基于灰色關聯分析的專家群體判斷一致性分析

李 禮， 王立久

（大連理工大學建設工程學部，遼寧大連 116024）

0 引 言

專家群體判斷是群體決策的一項重要內容.某些重大問題都是通過專家群體共同判斷而決策的.這樣做的優點是，可以集結多位專家的經驗和知識，使決策更客觀和權威.但是，由于專家個體存在差別性，其決策結果往往會產生不一致的現象.關于如何解決這個問題，國內外的學者已經給出不同方法［1～6］.國內學者關于群決策一致性判斷的研究主要是用不同的判別方法檢驗其一致性，陳俠等［7］提出了用相容性指標來判別專家群體互反判斷矩陣的一致性問題.元繼學等［8］借用TOPSIS方法經過簡單變換采用歐幾里德距離來對專家群體決策數據進行一致性判斷和調整.華中生等［9］基于模糊集合理論提出不一致性判定方法.本文通過對若干判別方法的分析，針對基于灰色關聯度理論對AHP的主觀賦權法構造的互反判斷矩陣過程中易出現的群決策不一致性問題，提出新的判別方法及其調整方法.

1 基本理論

本文采用灰色關聯分析方法來研究群決策的一致性問題.灰色關聯分析方法與其他系統分析方法相比具有明顯的優勢［10］.首先，它對樣本量的多少和樣本有無規律都同樣適用，而且計算量小，不會出現量化結果與定性分析不符合的情況.其次，灰色關聯分析的實質是根據序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷其聯系是否緊密.曲線越接近，相應序列之間的關聯度就越大，反之就越小.最后，在灰色關聯公理［10］中指出，兩個行為序列的灰色關聯度表明系統中任何兩個行為序列都是相關聯的，并且可以量化兩個序列的接近程度.因此，用灰色關聯分析方法來判別群決策的一致性問題，實際上是用灰色關聯度來描述方案判斷值之間的緊密程度.灰色關聯度越大，說明兩個方案的判別結果一致性越高，反之亦然.

令I為離散集，I＝｛1，2，…，n｝（n≥2），J＝｛1，2，…，m｝（m≥2）.令X為序列集，X＝｛x i｜i∈I｝，x i表示第i決策方案.令E為離散集，E＝｛ek｜k∈J｝，ek表示第k位專家.基于方案集X，每位決策者給出兩兩方案優勢比較的判斷信息值，每位決策者的判斷信息值構成互反判斷矩陣.下面簡要介紹一下有關互反判斷矩陣和灰色關聯度的相關概念.

定義1［11］決策者根據某一準則反復回答x i、x j哪一個更重要一些，重要多少，并對重要多少賦予一定的數值.這里通常使用1～9的標度來表示其重要的程度.對于n個元素來說，得到形如A＝（aij）n×n的矩陣（aij＞0，aij＝1／aji，aii＝1），稱A為互反判斷矩陣.

定義2［11］C.R.＝C.I.／R.I.，其中C.I.＝（λmax－n）／（n－1），為互反判斷矩陣A k的一致性指標，R.I.為平均隨機一致性指標，λmax為矩陣A k最大特征根，則稱C.R.為矩陣A k的一致性比率.若C.R.滿足：C.R.≤0.1，則稱矩陣A k為滿意一致性互反判斷矩陣.

定義3［7］設X0＝ （x0（1），x0（2），…，x0（n））為系統特征序列，且

且同時滿足灰色關聯四公理，則稱r（x0（k），x i（k））為Xi與X0在k點的關聯系數，r（X0，Xi）為相關因素序列X i與系統特征序列X0的灰色關聯度.

2 灰色關聯度的判別方法及調整方法

采用灰色關聯分析方法判別群決策判斷矩陣的一致性，其方法是將決策群體判斷矩陣中第i方案（第i行，i∈I）作為參考序列，決策者各自判斷矩陣中相應第i方案（第i行，i∈I）作為比較序列，計算這兩個方案的灰色關聯度.其含義為決策者k的第i決策方案與決策群體的第i決策方案的接近程度，即一致性程度.灰色關聯度越大，說明決策者k的第i決策方案與決策群體的第i決策方案越接近，一致性越高，反之亦然.

2.1 專家群體判斷一致性的判別方法

在本文中，令全體決策者方案判別值的均值為基準，該均值構成的矩陣為群體判斷矩陣.具體形式如定義4.

則稱A0為互反判斷矩陣A1，A2，…，A m的專家群體判斷矩陣.

本文應用灰色關聯度來判別專家群體判斷的一致性問題，設定灰色關聯度指標為rik，方案x i的一致性指標為R i，專家群體判斷的一致性指標為QR，具體形式如定義5～7.

QR閥值的設定非常關鍵，其值的大小直接決定了群體決策一致性的滿意與否.如果QR范圍設定得太大，會過于要求群決策的一致性，這樣極易忽視專家個體決策的多樣性；但是，如果設定得太小，決策結果極易忽視偏離集體的個別專家的意見.由式（2）和（3），不難證明0≤QR≤1.當QR＝1，表示要求專家們的決策必須完全一致，這樣就忽視了專家個體的多樣性.當QR＝0時，表示無論專家們做出什么樣的決策都具有滿意的一致性.這兩種情況的閥值對群決策一致性的判別來說均毫無意義.合理有效的QR閥值，既能體現專家決策的多樣性，還能識別出偏離群體的個別專家決策，這對決策組來說是至關重要的.在實際應用時，決策組可以根據自身方案集的特點，通過模擬數值計算設定QR閥值的大小.在本文中，假設QR∈［0.73，1.00］.

定理1設A k＝為專家e k給出的互反判斷矩陣，k∈J，矩陣A0＝（）n×n為由式（1）確定的群體判斷矩陣，若每個專家給出的互反判斷矩陣中任意兩個是完全一致的，則群體判斷的一致性指標QR＝1.

證明 因為每個專家給出的互反判斷矩陣中任意兩個是完全一致的，即

定理2 設A k＝為專家e k給出的互反判斷矩陣，k∈J，矩陣A0＝為由式（1）確定的群體判斷矩陣，rik為由式（2）確定的灰色關聯度指標，Ri為由式（3）確定的方案x i的一致性指標，若對于k∈J，0.73≤rik≤1，則0.73≤Ri≤1，i∈I，則0.73≤QR≤1.

2.2 不一致的調整方法

如果專家群體判斷一致性指標不滿足一致性要求，即QR＜0.73，則認為專家群體判斷的結果沒有達成一致性，為了使其滿足一致性要求，需要對個別專家給出的判別值進行調整.調整方案如下：

首先，找出Ri＜0.73所對應的方案x i.這是因為，Ri越小，說明方案x i的一致性越差，專家們對于方案x i判別有較大的差別.于是認為方案x i的判別值需要調整.

其次，在方案x i中找出minrik，這是因為，導致Ri較小的原因是某位專家e k對方案x i的判別值與群體判別值的灰色關聯度較小，于是認為專家ek的判斷矩陣A k中方案x i的判斷信息值需要調整（A k矩陣中第i行的信息值需要調整），這樣就確定了哪位專家的哪個決策方案需要調整.

綜上分析，具體判別流程圖如圖1所示.

圖1 判別過程流程圖Fig.1 Flow chart of judgment process

3 算 例

根據文獻［7］給出一個算例，設有4位專家（e1，e2，e3，e4），針對4個方案（x1，x2，x3，x4）分別給出的判斷矩陣如下：

根據專家給出的判斷矩陣A k（k＝1，2，3，4），首先判斷每個互反判斷矩陣自身的一致性，經計算各個專家給出的互反判斷矩陣的一致性比率值均符合要求（C.R.＜0.1）.由定義1和2計算專家群體判斷矩陣A0＝和專家群體判斷灰色關聯度指標矩陣R＝（rik）n×m，其中ξ＝0.5，結果如下：

由式（3）和（4）及專家群體判斷灰色關聯度矩陣R，可得專家群體判斷各個方案的灰色關聯度Ri（k＝1，2，3，4），分別為

下面按專家判斷矩陣不一致性的調整方案做如下調整：

（1）由式（4）可知專家群體判斷的一致性值QR＝0.717 0＜0.73，不滿足一致性指標值的要求.

（2）由于R＝0.678 7，R＝0.686 8，則R和R3作為被調整對象，即方案x1和方案x3需要被調整.

4 結 語

本文基于灰色關聯分析方法對由多位專家給出的互反判斷矩陣一致性提出新的判別方法及調整方法.通過對比分析文獻算例，證明該方法對灰色關聯度較小的判斷矩陣具有更高的識別程度，經調整后的判斷矩陣能夠滿足一致性要求.專家群體判斷一致性指標QR可根據具體實際情況酌情設定，具體方法將在未來的研究中進一步探討.

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