不等式約束對平差結果的影響分析

朱建軍，謝 建，陳宇波

中南大學地球科學與信息物理學院，湖南長沙410083

1 引 言

在數據處理的許多情況下可根據先驗知識建立對參數的某種約束，如果所建立的約束是不等式形式，則形成了具有不等式約束的平差問題。對附不等式約束的平差問題近年來有眾多學者進行了一系列研究。文獻［1－4］都曾研究過用高程約束改善GPS模糊度的分解，文獻［5］將附不等式約束的問題作為一種平差模型提出，并研究其解算方法。文獻［6］通過罰函數的思想提出附不等式約束平差模型解算的凝聚函數法。文獻［7］提出用遺傳算法和Matlab的優化工具箱解決附不等式約束的計算問題。文獻［8］基于Kuhn－Tucker條件提出一種拉格朗日乘子迭代算法。文獻［9］從線性補的角度研究帶有線性不等式約束平差模型的算法。文獻［10］研究了不等式約束在GPS變形測量中的應用。文獻［11］將不等式約束的平差模型統一到經典平差模型中。但是，目前這些研究主要是集中在附不等式約束平差模型的解法上，也就是如何獲取參數的最優估值。由于附不等式約束的平差模型求解時，平差參數不能表達成觀測值的函數，不能用傳統的平差方法和平差知識求解，因而采用附不等式約束平差模型時，不等式約束對平差結果的貢獻（影響）及平差參數的統計性質等還不是十分明了。

針對這一問題，根據附不等式約束的平差過程，利用概率統計的思想，分析不等式約束對平差結果的影響，從而分析平差結果的有關統計性質。最后以一個簡單的例子直觀驗證了有關分析和結論。

2 附不等式約束對平差結果的影響分析

2.1 經典平差模型的解及精度

無約束的平差模型（誤差方程）可以表示為

式中，L為觀測值；V為觀測改正數；X為未知數；A為系數矩陣；P為觀測權矩陣。在最小二乘準則下，可以得到

2.2 附不等式約束平差模型的影響分析

若有不等式約束GX≤W，則附不等式約束的平差模型可以表示為

不等式約束GX≤W在幾何空間上來說，是一個區域（如圖1）。

圖1 不等式約束的幾何描述Fig.1 Geometrical description of inequality constraints

對于第二種情況，解將位于由Q＾X確定的橢圓與不等式約束所限定的區域S的切點上［5］，即解將落在不等式約束所限定的區域的邊沿GX＝W上。不等式約束的作用就是將無約束時落在區域外的解通過Q＾X確定的橢圓全部投影到約束區域的邊緣上。無約束時，解落在任意一點的頻率為f（X）。有不等式約束時，解落在不等式約束作用的區域之外時將會通過Q＾X確定的橢圓全部投影到約束區域的邊緣上，所以實際落在區域之外的頻率將為0，而落在區域邊緣上的頻率不再是f（X），將會是

式中，GX≥W?GX＝W表示從區域外到區域邊緣的投影，即區域外的頻率全部投影到了區域邊緣，并且有

上式左邊表示沿區域邊沿的積分，右邊表示區域外的積分。附不等式約束平差解的驗后分布就可表示為

驗后均值為

驗后均方誤差為

由式（9）、式（10）可以看出：

（1）模型（4）的估計是有偏的。式（9）中的第二項和第三項是由于不等式約束引起的，如果沒有不等式約束，則期望值為為無偏。式（9）第二項為X在約束區域外的積分，而第三項為X在區域邊沿的積分上。如果這兩個積分本身不為0的話（非對稱），這兩部分一般是不會相等的，因而期望值不會等于真值，其偏差為

很顯然，該偏差是由于不等式約束破壞了驗后分布的對稱性造成的，其大小取決于誤差本身的分布及不等式約束的非對稱性。如果觀測無誤差，則

此時，式（9）右邊第二、三兩部分的積分都將為0，上述偏差為0，估計仍然無偏。故這種估計有偏是因為不等式約束打亂了平差參數驗后（誤差）分布的均勻性而產生的，性質與觀測中含系統誤差類似，與數學中有偏估計方法得到的有偏估計卻不相同。數學中的有偏估計方法得到的是壓縮估計，即使觀測沒有誤差，估計也是有偏的。

（2）附不等式約束平差的解的均方誤差恒定小于無約束的最小二乘解。由于附不等式約束平差估計的期望值受誤差分布的不均勻影響，方差就不能完全反映估計的精確程度，按傳統平差衡量待估參數質量的方法，即估計值與真值的差異程度，選估計的均方誤差作為估計質量的評價標準，附不等式約束平差解的均方誤差由式（10）表示。顯然，只要真值位于不等式約束區域之內，則以真值為中心向外發散的每一條射線上，式（10）第二部分的積分都會大于等于第三部分的積分，即上式第二、三部分之和小于或等于0。附不等式約束平差模型解的均方誤差恒小于或等于無約束平差時解的方差。

（3）從精度的角度來說，不等式約束，不管是不是有效約束，總是有用的。在式（9）、式（10）的積分中，所有的約束，不管是有效約束還是無效約束都對積分起作用，所以不管是不是有效約束，都是有用的。

（4）約束對解的貢獻（或影響）與其約束值到真值的距離有關，約束值到真值的距離越小，對解的貢獻越大，反之越小。式（9）第二、三兩部分的差值與約束離真值的距離有關。如果約束與真值的距離很遠，例如大于3σ，那么由正態分布的定義可知，f（X）或fGX（X）在遠離期望的地方都會取到很小的值，式（9）的第二、三部分的貢獻就都會很小，約束的作用就不大。

3 算例分析

下面以一個極為簡單的一維例子直觀說明上述不等式約束對平差結果影響規律的分析。

假定有A、B兩點之間的距離需要確定，由某種先驗知識可以確定AB之間的距離X應該在a，b之間，即大于a小于b。用測距儀對AB距離進行測量，得觀測值L，L的精度為σ，如果只對AB進行1次觀測，平差模型（4）可表示為

該模型的解可表示為＾XIneq，假定觀測誤差服從正態分布，觀測值的取值則按圖2分布。

圖2 觀測誤差分布與不等式約束解Fig.2 Observation error distribution and solution to inequality constrained adjustment

在沒有不等式約束的情況下，式（11）的最小二乘解為＾X＝L，考慮不等式約束后，按上一節的分析，分成兩種情況：一是無約束最小二乘解滿足不等式約束，即a＜L＜b；二是無約束最小二乘解不滿足不等式約束或至少有一個約束不滿足，在本例中，可再分為觀測值落在區間L＞b和觀測值落在區間L＜a兩種情況。

第一種情況是觀測值落在區間a＜L＜b，此時，約束條件（11b）（11c）都滿足，不等式約束為無效約束，模型（11）等價于無約束的最小二乘模型，其解為

第二種情況，當觀測值落在區間L＞b，此時，無約束的最小二乘解為約束條件（11c）不滿足，為有效約束，約束條件（11b）滿足為無效約束。按有效約束方法，上述平差模型的解等價于由下面的附等式的平差模型求得的解即在不等式約束的約束下，解取的概率為Pb，在這種情況下，無約束解的取值范圍仍然在區間（b，＋∞），不等式約束（11c）的作用就是把無約束時落在區間（b，＋∞）的解投影到不等式約束區間的邊界（端點）b上。

在本例的一維情況下，附不等式約束解的驗后分布，即式（8）為

期望值，即式（9）可表示為

式（10）可表示為

很顯然，式（16）第二、三項之和只有在a、b與未知數真值對稱時才會為0，一般情況下不為0，即一般情況下＾XIneq是有偏的。由圖2可知，只要不等式約束是正確，在區間（－∞，a）恒定有在（b，＋ ∞）恒定有即式（17）第二、三項恒定的小于是恒定成立的。

在式（17）中，第二項代表約束（1）對解的精度的貢獻，第三項代表約束（2）對解的精度的貢獻。如果觀測落在區間（－∞，a），約束（11b）為有效約束，約束（11c）為無效約束，如果觀測落在區間（b，＋∞），則約束（11c）為有效約束，約束（11b）為無效約束，如果觀測落在區間（a，b）那么約束（11b）、（11c）都為無效約束。但不管觀測落在哪個區間，式（17）第二、第三項都會小于0，都對解的精度有貢獻。貢獻的大小與約束值a、b到真值的距離有關，約束值到真值的距離越小，對解的貢獻越大，反之越小。

以約束（11b）為例，約束（11b）對解精度的貢獻為式（17）中的第二項，分別取結果如表1。

表1 約束值距離真值的遠近對平差結果的影響Tab.1 The affect of the distance between constrained and real value to the adjustment results

可以看出，不等式約束區間離真值3倍中誤差以上，其對解的貢獻就非常有限了。這在直觀上是很好理解的。比方說要測量地球到月球的距離，附加一不等式約束：地球到月球的距離大于1mm，很顯然這一約束是絕對正確的，但也毫無意義。這一結論主要說明，不同的不等式約束對解的作用不相同，不等式約束必須與觀測精度相適應才能起作用。

對于上述第一種情況，約束條件（11c）為有效約束，附不等式約束的平差模型（11）的解與附等式的平差模型（12）的解相同。但此時，附不等式約束的平差模型（11）的解的方差是由式（17）確定，并且肯定不會為0，但模型（12）的解的方差確為0。同樣對第二種情況也有同樣的結論。因此在找到有效約束后，視有效約束為等式約束來評定附不等式約束的解的精度是顯然不合理的。

4 結 論

由式（9）、式（10）及上面的算例，可以得到以下結論：

（1）附不等式約束平差模型的解是有偏的，這種估計有偏是因為不等式約束打亂了平差參數驗后（誤差）分布的均勻性而產生的，性質與觀測中含系統誤差類似，不同于數學中壓縮型有偏估計。壓縮型有偏估計即使觀測沒有誤差，估計也是有偏的。

（2）附不等式約束平差時，其解的方差恒定小于無約束的最小二乘解。

（3）不管不等式約束是有效約束還是無效約束，對最后的解的精度都有貢獻。

（4）不同的約束對解的貢獻不同，各約束對解的貢獻與其約束到真值的距離有關，約束到真值的距離越小，對解的貢獻越大，反之越小。

（5）有效約束在求解時與等式約束等價，但在評定精度時與等式約束不等價。

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