彎曲共振法測量材料的楊氏模量實驗改進

徐嘉彬，袁海甘，吳鴻斌，歐超豪，周曉明

（華南理工大學(xué) 物理學(xué)院 物理系，廣東 廣州510640）

1 共振法測楊氏模量實驗原理

共振法測楊氏模量是以自由梁的振動分析理論為基礎(chǔ)的，通過分析自由梁的固有頻率，導(dǎo)出楊氏模量的計算公式：

式中的l，d和m分別為圓截面試件的長度、直徑和質(zhì)量，f為試件的基頻諧振頻率．由此，共振法測楊氏模量的關(guān)鍵是如何測量振動體的基頻諧振頻率f．

基頻諧振頻率的測量裝置如圖1所示．

圖1 測量裝置原理圖

圓截面試件放在2個距離可調(diào)的刀口上，刀口間距離大致為試件2個節(jié)點之間的距離．

將音頻信號發(fā)生器輸出的等幅電信號加到電動式激振器上，使電信號變?yōu)殡妱邮郊ふ衿鞯臋C械振動，通過激振器刀口傳到試件上，激勵試件做受迫振動．在自由梁的另一端設(shè)置電動式拾振器，它可把試件的機械振動轉(zhuǎn)變?yōu)殡娦盘枺撔盘柦?jīng)放大后，傳輸?shù)绞静ㄆ鳎靡燥@示振動波形和振動信號的大小．電動式激振器輸入電信號的頻率可在音頻信號發(fā)生器的數(shù)字頻率表上讀出．

試件的共振狀態(tài)是通過調(diào)節(jié)電動激振器輸入電壓信號的頻率來實現(xiàn)的．當(dāng)音頻信號發(fā)生器的輸出信號頻率調(diào)到等于試件的固有頻率時，試件發(fā)生共振．在這種狀態(tài)下，示波器顯示的振動波形幅度驟然增大，這時音頻信號發(fā)生器頻率計上顯示的頻率即為試件在該條件下的共振頻率f．

2 實驗中存在的問題

在實驗過程中，發(fā)現(xiàn)了以下幾點問題：

1）水平問題．共振法測楊氏模量是以自由梁的振動分析理論為基礎(chǔ)的，被測試件水平與否會影響自由梁的狀態(tài)．實驗中通過調(diào)節(jié)測量儀底座上的水平調(diào)節(jié)螺釘達到水平，但難以判斷2個刀口是否水平．此外，工件的老化亦使兩刀口不一定處于同一水平面．

2）共振階數(shù)問題．實驗中通過測量試件的一階共振頻率，再代入計算公式得到楊氏模量．然而在同一測量位置上可存在高階的共振，在調(diào)節(jié)音頻信號發(fā)生器輸出時，調(diào)節(jié)過快可能錯過一階共振頻率，從而導(dǎo)致測量頻率非一階化，實驗結(jié)果就會產(chǎn)生錯誤．在不知試件楊氏模量大小的情況下，難于判斷共振處于第幾階，因此需要方法辨別采樣信號是第幾階共振信號．

3）共振頻率點附近的振動問題．實驗中先將音頻信號發(fā)生器的輸出電壓調(diào)到最大，在粗調(diào)輸出頻率時，示波器顯示的振動信號在一定的范圍會出現(xiàn)波形幅度增大或失真，本實驗就是通過在此范圍中，減小音頻發(fā)生器輸出電壓，微調(diào)輸出頻率，從而測得共振頻率．在實驗過程中，我們發(fā)現(xiàn)一階型的測量范圍較窄，在調(diào)節(jié)旋鈕過快時容易錯過共振頻率點．

3 改進方法

3．1 水平問題的改進

由于處于共振時刀口振幅較大，徹底消除水平問題難以辦到．對于工件老化引起的水平偏差，我們采取臺座水平可觀測的方式，在電動式激振器和電動式拾振器上加高度調(diào)節(jié)的機能，使高度能根據(jù)所放的位置進行調(diào)節(jié)，如圖2所示．

圖2 實驗裝置水平調(diào)節(jié)改進

先調(diào)整臺座水平，在臺座上導(dǎo)軌標(biāo)尺中央固定安裝水平儀，調(diào)整臺座三腳旋鈕使之水平．在刀口上放置被測量的銅棒需要達到受力平衡狀態(tài)以及處于水平狀態(tài)才能夠進行測量．在實驗中發(fā)現(xiàn)，儀器上的刀口是可以左右旋動的，因此對銅棒的擺放會有影響．一般來說，如果激振器和拾振器的高度相同，那么銅棒會處于水平狀態(tài)，但是，憑肉眼很難判斷．因此，可以用水平儀來判斷激振器和拾振器的高度是否一致．對激振器和拾振器的刀口來說，可用長100 mm或者150 mm的條式水平儀．考慮到刀口的受力面積較小，因此可在水平儀和刀口之間架一塊面積合適的水平的薄板，用于承載水平儀．

3．2 共振階數(shù)的判斷

可采取幾種方法判斷共振階數(shù)：

1）頻率比值法．均質(zhì)等截面兩端自由梁作橫向振動時，其振動方程為

用分離變量法，令y（x，t）＝Y(jié)（x）T（t），可解得

式中

式（3）對于任意形狀截面和不同邊界條件的試件都是成立的．如果放置試件的2個刀口處在試件的節(jié)點附近，則兩端自由梁的邊界條件為橫向作用力F和彎矩M 均為0，即

將通解代入邊界條件，可得

用數(shù)值解法可得本征值K和試件長度l的乘積應(yīng)滿足

把相應(yīng)的值代入式（4）中，可得

則對于采樣的結(jié)果，可以根據(jù)上述比例進行振動級次的辨別．

2）估算鑒別法．可以預(yù)先根據(jù)楊氏模量值的大致范圍，按計算公式反推出共振頻率，在此頻率值附近尋找共振信號．一般來說，如果在可能的1個頻率范圍內(nèi)，只有1個共振峰，則多半就是所要找的共振信號．

3）聽診法．基頻和各次級諧振波振動的節(jié)點數(shù)目和位置都不同，如果能夠確定節(jié)點的位置和數(shù)目，就可確定振動的級次．但由于試樣振幅一般很小，無法用肉眼觀察，故需要用到間接法，這里采用了聽診法：用醫(yī)用聽診器接近試樣但不接觸試樣，從試樣的一端到另一端，一邊移動一邊聽，在波峰處可以聽見最強的振動聲，波節(jié)處聲音最弱，以此判斷節(jié)點數(shù)及位置．

3．3 頻率測量范圍的討論

由于一階型存在測量范圍窄的問題，在此查看二階的振動情況，當(dāng)n＝2時，K2＝7．853，代入（4）式，可得

對于等圓截面棒狀的試件，

根據(jù)計算，當(dāng)n＝2時，節(jié)點位置在0．132l，0．500l和0．868l處．在二階振動的情況中，選取了0．132l和0．868l兩處節(jié)點進行和一階型相同的實驗，發(fā)現(xiàn)其測量范圍相對較寬．

4 實驗測量分析

采用南京慧波理工科教儀器研究所制作的DY－D99型多功能動態(tài)楊氏模量測量儀進行測量，以YXY－2型音頻信號發(fā)生器作為信號輸出．

4．1 一階共振法測量楊氏模量

實驗中測試樣品為一長圓銅棒，棒長為l＝（28．40±0．01）cm，直徑d＝（5．91±0．02）mm，質(zhì)量m＝（70．259±0．002）g，實驗數(shù)據(jù)見表1．

表1 圓銅棒基頻共振頻率（x＝0對應(yīng)0．224l）

由表1數(shù)據(jù)通過Matlab進行線性擬合，得到刀口位置與共振頻率的關(guān)系曲線，在節(jié)點0．224l即x＝0處，得到基頻共振頻率，其對應(yīng)的頻率值為f＝230．93 Hz．把實驗數(shù)據(jù)代入（1）式，得到楊氏模量E＝1．129×1011N／m2，利用不確定度傳遞公式可得，不確定度為ΔE＝0．02×1011N／m2．求出銅棒試樣楊氏模量測量為E＝（1．13±0．02）×1011N／m2．

4．2 二階共振法測量楊氏模量

受實驗儀器的限制，在測量二階共振狀態(tài)時，選擇以步長5 mm進行測量．實驗數(shù)據(jù)見表2．

通過表2中數(shù)據(jù)通過Matlab軟件進行線性擬合，得到二階時銅棒試樣的共振頻率為f＝646．32 Hz．

表2 圓銅棒二階共振頻率（x＝0對應(yīng)0．132l）

把實驗數(shù)據(jù)代入（11）式，求出楊氏模量E＝1．164×1011N／m2，利用不確定度傳遞公式計算相對不確定度不確定度為ΔE＝0．01×1011N／m2．二階共振測量銅棒試樣楊氏模量為E＝（1．16±0．01）×1011N／m2．

從上面計算結(jié)果可以看出，一、二階共振測量結(jié)果均接近試樣實際值1．1×1011N／m2，二階測量方法不確定度較小．

4．3 測量范圍記錄

實驗測量數(shù)據(jù)如表3～4所示，比較可知，二階模式中振動劇烈的范圍明顯擴大，利于在較大范圍內(nèi)尋找到共振頻率點．

表3 一階模式中振動劇烈的范圍（x＝0對應(yīng)0．224l）

表4 二階模式中振動劇烈的范圍（x＝0對應(yīng)0．132l）

5 結(jié) 論

從測量范圍記錄看，二階測量范圍相對較寬，在測量時能在較大范圍內(nèi)出現(xiàn)示波器波形劇烈振動，而一階測量范圍較窄，在測量過程中易被漏掉導(dǎo)致測錯．多次實驗結(jié)果與上面分析相似，一、二階共振法測得的楊氏模量值均較為接近實際值，二階共振法由于測量所在頻段較高，不確定度均小于一階結(jié)果．因此在實驗的操作性和數(shù)據(jù)獲取的準(zhǔn)確度上，選用共振二階型態(tài)測量楊氏模量較有優(yōu)勢．至于辨別共振階數(shù)，聽診法和比值法均能有效地辨別共振狀態(tài)所在的階數(shù)，而估算法能很好地對已知楊氏模量的試樣進行實驗預(yù)測和指導(dǎo)．

［1］ 李艷琴，趙紅艷，李學(xué)慧，等．動力學(xué)共振法測量固體楊氏模量［J］．實驗室研究與探索，2009，28（10）：17－18．

［2］ 段卓琦．金屬楊氏模量的動態(tài)法測量研究［Z］．大理：大理學(xué)院物理與電子信息學(xué)院．

［3］ 倪新蕾．大學(xué)物理實驗［M］．廣州：華南理工大學(xué)出版社，2007．