帶有彈性邊界支撐梁的多宗量反問題數值求解

楊海天， 楊 博， 李哈汀

（大連理工大學工業裝備結構分析國家重點實驗室，遼寧大連 116024）

0 引 言

如何根據實際情況，合理考慮力學建模中邊界條件的影響，是一個值得探討的問題［1］.建模過程中邊界條件的不準確，將會導致結果的偏差.以懸臂梁為例，實際情況往往可能是在約束端允許有小量位移與轉角（可被當成一種彈性支撐）.如單純將約束假設為固支，則計算結果會出現較大偏差.這時將彈性支撐而不是固支作為邊界條件可能更為合理.問題是如何確定這些等價彈性支撐的彈性參數.

求解帶有彈性元件邊界條件的反問題，是確定這些彈性參數的方法之一.對此國內外已有一些相關的文獻報道，如文獻［2］以梁在靜力作用下的撓度為已知信息，利用神經網絡對支撐彈簧剛度進行了識別，但需要大量的網絡訓練以提高精度，且沒有考慮噪聲影響；文獻［3］提出以模態參數作為目標函數用牛頓法識別邊界支撐剛度和邊界質量，但沒有考慮彎曲相關的彈性支撐；文獻［4］在支撐剛度的識別中，對牛頓法和遺傳算法進行了比較，發現牛頓法對初始解的選取較敏感；也有不少學者用頻率響應函數法識別連接參數［1］，早期的頻率響應函數（FRF）法對連接處的噪聲較敏感，文獻［5］由此進行了改進；文獻［6］探討了坐標縮減對頻率響應函數法識別結果的影響；文獻［7］對動力彈性邊界優化設計的有關問題進行了綜述.

以上工作主要圍繞梁彈性邊界上相關參數的反演展開，似未見到彈性邊界相關參數與梁本構參數組合識別的文獻報道，而實際問題中，梁的本構參數可能是未知的或在使用過程中發生變化.本文通過帶有彈性邊界梁的靜力有限元方程，推導出梁的彈性邊界／本構參數多宗量靜力反演數值模型，采用L－M（Levenberg－Marquardt）算法［8～12］進行求解，可同時對彈性邊界條件及梁的本構參數進行識別.

1 控制方程及其有限元離散

圖1所示為Bernoulli－Euler梁，梁長為L，集中力f作用于x＝L0處.

圖1 帶有彈性支撐的梁Fig.1 A beam with elastic supports

其控制方程和邊界條件為［13］

其中E為彈性模量，I為慣性矩，u為梁的橫向位移，k1和k2為橫向彈性支撐剛度，g1和g2為彎曲彈性支撐剛度.

系統的有限元方程可寫為［14］

其中K、Y和F分別代表總剛度陣、總節點位移向量和總節點荷載向量.

其中G為單元節點自由度轉換矩陣［13］，l為單元長度，N為二節點Hermite單元的形函數矩陣.

2 模型求解

未知參量ki、gj、Ek的識別可通過以下泛函的極小化實現.

式中：R（X）＝yp（X）－ym；yp（X）、ym分別為節點位移向量的預測值和測量值；ki和g j為未知彈性支撐參數；Ek為任意未知單元的彈性模量.

計算流程為［8］

Step 1 選取變量初值X0，設置迭代步n＝0及ε（誤差容限）；

Step 2 計算R（X n）及R（X n），通過式（12）求解D n；

Step 3X n＋1＝X n＋D n，并令n＝n＋1.

Step 4 如果‖D n‖≤ε，則停止迭代；否則執行Step 2.

3 噪聲處理

按照文獻［15］的方法注入噪聲：

其中為不含噪聲的已知信息，ξ是一個服從標準正態分布的隨機變量，Ns表示噪聲水平.對于每一個給定的Ns都由ξ生成40組y＊.

置信區間為其中表示反演結果的平均值，S表示標準差，t表示N－1個自由度的t－分布，N表示樣本容量，置信度為1－β.

4 數值算例

算例1 邊界條件的影響

圖2 彈性支撐懸臂梁Fig.2 A cantilever beam with elastic supports

考慮圖2所示帶有彈性支撐的懸臂梁，梁長L＝0.5 m，單元長度l＝0.01 m，彈性模量E＝210 GPa，慣性矩I＝10－6m4，密度ρ＝7 860 kg／m3，荷載大小f＝5 000 N.u和θ為帶有彈性邊界條件梁的位移和轉角，u0和θ0為相同荷載條件下固支邊界梁的位移和轉角.k為106～1010N／m，g為104～109N·m／rad［16］.表1給出了考慮不同邊界條件下的解.不難看出，隨梁端剛度的減小，邊界條件為彈性支撐的解與固支條件的解相比發生了明顯變化.

表1 位移轉角比較Tab.1 The contrast of displacement and angular displacement

算例2 彈性支撐與彈性模量的組合識別

考慮圖1所示兩端帶有彈性支撐的梁，將梁均勻劃分為50個單元，對彈性支撐的剛度k1、g1和梁的彈性模量E20進行組合反演.Ei＝210 GPa（i＝1，2，…，19，21，…，50），k2＝1×105N／m，g2＝3×103N·m／rad，L0＝0.3 m，其他參數與算例1中相同.

采用3個點的轉角作為已知信息，測點位置和ξ的最大值見表2，計算結果如表3、4所示.

表2 測點位置和ξ的最大值Tab.2 The location of measuring points and the maximums ofξ

表3 10%噪聲下彈性支撐和彈性模量的組合識別Tab.3 Combined identification of elastic supports and modulus of elasticity at 10%of noise

表4 5%噪聲下彈性支撐和彈性模量的組合識別Tab.4 Combined identification of elastic supports and modulus of elasticity at 5%of noise

計算結果表明：當按式（17）考慮噪聲的影響時，本文所提算法可有效地對彈性支撐的剛度和梁的本構參數進行識別，測點越接近待識別參數所在單元的位置識別效果越好.

5 結 語

本文的主要貢獻是建立了一個梁的彈性邊界／本構參數的靜力組合反演數值模型，可同時對彈性邊界條件及梁的本構參數進行識別.數值驗證表明，本文所提出的模型與方法是正確可行的.在本文工作的基礎上，作者正結合有關實驗，開展梁的彈性邊界／本構參數的動力組合反演研究，以期為更合理地確定邊界條件／本構參數提供有效的新方法.

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