用導(dǎo)數(shù)解決的幾類問題

王春輝 趙有剛 許秀萍

用導(dǎo)數(shù)解決的幾類問題

王春輝1趙有剛1許秀萍2

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)是高中內(nèi)容的重要組成部分，是高考的熱點，同時也是高中學(xué)習(xí)的重點與難點。它整合了高中所學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想與分類討論思想，是集這幾大思想的統(tǒng)一體，是高中數(shù)學(xué)從研究一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖像與性質(zhì)基礎(chǔ)上，通過導(dǎo)數(shù)對函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值的把握，大體上描繪出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方式來解好此類題型。下面筆者將通過例題的方式分析出這種題的解題方式。

【考綱要求】1）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用。①了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）。②了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過3次），會求在閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過3次）。2）生活中的優(yōu)化問題：會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題。3）定積分與微積分基本定理：①了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念；②了解微積分基本定理的含義。

熱點一：已知函數(shù)求極值或最值

【例11】求函數(shù)的極值：

【分析】本題的步驟：求定義域、求導(dǎo)函數(shù)、求導(dǎo)函數(shù)零點、列表和求極值。本題是解決此類問題的“母題”。解法略。

熱點二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題

【例22】（2010年山東文科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)當(dāng)a=?1時，求曲線在點（2,f(2)）處的切線方程。2）當(dāng)時，討論f(x)的單調(diào)性。

【分析】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力?？疾榉诸愑懻撍枷?、數(shù)形結(jié)合思想和等價變換思想。解法略。

熱點三：導(dǎo)數(shù)與參數(shù)取值范圍

【例33】設(shè)函數(shù)

熱點四：恒成立問題

【例44】(2009年山東文科數(shù)學(xué))已知函數(shù)，其中a≠0。1）當(dāng)a,b滿足什么條件時，f(x)取得極值？2）已知a>0，且f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增，試用a表示出b的取值范圍。

【分析】本題為三次函數(shù)，利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定，從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立，再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值。運用函數(shù)與方程的思想、化歸思想和分類討論的思想解答問題。解法略。

熱點五：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題

【例55】（2009年湖南理科數(shù)學(xué)）某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩。經(jīng)預(yù)測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2+x) x萬元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元。1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；2）當(dāng)m=640米時，需新建多少個橋墩才能使y最?。?/p>

【分析】導(dǎo)數(shù)在應(yīng)用題中的應(yīng)用。解法略。

熱點六：零點應(yīng)用問題

【例66】已知函數(shù)(a為常數(shù))是R上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)。1）求a的值。2）若在上恒成立，求t的取值范圍。3）討論關(guān)于x的方程的根的個數(shù)。

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像問題。解法略。

熱點七：探索性問題

【例77】設(shè)函數(shù)求 f( x)的單調(diào)區(qū)間和極值。2）是否存在實數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式f( x)≥a的解集為(0,+∞)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由。

【分析】本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、極值、不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。解法略。

（作者單位：1 山東省淄博市臨淄中學(xué)數(shù)學(xué)組；2山東省淄博市淄博工業(yè)學(xué)校）

10.3969/j.issn.1671-489X.2011.13.129