了產生訓練數據集，必須設計一組仿真實驗，通過武器的6DOF 模型獲得一組較精確的LAR 觀測值。為了在較少的實驗內提高擬合的精度，這里采用D-最優設計［5］來設計實驗點集。

假設某制導彈藥的6DOF 模型有m 個輸入，則實驗數據空間可定義為

式中Iimin和Iimax分別為第i 個輸入變量取值的下限和上限。

要擬合的參數模型為二次多項式，如下式所示:

式中:xi為獨立變量;ε 為隨機誤差且服從正態分布ε～N(0，σ2).假設Y 是由所有反應組成的p 維向量，表示成矩陣形式為

式中:Y=［yn1，yn2，…，ynp］T;b=［b0，b1，…，

擬合的目標就是要使模型系數估計的置信橢球體的體積最小化。根據最小二乘擬合原理［6］，模型系數的估計為

系數的協方差矩陣為

D-最優設計就是要設計實驗點集P 使信息矩陣M(P)的行列式達到極大。

尋找最優實驗點集是一個在實驗數據空間內尋優的過程，這里，基于DETMAX 算法［7］來尋找最優的實驗點集，過程如下:

1)隨機選擇一個n ×m 的初始設計矩陣F，并計算f(F)=det(FTF);

2)尋找所有以F 為子矩陣的(n+1)×m 的可行設計矩陣的集合S，其中S 中的任一元素H 是通過在F 中增加一個可行設計點得到的;

3)在S 中尋找最優元素Hi構成的子集S'，其中

4)尋找S'中的所有元素的所有n ×m 子矩陣F'構成的集合T.

5)在T 中尋找最優元素F'i構成的子集T'，其中

6)對T'中的每一元素重復算法過程;

7)比較每次迭代產生的F'i與該次迭代的初始設計Fi的函數值，如果f(F'i)≤f(Fi)，停止算法并返回最優設計Fi，否則繼續。

通過該算法可獲得一組離散的實驗點集，在這些實驗點上運行仿真實驗便可獲得訓練數據集，再通過多元回歸便可擬合出各二次多項式的系數。為了消除武器6DOF 模型各輸入值的數量級不同對擬合精度的影響，在擬合之前，需對各獨立變量進行編碼處理，編碼公式如下:

式中xi、ξi、ξc和c 分別表示變量的編碼值、變量的原始值、變量取值區間的中心點和步長。

2.2 基于Sobol 序列的訓練數據集的產生

為了確保從訓練數據集得到的系數在整個武器發射條件包絡內都滿足性能需求，必須用一組獨立的驗證數據集來對系數進行驗證。驗證數據集對應的實驗點集同樣取自實驗數據空間Gm，但取自不同的點。為了確保驗證的充分性，實驗點集必須具有較好的空間均勻分散性。評價數據點集空間均勻分散性好壞的指標之一是偏差［8］，定義如下:給定一個點集x1，x2，…，xN∈Gm和一個子空間G∈Gm，定義計數函數SN(G)為該點集中位于子空間G 中的點(xi∈G)的數目。對每一個x=(x1，x2，…，xm)∈Gm，令Gx=［0，x1)×［0，x2)×… × ［0，xm)為體積為x1x2…xm的m 維矩形體，則點集x1，x2，…，xN的偏差定義為

偏差D 越小，則點集的空間均勻分散性越好。基于偽隨機序列產生的實驗點集比隨機選擇的實驗點集具有更好的空間均勻分散性，這里基于Sobol偽隨機序列［9］來設計驗證數據集對應的實驗點集。首先產生一個m 維的Sobol 序列，然后Sobol 序列的每一元素都對應實驗數據空間的一個采樣點。產生一維Sobol 序列的步驟如下:

1)選擇一個Z2域的d 階本原多項式P=xd+a1xd-1+…+ad-1x+1，ai=0，1.只要P 是本原的，多項式可任意選擇。

2)設置m1，m2，…，md的值。只要滿足mi為奇數且mi＜2i，則mi的值可任意選擇。然后根據(10)式計算md+1，md+2，….

式中⊕表示二進制位的異或運算。

3)通過(11)式產生一組方向數v1，v2，….

4)通過(12)式產生序列x1，x2，…，xN.

式中bk…b3b2b1是n 的二進制表示。

要產生m 維的Sobol 序列，只需選擇m 個不同的本原多項式并計算m 組不同的方向數，然后使用對應的方向數來計算每一維的元素即可。

利用Sobol 序列產生一組實驗點集，通過仿真實驗便可獲得驗證數據集。然后利用訓練數據集擬合的LAR 參數模型計算得到一組LAR 的預測值，并將它與驗證數據集進行比較，如果結果滿足預定的LAR 性能標準，則設計結束。否則，必須通過增加實驗點來重新獲得一個更大的訓練數據集。LAR模型系數的訓練是一個迭代的過程，在設計中，需要根據驗證結果不斷地增加訓練數據，直到獲得滿意的系數為止。

3 實例分析

下面用一個假想的激光制導炸彈為例來驗證該設計方法。該激光制導炸彈的LAR 用一8 頂點的多邊形(見圖1)來表示，其LAR 仿真實驗利用的6DOF 模型見文獻［10］。仿真實驗定義的獨立變量及其范圍和水平如表1所示。

表1 獨立變量的范圍與水平Tab.1 The ranges and levels of independent variables

從表1可知實驗的數據空間為G4=［200，300］×［0，150.0］×［1 000，5 000］×［10.0，20.0］.基于D-最優設計在數據空間G4內選擇一組最優的實驗點集并通過仿真實驗獲得一組LAR 系數的訓練數據集，通過多元回歸擬合出多邊形各參數的數學模型。下面，選擇參數xr來對結果進行分析。擬合得到編碼后的xr的二次多項式模型為

利用方差分析和多元回歸分析對(13)式的擬合結果進行評估。模型方差分析的結果如表2所示。

模型的總體回歸質量可通過F 檢驗及對應的P值來評估，F 值越大且P 值越小，表明模型的總體回歸質量越好。從F 檢驗的結果(Fm=13 390)和接受零假設(模型系數都為0)的概率(P=0)可以看出，該回歸模型是顯著的。R2是模型的確定系數，它用于評價模型的輸出與獨立變量的相關程度。從R2值(R2=0.995)可知只有5%的輸出偏差不能被模型所解釋，這表明輸出xr與獨立變量之間具有高度的相關性。各個系數的回歸分析如表3所示。采用的假設檢驗為基于學生分布的t 檢驗，零假設為單個系數為0(bi=0)，顯著性水平為0.05.從各系數對應的t 值可以看出回歸模型的各系數是顯著的。

表2 回歸模型的方差分析Tab.2 Variance analysis of regression model

表3 各系數的回歸分析Tab.3 Regressive analysis of coefficients

接下來，用一組獨立的驗證數據集對擬合得到的系數進行測試。驗證數據集對應的實驗點根據一個4 維Sobol 序列來采樣，產生該Sobol 序列的4 個本原多項式為

參數xr的實驗觀測值和模型預測值如圖2所示。

圖2 xr的驗證值和預測值Fig.2 The verification data and predicted values of xr

從圖2可以看出xr的觀測值和預測值具有合理的一致性，這表明xr的模型對應的系數是可用的。同理，可對其它參數yr，x1，…，y8的模型系數進行驗證。最后，所有多項式的系數組成一個矩陣C18×15，該系數矩陣即為“驗證的LAR 系數”。

最后，基于“驗證的LAR 系數”對LAR 的解算精度進行評估。評估指標為失去發射機會概率Pml、界外發射概率Pob和成功發射概率Psl，要求平均成功發射概率大于85%.計算示意圖如圖3所示。

圖3 LAR 解算精度的評價指標示意圖Fig.3 Evaluation index of LAR calculation precision

根據圖中的近似投放區Af、參考投放區Am及它們的重疊區Ac，各評估指標的計算公式如下:

失去發射機會概率:

界外發射概率:

成功發射概率:

分別采用“驗證的LAR 系數”來計算近似投放區Af及文獻［10］中的6DOF 模型來計算參考投放區Am，并根據(15)式～(17)式來計算上述評價指標，統計得到的各評價指標為:Pml=6.87%，Pob=5.39%，Psl=88.12%.從該統計結果可以看出，采用“驗證的LAR 系數”解算的LAR 在可接受的范圍之內。

4 結論

制導彈藥允許投放區解算的實時性和精確度對其作戰效能的發揮起著至關重要的作用。本文定義了一個n 頂點的多邊形來表示制導彈藥LAR 的幾何形狀，建立了計算其LAR 的數學模型，并設計了模型系數的訓練數據集和驗證數據集產生方法，其中基于D-最優設計的訓練數據集產生方法可有效地減少仿真實驗的次數和提高模型系數估計的精度，基于Sobol 序列的驗證數據集產生方法可確保系數驗證的充分性。“驗證的LAR 系數”可用于在線解算制導彈藥的允許投放區，提高LAR 計算的實時性。設計的參數模型結構簡單，有助于降低解算程序的計算復雜度。然而，由于擬合誤差的存在，該方法解算的LAR 精確度要低于6DOF 模型法，但仿真實驗結果表明仍在可接受的范圍之內。

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