例談初中數學中的“數形結合”

443131 湖北省宜昌市夷陵區九四中學 張光成

例談初中數學中的“數形結合”

443131 湖北省宜昌市夷陵區九四中學 張光成

數形結合思想是初中數學學習中的最基本的方法，它貫穿于初中數學的始終，滲透于每個章節.在初中數學中存在著大量的數式問題可以通過隱含的圖形的信息直觀揭示出來，即“形幫數”;圖形的特征隱含著數的因素，又能巧妙轉化成數的規律與數值計算，尋找處理形的方法，即“數促形”.數形結合，互助互用，圖形受阻，以數為補，數式受阻，以形相助.根據筆者多年的教學實踐，總結出數形結合思想在以下四個方面的應用，望得到同仁們的斧正與指教.

1 利用數軸解代數問題

數軸上的每一個點與每一個實數一一對應，借助于數軸可進行實數的加減運算，可表示絕對值、相反數以及各類不等式(組)的解集.

例1 對于實數x，y，且滿足等式y=|x-1|+|x+2|+|x-3|，求當x為何值時，y有最小值?

圖1

分析 給出的等式是三個絕對值之和，要求y的最小值，則要找出零點，即x=1或-2或

3，如果表示在數軸上(如圖)，就是A，B，C三點，只有當x的取值落在B，C之間，到原點距離才會最小，則-2＜x＜3，故當x=1時，y=5，此題利用數軸，很直觀、形象地找出了x的取值，即“形幫數”.

2 利用線段圖數軸解幾何問題

分析各類應用題，尋找題中隱含的數量關系，常常借助于線段圖來加強直觀.

例2 兄弟二人在談論年齡時哥哥說:“兩年前，我的年齡是你的年齡的4倍.”弟弟說:“六年后，你的年齡只是我的年齡的2倍.”請問兄弟二人現在的年齡各是多少?

圖2

分析 如果按照列方程(組)解應用題的步驟來進行，較為繁瑣.若能根據題意畫出線段圖來分析，較為直觀、簡潔，很容易找出數量關系，圖中的AB，CD代表兄弟二人現在的年齡，AE，CF代表兩年前的年齡，AG，CH代表六年后的年齡.根據題意則有AE+EG=2(CF+FH)，AE=4CF，BE=DF=2，BG=DH= 6，從而求得CF=4，則AB=18，CD=6.

3 利用幾何圖形解代數問題

某些幾何圖形問題，如果巧用代數方法來解決，既可以避開添作輔助線的難點，又能使復雜的問題簡單化，收到事半功倍的效果;某些代數問題，若能根據數的特征構造出幾何圖形，就能簡化繁瑣復雜的計算.

解 要證明這個不等式成立，借用幾何方法比較便捷，現證明如下:

如圖3所示，作正方形ABCD，使其邊長為1，P點在AB上，

且AP=a，BP=b，

作CB的延長線到E，

使CB=BE，連接EP，ED，ED交AB于點F.

圖3

圖4

例4 如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點P是AB上任意一點，求證:AP2+BP2= 2PC2.

此題若用幾何方法較復雜，采用代數計算，問題很快得解.

證明 過C點作CD⊥AB于D，

設CD的長為h，PD長為x，

根據等腰直角三角形斜邊上的高是斜邊的一半，

4 利用直角坐標系解代數問題

利用直角坐標系可表示有序實數對，可描繪各類函數圖象，解決有關函數問題.

圖5

通過以上五例的簡單說明，可以看出:幾何圖形中的面積、周長、邊長、角度等幾何內容滲透到代數計算、證明之中;方程(組)、不等式(組)、函數等代數手段也不斷應用于幾何之中，高、中線、角度、黃金分割等幾何計算都要代數來幫忙.采用數形結合思想能使數量關系與圖形性質借助于分析推理，從而準確地把握問題特征、抓住問題實質，較為嚴謹、簡捷地解決問題.

20111202)