平面上有限級隨機Dirichlet級數的虧函數研究

楊 祺

(新疆師范大學數理科學學院,新疆烏魯木齊830054)

曹月波

(石河子大學師范學院,新疆石河子832000)

關于隨機函數虧值的研究,已經取得了許多研究成果[1-5]。對于有限級隨機Dirichlet級數的虧函數,文獻 [1]證明了全平面上有限級隨機Dirichlet級數幾乎必然沒有虧函數。下面,筆者在隨機變量滿足一般的條件下,證明了平面上精確級為ρ(r)的隨機Dirichlet級數幾乎必然無任意精確級小于ρ(r)的虧函數①新疆師范大學優秀青年教師科研啟動基金項目 (XJNU0816)。。

1 基本概念與引理

考慮Dirichlet級數:

式中,s=σ+it,σ,t∈ R,{bn}為復常數列,0=λ0＜λ1＜λ2＜… ＜λn＜… ＜+∞。若滿足:

則級數(1)在全平面上是收斂與絕對收斂的,于是f(s)表示一整函數。記 f(s)的最大模為:

引理 1[6-7]對于有限 ρ級 Dirichlet級數(1),引進函數U(r)=rρ(r)(r=eσ),其中 ,ρ(r)在r ≥r0(r0＞0)上單調、分段連續,且滿足并且當r＞r′0＞r0時,U(r)為r的增函數1。則稱U(r)為級數(1)的型函數,ρ(r)為級數(1)的精確級.

引理2[6-7]設有限ρ級Dirichlet級數(1)滿足條件(2),則有:

引理3[1,8]設函數 f(z)與 ψν(z)(ν=1,2,…,q)在|z|＜R ≤+∞內亞純,ψν(z)互相判別,且T(r,ψν)=o{T(r,f)},則 :

其中,當R=+∞時,S(r,f)=O{log(rT(r,f))},可能除去一列總幅長為有限的例外區間;當R＜+∞,除去r的一個集合E 0滿足:

考慮與級數(1)對應的隨機Dirichlet級數:

設{(Ψn,An,Pn)}是概率空間的無窮序列,是乘積概率空間,設{Xn(ωn)是空間上的獨立隨機變量序列,令

引理4[5]設{X n}是獨立的隨機變量序列,它滿足 ?n≥0,EXn=0,存在一個正數d,使得:

2 主要結果

定理1 若獨立隨機變量序列{Xn(ω)}滿足式(5),并且

證明 用類似文獻[6]中的方法易得。

定理2 若有限級隨機Dirichlet級數滿足定理1的條件,且

證明遞減趨近于 0,Δ ＞0。令:

取正整數p充分大,令:

下面先證明對任意p+2個元素:

必存在k′,k″∈ {1,2,…,p+2}(k′≠k″)使得對任意 j∈ (n(1),n(2),…,n(N)},恒有:

用反證法。假設上述不成立,則存在相應的p+2個隨機級數:

結合式(7)和式(8)有:

于是φk′≠φk″,這說明上面的p+2個虧函數互不相等,則由引理2,f至多能有p+1個不同的虧函數矛盾。

由引理4有:

這說明若 ω=(ω0,ω1,ω2,…)=(ˉω,=ω)∈ E=E(p,Δ,δ)? Ψ。則:

于是由Fubini-Levi定理[3],并結合式(8)、(9)有:

因此P(E)=0。從而定理2得證。

[1]周俊英,孫道椿.Dirichlet級數的唯一性定理和隨機Dirichlet級數的虧函數[J].華南師范大學學報,2006(1):36-42.

[2]余家榮,丁曉慶,田范基.Dirichlet級數和隨機Dirichlet級數的值分布 [M].武漢,2004,52:98-100.

[3]孫道椿,黃立鶴.無限級隨機Dirichlet級數 [J].華南師范大學學報,1998(4):87-93.

[4]孫道椿.隨機冪級數的虧函數 [J].數學物理學報,1999,19(3):356-360.

[5]田范基.一般隨機泰勒級數的例外函數[J].湖北大學學報,2002,24(3):203-205.

[6]陳聚峰,劉名生.有限級Dirichlet級數及隨機Dirichlet級數 [J].數學物理學報,2005,25A(7):965-973.

[7]吳世軒,寧菊紅.有限級Dirichlet級數[J].江西師范大學學報,2008,32(4):982-985.

[8]楊樂.值分布論及其新研究 [M].北京:科學出版社,1982.40-45. [編輯] 洪云飛