不變本征算符法在含時二維雙耦合諧振子系統中的應用

成泰民， 葛崇員

(沈陽化工大學數理系，遼寧沈陽110142)

最近，凌瑞良［1］等對不同頻率、不同質量并含時雙耦合諧振子系統進行了研究，并得到系統的簡正頻率的表達式及系統的嚴格波函數解.坐標與動量通過轉動變換［1-2］對系統的哈密頓量進行退耦合處理.凌瑞良［1-2］等的工作沒有給出很明顯的系統的簡正頻率解析解表達式，并且對系統哈密頓量的退耦合處理較復雜.凌瑞良［3］等利用二次型理論及三次保對易的辛變換研究了三維各向異性耦合諧振子體系.徐世民［4］等利用有序算符乘積內的積分技術(IWOP)處理了兩非全同諧振子體系，并推導出系統的波函數.上述系統的特點是系統的哈密頓量中只包含力學量的二次項.因此，上述系統的哈密頓量是線性的.范洪義［5-6］等對不同的哈密頓量系統，利用量子力學的不變本征算符法處理系統的元激發能量和能級差.為此，本文利用不變本征算符法推導明顯的系統的簡正頻率解析解表達式及嚴格波函數，并討論不變本征算符法對于線性哈密頓量系統的退耦合方面的普遍性和簡捷性.

1 利用不變本征算符法對含時二維雙耦合各向異性諧振子系統哈密頓量退耦合

考慮一般的情形，令m1(t)≠m2(t)、ω1(t)≠ω2(t)且坐標與動量耦合強度也均含時的雙耦合諧振子系統的哈密頓量為:

因為［xi，pj］=iˉhδij，［xi，xj］=［pi，pj］= 0(其中i，j=1，2)，所以有如下對易關系:

引入關于坐標的不變本征算符OCe=x1+ τCx2，由(2)式可得OCe與H的對易關系:

根據不變本征算符法可知:

由(4)與(5)式可得:

由(6)式可得:

其中:

由(7)式可得關于坐標的不變本征算符:

由(4)式、(5)式、(7)式可得系統的簡正頻率:

為得到與簡正坐標對應的共軛動量，引入關于動量的不變本征算符OMe=p1+τMp2，由(2)式可得OMe與H的對易關系:

同理根據不變本征算符法可知:

［［OMe，H］，H］=ˉh2Ω2OMe=

由(11)與(12)式可得:

由(13)式可得:

由(11)、(12)、(14)式，同樣可得系統的簡正頻率(9)式，并由(14)式可得關于動量的不變本征算符:

因為(8)式與(15)式分別對應簡正坐標與其對應的共軛動量［7］，為滿足［Qi，Pj］=iˉhδij，［Qi，Qj］=［Pi，Pj］=0，對(8)式與(15)式的系數進行處理可得:

(16)式的逆變換為:

把(17)式代入(1)式可得:

2 嚴格波函數的確定

將(18)式改寫成:

其中:

利用分離變量法，令:

那么，可得:

系統的薛定諤方程為:

根據(16)式、(19)式和文獻［1-2］的處理方法及步驟，可得系統的嚴格波函數為:

其中ρ1和ρ2由相應的輔助方程決定:

(27)式對應的能量本征值為:

3 討論

以兩諧振子的質量和簡正頻率均相等且含時的系統為例，討論不變本征算符法在含時二維雙耦合各向異性諧振子系統處理中的正確性、簡捷性、普適性.當

時，把(31)式代入到(7)、(9)、(14)、(16)、(19)、(27)式，可得:

(32)～(35)式與文獻［1-2］的結果相比較完全相同.

4 結論

根據以上推導及討論可知:對于線性哈密頓量系統，利用不變本征算符法進行退耦合非常簡捷，而且能夠得到明顯的系統簡正頻率的解析表達式，也不涉及耦合項前系數為零等處理.只要體系的哈密頓量中只含有力學量的二次項(線性化)時，利用“不變本征算符”方法計算體系的元激發能量非常簡捷.因此，原則上利用“不變本征算符”方法也可計算多維多耦合各向異性諧振子系統的簡正頻率解析解與波函數.

［1］ 凌瑞良，馮金福，胡云.含時二維雙耦合各向異性諧振子的嚴格波函數［J］.物理學報，2010，59(2): 759-764.

［2］ 凌瑞良，馮金福.質量和頻率均含時的耦合諧振子的嚴格波函數［J］.物理學報，2009，58(4):2164-2167.

［3］ 凌瑞良，馮進，馮金福.三維各向異性耦合諧振子體系的量子化能譜與精確波函數［J］.物理學報，2010，59(12):8348-8358.

［4］ 徐世民，蔣繼建，李洪奇，等.兩體組合坐標表象的建立、性質及應用［J］.物理學報，2008，57(12): 7430-7437.

［5］ Fan HongYi，Li Chao.Invariant‘Eigen-operator’of the Square of Schr?dinger Operator for Deriving Energy-level Gap［J］.Phys.Lett.A，2004，321(2):75 -78.

［6］ Fan HongYi，Wu Hao.Deriving Vibrating Modes of Some Multiatom Molecules by Virtue of the Invariant Eigenoperator Method［J］.Modern Physics Letters B，2005，19(26):1361-1366.

［7］ 黃萬霞.簡正坐標的另一種求法［J］.大學物理，2008，27(9):14-15.