基于支持向量機擬合的永磁同步電動機SVM－DTC仿真

王任杰，章躍進

(上海大學，上海200072)

0 引 言

隨著永磁材料的開發利用以及電機設計與分析技術、電力電子技術、微電子技術以及控制理論的迅速發展，高性能的交流調速系統在許多高科技領域得到了非常廣泛的應用，如機器人控制、數控機床、大規模集成電路制造、雷達與各種軍用武裝跟隨系統、航空航天以及柔性制造系統等。

高性能交流電機調速系統的控制方法中，無論是矢量控制還是直接轉矩控制，要達到良好的性能，都需要建立精確的電機數學模型。經典的交流電機數學模型是以電機氣隙磁場正弦分布為其數學基礎的。但是，隨著電機結構的日新月異，新型永磁電機的氣隙磁場并非呈現正弦分布，電機鐵心不同部分的飽和情況也與轉子位置和電流有關，經典模型無法準確描述新型永磁電機的非線性因素，因此，難以與實際情況相符。

如何得到永磁同步電動機這樣一個非線性、強耦合、參數時變的多變量系統的精確的數學模型又重新成為了一個值得思考和研究的問題。令人欣喜的是，近年來，隨著有限元磁場計算方法的逐步完善，對于這樣一個問題已經能夠給出令人滿意的數值解了。這樣得到的離散的非線性數學模型能夠比較方便地在計算機上用于交流調速系統的離線仿真，為控制系統的構建提供更好的參考。

1 永磁同步電動機的數學模型

1.1 永磁同步電動機的非線性數學模型

經典的永磁同步電動機數學模型難以考慮鐵心飽和以及電機磁感應強度非正弦分布所引起的非線性因素，而這一問題主要體現在電感參數上。考慮磁路飽和因素，電機電感既是轉子位置的函數，又是繞組電流的函數。電機運行時，電感參數不僅隨時間變化，也與電流有關。為了提高計算準確性，需將電機內部磁場的變化和電流的變化同時考慮。文獻［2］通過多次磁場計算求得電機繞組在不同電流組合和轉子位置時的磁鏈值，為電機動態仿真作好了數據準備;在此基礎上建立磁鏈函數描述的電機非線性動態數學模型，進行動態仿真。由于仿真計算采用的是精確的磁鏈函數模型，計算精度有保證。由于動態仿真與磁場計算分開進行，仿真過程中不僅可以計算轉速變化的過程，也可僅考慮電磁動態過程，設定轉速恒定，提高仿真效率。另外，電路仿真獨立進行更能適應外接電路拓撲結構的變化，有利于提高方法的通用性。

在定子靜止坐標系下電機定子的電壓方程式:

式中:us為定子三相電壓，us=［uaubuc］T;is為定子三相電流，is=［iaibic］T;Rs為定子繞組電阻矩陣，Rs=diag［r r r］T;p 為微分算子;ψs為定子繞組磁鏈，ψs=［ψaψbψc］T。上標 T表示轉置，下標s表示定子，a、b、c表示三相繞組。

考慮到繞組端部漏電感為常數，為了分析方便，將其從總磁鏈中分離出來，并用下標l表示，則磁鏈方程式:

式中:下標m表示主磁鏈及互磁鏈，與磁路飽和及轉子位置有關，可表示:

為獲得以上關系式，需設定不同的電流組合，通過多次磁場計算得到。采用旋轉電機磁場數值解析結合法進行磁場計算，由于氣隙無網格，轉子能夠自由地轉動，在計算磁鏈函數時顯示了優越性。為了與前述的一般數學模型更好地比較，也將上述的三相磁鏈變換到d、q軸系，同時為了方便比較和討論，忽略了端部漏磁鏈。由此得到了下面的定子電壓方程:

式中:ud、uq為定子電壓 d、q 軸分量;id、iq為定子電流 d、q軸分量;ψd、ψq為定子磁鏈 d、q軸分量;ωr為轉子電角速度;Rs為定子繞組電阻。上式中的d、q軸磁鏈是電流和轉子位置角的多元函數，對復合函數求導，可得:

由此得到了永磁同步電動機非線性模型的定子電壓和磁鏈方程，電磁轉矩同樣也可以通過磁場計算求得 Te=f(id，iq，θ)，而運動方程:

式中:Te為電磁轉矩;Tl為負載轉矩;ωr為轉子機械角速度;J為電機轉動慣量;RΩ為粘滯系數。

1.2 磁鏈與電磁轉矩非線性函數

本文的控制對象是一臺10極/12槽的采用轉子偏心氣隙設計的永磁同步電動機，其定轉子結構如圖1所示。圖2是d軸磁鏈函數曲面，圖3是q軸磁鏈函數曲面，圖4是永磁同步電動機的電磁轉矩函數曲面，為了在三維空間顯示圖形，將id設定為零。其中轉子位置角所取范圍為 θr=［0°，60°］電角度，電流 iq=［0，18］，轉子位置每隔2°取一點，電流每隔1 A取一點。

從圖2可以十分明顯地看出，d軸磁鏈隨著轉子電角度和電流的變化而變化，雖然變化不大(最大值與最小值也只有差了0.003 3 Wb)，但由于此電機的極對數為5，同時考慮q軸電流的變化范圍，這樣小的變化反映到電磁轉矩上也會引起不小的波動。從圖3、圖5、圖6可以看到，q軸磁鏈也隨著轉子電角度和電流的變化而變化，但是q軸磁鏈主要隨著iq的增加而增加，但是從圖5中也可以看出，q軸磁鏈也不是隨著iq線性增長的，隨著iq的增加，q軸磁鏈的增加越來越小。綜上所述，d、q軸磁鏈和電磁轉矩都是轉子電角度和電流的多元函數，采用永磁同步電動機的非線性模型比一般的數學模型能更精確地描述電機的非線性因素。

圖1 永磁同步電動機定轉子結構圖

2 支持向量機用于模型擬合

上述得到的非線性模型是數值的離散模型，無論是仿真研究還是實際電機的運行都是連續的模型，至少是步長很小的離散模型。如果通過磁場計算得到步長極小的離散模型，需要大量的計算時間。因此本文采用支持向量機方法獲得上述非線性模型的回歸函數，以供仿真研究使用。

2.1 機器學習方法

基于數據的機器學習是現代智能技術中十分重要的一個方面。機器學習的目的是根據給定的訓練樣本對某系統輸入輸出之間依賴關系進行估計。一般情況下，只有訓練樣本數趨于無窮多時，經驗風險才收斂于實際風險，但是，在實際應用中，樣本數據往往是有限的。因此，很有必要研究在有限樣本情況下的機器學習理論。

Vapnik 等人根據統計學習理論［3－4］，發展了一種通用學習方法－支持向量機(以下簡稱SVM)。作為一種小樣本學習方法，在實際應用中體現出強有力的生命力。通過多年的深入研究，SVM已發展成為機器學習和數據挖掘領域的重要工具。因而，統計學習理論和支持向量機受到越來越廣泛的重視。

支持向量機是通過事先選擇的非線性映射，將輸入向量映射到一個高維特征空間，在這個空間構造最優分類超平面的實現過程。其基本思想如圖7所示。

如圖7所示，它形式上類似神經網絡，輸出是中間結點的線性組合，每個中間節點對應一個支持向量。支持向量機通過引入核函數將輸入空間映射成高維的特征空間(Hilbert空間)，然后在特征空間中尋找最優超平面。核函數K需要滿足Mercer條件:

圖7 支持向量機示意圖

該過程可表述為:將輸入向量x通過映射Rn→H映射到高維Hilbert空間中。核函數的引入繞過特征空間，直接在輸入空間上求取，從而避免了計算非線性映射［4］。

目前常用的核函數有:

(1)線性核函數:k(xi，xj)=xi·xj;

(2)多項式核函數:k(xi，xj)=(xi·xj+c)d;

(4)多層感知器核函數:k(xi，xj)=tanh(kxi·xj+θ);

(5)B 樣條核函數:k(xi，xj)=B2N+1(‖xixj‖)。核函數的選擇需要一定的先驗知識，目前還沒有一般性的結論［5］。

2.2 本文采用的算法和擬合結果分析

本文采用自適應迭代最小二乘支持向量機回歸學習算法(Support Vector Regression，AILSSVR)［6］，算法對 ψd=f(id，iq，θr)，ψq=f(id，iq，θr)和 T=f(id，iq，θr)模型進行擬合，以得到永磁同步電動機的直接轉矩控制系統的磁鏈和電磁轉矩的估計公式，同時用于構建一個非線性永磁同步電動機模型。

為與前面的數值計算結果相比較，對應圖2～圖4列出對 ψd=f(id，iq，θr)，ψq=f(id，iq，θr)和 T=f(id，iq，θr)的擬合結果。

從圖8～圖10可以看出，AILSSVR學習算法對于前述的永磁同步電動機的非線性數值模型的整體擬合度還是令人滿意的，對于d軸磁鏈的相對擬合誤差的最大值為0.11%，q軸磁鏈的相對擬合誤差的最大值為4.7%，電磁轉矩的相對擬合誤差的最大值為7.4%。從圖11～圖13可以看出AILSSVR學習算法的擬合效果還是相當不錯，圖11的d軸磁鏈的絕對擬合誤差的最大值分別為0.000 1 Wb、0.000 1 Wb，圖12的q軸磁鏈的絕對擬合誤差的最大值分別為0.000 2 Wb、0.000 2 Wb，圖13 的電磁轉矩的絕對擬合誤差的最大值分別為0.039 8 N·m、0.027 2 N·m。綜上所述，AILSSVR學習算法對于永磁同步電動機的非線性數值模型的擬合精度是可以接受的。

3 基于非線性模型的永磁同步電動機SVMDTC的仿真研究

圖14為基于非線性模型的永磁同步電動機的SVM－DTC系統的結構框圖。此系統使用了給定電壓矢量發生器和一個空間電壓矢量調制單元替代了經典直接轉矩中的兩個磁鏈、轉矩滯環控制器和開關電壓矢量表，同時利用速度、電流傳感器檢測電機轉子位置和定子三相電流，通過Clarke和Park變換，將定子三相坐標系中的電流變量變換為dq旋轉坐標系中兩相分量。再通過前述的永磁同步電動機的非線性數值模型來估計電磁轉矩和定子磁鏈。這樣使得磁鏈和轉矩的估計更準確，控制電壓矢量的選擇也更準確。其仿真模型如圖15所示。

圖14 基于非線性模型的永磁同步電動機的SVM－DTC系統的結構框圖

圖15 基于非線性模型的永磁同步電動機的SVM－DTC系統的仿真結構圖

本文的研究對象是一臺10極/12槽的采用轉子偏心氣隙設計的永磁同步電動機。此電機的參數如下:極對數5;額定功率1 000 W;額定電壓220 V;額定轉速2 000 r/min;額定轉矩4.7 N·m。為了驗證所設計的DTC系統在減小轉矩和磁鏈脈動方面的有效性，同時也進行了傳統的直接轉矩控制系統的仿真。

圖16和圖17都為系統給定轉速100 r/min，在t=0.02 s時，負載轉矩由0突變為2 N·m，逆變器開關頻率為15 kHz下的轉速、轉矩、磁鏈圖。從圖16和圖17中可以看出，兩種控制方法的磁鏈運動軌跡都為圓形，轉矩響應快。但是基于非線性模型的永磁同步電動機的SVM－DTC系統在穩態運行時，磁鏈和轉矩脈動明顯減小，改善了控制系統性能。

圖16 傳統的永磁同步電動機DTC系統仿真波形圖

圖17 基于非線性模型的永磁同步電動機的SVM－DTC系統仿真波形圖

4 結 語

本文嘗試采用支持向量機擬合了通過磁場計算得到的永磁同步電動機的非線性數值模型，通過計算數據和擬合數據的比較分析說明了擬合模型的精度。

永磁同步電動機的非線性數值模型精確地考慮了磁路的飽和效應影響，為永磁同步電動機的優化設計、性能分析及控制算法的研究提供了有效的工具。

通過基于非線性模型的永磁同步電動機的SVM－DTC系統與傳統的永磁同步電動機控制DTC系統仿真結果的比較分析表明，采用非線性模型的控制系統對磁鏈和轉矩脈動有一定的改善。

［1］王成元，夏加寬，楊俊友，等.電機現代控制技術［M］.北京:機械工業出版社，2006:79－103.

［2］章躍進.旋轉電機磁場計算數值解析結合法研究［D］.上海大學，2005.

［3］Vapnik V.The nature of statistical learning theory［M］.New York:Springer－Verlag，1995.

［4］Vapnik V.Statistical learning theory［M］.New York:Springer－Verlag，1998.

［5］Simon Haykin.神經網絡原理［M］.葉世偉，史忠植，譯.北京:機械工業出版社，2004.

［6］吳春國.廣義染色體遺傳算法與迭代式最小二乘支持向量機回歸算法研究［D］.吉林大學，2006.