混沌系統的投影同步在保密通訊中的應用

鄧若曦

(武漢理工大學理學院,湖北武漢430070)

自從1963年Lorenz發現混沌吸引子以來[1],混沌動力學作為非線性科學的一個重要分支引起了廣大科學技術人員的高度重視。由于混沌具有初值敏感性,人們普遍認為混沌同步非常困難。直到1990年Pecora和Carroll提出了驅動響應同步方法,使Lorenz混沌系統能夠實現同步,混沌同步理論和應用才迅速成為一個新的研究熱點。近年來,由于混沌同步在保密通信、信號處理、電路設計等領域表現出強勁的應用前景,各國學者高度重視并投入到這一研究領域中來,使得混沌控制和同步方法得到了蓬勃發展[2～10]。筆者針對文獻 [11]中的投影同步定義,作了適當的修改,并且分別從同結構和異結構的投影同步來討論混沌系統在保密通訊的應用,將有用的信號進行加密、掩蓋和不失真的恢復。

1 投影同步

定義1 考慮下面2個混沌系統:

式中,xm,xs是2個n維狀態向量。‘m'和‘s'代表驅動系統和響應系統,f,g:Rn→Rn是向量值函數。如果存在控制器u,使得:

式中,α為一常數,那么,2個混沌系統(1)完成投影同步。

在系統(1)中,當 f=g,系統(1)就成為同結構的投影同步;當f≠g,系統 (1)就成為異結構的投影同步。在下面的討論中,筆者從兩方面來討論該方法在保密通訊中的應用。

2 同結構的投影同步應用

采用1996年由Milanovic等提出的改進混沌掩蓋保密通信方案[12]。設需要傳輸的信號為h(t),m(t)=x1+h(t)為發送器和接收器之間的通信混合的疊加信號,該信號分別反饋在發送端和接收端,這樣,傳輸信號的發送端動力學系統為:

式中,a=36,b=3,c=20。接收端為一個同結構的動力學系統:

選取反饋控制器為:

其中 ,e1=αx 2-x1,e2=αy 2-y 1,e3=αz 2-z1。

定理1 當k＞c+a/4時,系統(2)與系統(3)實現同結構投影同步。

證明 由系統(2)與系統(3)有如下誤差系統:

當k ＞c+a/4時,˙V ＜0,故誤差系統(4)趨于0。

定理1表明,當誤差系統(4)趨于零時,則αx 2-x1→0,接收端的恢復信號為h′(t)=m(t)-αx 2=x1+h(t)-αx2→h(t),這意味著同步發生時,發送器發送的信號能夠不失真的被接收器接收并恢復,并且只需使用較簡單的反饋控制器。

在數值仿真中,設發送端動力學系統(2)與接收端動力學系統(3)的初值分別為(1,2,3),(3,1,5),k=10+c+a/4,α=2。傳輸的有用信號為h(t)=50的方波信號,es=h(t)-h′(t)為恢復信號與有用信號的誤差,仿真結果如圖1所示。圖1中分別表示傳輸的有用信號h(t)、疊加信號m(t)、接收恢復端的有用信號h′(t)、恢復信號與有用信號的誤差信號。若傳輸的有用信號為h(t)=7sin(3πt)的正弦信號,相應的仿真結果如圖2所示。

圖2 正弦信號加密仿真結果

圖1 方波信號加密仿真結果

3 異結構的投影同步應用

設需要傳輸的信號為h(t),m(t)=x1=h(t)為發送器和接收器之間的通信混合的疊加信號,該信號分別反饋在發送端和接收端,這樣,傳輸信號的發送端動力學系統為:

接收端為另一不同結構的動力學系統:

選取反饋控制器為:

定理2 當k＞20+(18×18)/35時,系統(5)與系統(6)實現異結構投影同步。

證明 由系統(5)與系統(6),有如下誤差系統:

當k＞20+(18×18)/35時,˙V＜0,故誤差系統(7)趨于零。

數值仿真類似于定理1,圖3中分別表示傳輸的有用信號h(t)、疊加信號m(t)、接收恢復端的有用信號h′(t)、恢復信號與有用信號的誤差信號。若傳輸的有用信號為h(t)=7sin(3πt)的正弦信號,相應的仿真結果如圖4所示。仿真圖驗證了該方法的有效性。

圖3 方波信號加密仿真結果

圖4 正弦信號加密仿真結果

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