Hilbert空間中的算子框架恒等式

李春艷

(重慶科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院,重慶401331)

1946年,Gabor[1]在進(jìn)行信號(hào)處理時(shí),引入了信號(hào)關(guān)于基本信號(hào)的分解,這種方法很快成為了與時(shí)間-頻率方法相伴的譜分析的范例。1952年,Duffin和Schaeffer[2]在研究非調(diào)和Fourier級(jí)數(shù)時(shí)進(jìn)一步提煉了Gabor進(jìn)行信號(hào)處理的思想,引入了Hilbert空間中框架的概念。1986年,Daubechies,Grossman和Mayer發(fā)現(xiàn)了框架理論在小波分析和Gabor變換中的應(yīng)用[3],從而開創(chuàng)了框架理論的新時(shí)代。此后,框架理論被廣泛的應(yīng)用于信號(hào)處理,圖象處理,數(shù)據(jù)壓縮和采樣理論等領(lǐng)域。

C.Y.Li和H.X.Cao在文獻(xiàn) [4]中引入了Hilbert空間中的算子框架的概念,說(shuō)明了Hilbert空間中的框架,子空間框架等框架是算子框架的特例,并且對(duì)算子框架、算子Riesz基和算子框架的對(duì)偶框架等的性質(zhì)進(jìn)行了深入的討論。下面,筆者將利用算子理論的方法,進(jìn)一步討論算子框架的的性質(zhì),并得到與算子框架相關(guān)的幾個(gè)重要恒等式。

1 基本概念

用H表示Hilbert空間,用 Λ表示正整數(shù)集合,用l2(H)表示集合:

則稱 T={Ti}i∈Λ為Hilbert空間 H中的算子框架,A,B稱為框架界。若A=B,則稱{Ti}i∈Λ為緊算子框架。若A=B=1,則稱{Ti}i∈Λ為Parseval算子框架。不等式(1)如果只有右邊成立,則稱{Ti}i∈Λ為H 中的算子Bessel列,B稱為{Ti}i∈Λ的界。

設(shè) T={Ti}i∈Λ是H 中的算子Bessel列,定義算子:

定義1[4]設(shè)T={Ti}i∈Λ?B(H)是定義在Hilbert空間H上的一列算子,若滿足以下條件:

(i)?x ∈ H,有{Tix}i∈Λ ∈ l2(H);

(ii)存在正數(shù)A,B,使得:

如果T={Ti}i∈Λ是H 中的算子框架,令ST=RT*RT,則ST是一個(gè)可逆正算子。稱ST為T={Ti}i∈Λ的框架算子。顯然有:

若J?Λ定義如下算子:

2 主要結(jié)果

設(shè)T={Ti}i∈Λ是H 中的一個(gè)算子框架,如果H中的另一算子序列 ~T={~Ti}i∈Λ滿足如下條件:

則稱 ~T={~Ti}i∈Λ為T={Ti}i∈Λ的對(duì)偶框架。在文獻(xiàn)[4]中,已經(jīng)知道 H 中的算子框架T={Ti}i∈Λ必定存在一個(gè)對(duì)偶框架 ~T=}i∈Λ。通常稱 ~T={}i∈Λ為T={Ti}i∈Λ的經(jīng)典對(duì)偶框架。下面給出關(guān)于算子框架的一些重要恒等式。

定理1 設(shè)T={Ti}i∈Λ是H 中的算子框架,ST是其框架算子,且 ~T={~Ti}i∈Λ是其經(jīng)典對(duì)偶框架,則對(duì)任意的J?Λ,有:

因此:

對(duì)任意的x∈H,有:

類似地,對(duì)任意的x∈ H,由于 Λ-J∈ Λ,可得:

故:

如果 T={Ti}i∈Λ是H 中的Parseval算子框架,則可以得到如下結(jié)論。

定理2 設(shè) T={Ti}i∈Λ是H 中的Parseval算子框架,則對(duì)任意的J?Λ和 x∈ H,有:

證明 由 T={Ti}i∈Λ是H 中的Parseval算子框架可得:

所以ST-IH是自共軛有界線性算子,且ST-IH=0。故ST=IH。令~Ti=TiS-1T,顯然,有~Ti=TiS-1T=Ti。對(duì)任意的J?Λ和x∈H,有:

由定理1可得:

即:

推論1 設(shè) T={Ti}i∈Λ是H中的緊算子框架,其框架界為A,則對(duì)任意的J?Λ和x∈H,有:

證明 因?yàn)門={Ti}i∈Λ是H中的以A為界的緊算子框架,所以容易證明是 Parseval算子框架。由定理2即可得:

定理3 設(shè) T={Ti}i∈Λ是H 中的Parseval算子框架,則對(duì)任意的J?Λ和 x∈ H,有:

所以:

[1]Gabor D.Theory of communications[J].J Inst Engrg,1946,93:429-457.

[2]Duffin R J,Schaeffer A C.A class of Nonhaarmonic Fou rier serier[J].T rans Amer Math Soc,1952,72:341-366.

[3]Daubechies I,Grossmann A,M eyer Y.Painless nonorthogonal ex pansion[J].J Math Phy s,1986,27:1271-1283.

[4]Li C Y,Cao H X.Operator Frames for B(H)[A].Wavelet Analysis and Applications[C].Sw itzerland:Birkh¨auser Verlag Basel,2006:67-82.