擬合多阻尼比目標反應譜的高精度地震動調整方法①

謝異同，盛 濤，袁 俊

（1.西安建筑科技大學土木工程學院，陜西 西安 710055；2.同濟大學結構工程與防災研究所，上海 200092；3.西北電力設計院，陜西 西安 710075）

0 引言

按照特定算法合成滿足目標反應譜和幅值、頻譜、持時等工程特性的地面運動時程一直是人造地震動研究領域的熱點問題。國內外許多學者對此展開了大量的研究，所采用的方法可以分為兩大類：時域合成法［1－4］和時頻分析調整法［4－6］。其中的相位差譜主要是基于對數正態分布律的人工生成法［4］和采用真實地震動相位差譜的方法［7］。

由于地震動的非平穩特性對結構非線性響應的影響較大［8－9］，調整后得到的地面運動時程需要具有較高的擬合精度、強非平穩特性及較為真實的相位差譜［2－3］；出于通用性的考慮，往往還需同時擬合多阻尼比目標反應譜及相應的峰值［4］。本文基于地震動調整效果的衡量指標分析時域合成法和時頻分析調整法的優缺點，期望在此基礎上提出一種能夠保留原始地震動的強非平穩特性、對其相位差譜改動較少、能同時擬合多阻尼比目標反應譜的地震動調整方法，再通過算例驗證其擬合精度和可行性。

1 地震動調整效果的衡量指標

趙鳳新、胡聿賢等［10］的研究成果表明：當相位差譜的統計特性依賴于頻率時，非平穩性決定了能量在時域內集中部位和程度。本文將［0，T］時間段內的阿里亞斯強度IA（T）作為衡量地震動時程a（t）非平穩性變化的主要指標：

式中g為重力加速度，這主要是考慮到阿里亞斯強度百分比能表征能量在時域內的集中部位和程度［1］。

由傅立葉變換可知地震動信號的阿里亞斯強度IA與能量E之間存在如下定量關系：

式中的│F（w）│2為［0，T］內地震動信號的傅立葉幅值譜，又稱為能量譜ε（w）。將有限時間能量信號的能量譜與功率譜之間的轉換關系式：S（w）＝ε（w）／T代入式（2）后，通過傅立葉逆變換即可得到阿里亞斯強度與功率譜之間的定量關系為

將上式代入 Vanmarke（1976）［1］提出的反應譜和功率譜之間的量化關系，即可得到阿里亞斯強度與反應譜之間的定量關系：

式中的P為反應譜值超越概率。由上式可知：在相同反應譜值情況下，w0越小，IA值越大；在相同頻率情況下，反應譜值越大，則IA值也越大。因此可以由IA值衡量地震動的譜坐標與目標譜之間的擬合精度及引入信號與原始信號間的比例關系。

2 兩類地震動調整方法對比

時域合成法主要是基于Duhamel積分原理，在真實地面運動時程的基礎上疊加一定量的時程函數使其與目標反應譜相兼容，保留了地震動的非平穩特性和持時［5］，通過改進還能擬合峰值速度、峰值位移［2，11］等。但不足之處體現在隨著疊加時程函數的“積少成多”，會較大程度的改變原始的能量分布狀況，對原始信號的相位差譜、非平穩特性等構成較大的影響［12］。

另一種途徑則是時頻分析調整法，如：短時傅立葉變換法（STFT）［5］，小波變換法［6］等。主要思路是將真實信號分解到各個頻帶，通過對各頻帶分量作幅值調整以改變相應周期段的反應譜值，達到擬合目標反應譜的目的［6］。其優點是概念清晰，與設計反應譜結合時能模擬真實地震波在介質中傳播規律，具有一定的物理意義［13］；且由于使用的是自身的相位差譜，對能量分布的改變相對于時域合成法要小很多，因此具有很高的實用價值。其主要不足體現在由于各分量之間的頻帶重疊而造成的擬合精度不高［6］；且由于擴大了低頻成分會造成積分時程的漂移［12］；另外還不能同時擬合多阻尼比目標反應譜及峰值速度、峰值位移等。這些都成為了限制其發展的“瓶頸”。

綜上所述，將理想的調整方法應具有的性質及上述兩種調整法的優缺點歸納于表1中。通過對比提供了一個很好的思路：由于時域合成法精度頗高，因此可以用作小幅度修正，而前期的大幅度調整則采用時頻分析法，這樣不僅最大限度保留其非平穩特性和真實的相位差譜，還能充分應用時域合成法的諸多優點。

3 理想地震動調整方法的實現及其程序設計

上述思路的具體的實現方法是先采用謝異同等［6］提出的時頻小波分析法調整真實地震動，最大限度的擬合目標譜和相應的峰值，再采用Hancock.J等［12］提出的時域疊加正、余弦小波函數法對其作小幅度調整擬合多阻尼比目標反應譜，以提高其擬合精度，其中正、余弦小波函數的表達式如下：

式中：Δtj是用于協調小波函數的峰值時刻tj與單自由度體系動力反應的峰值發生時刻；βj為阻尼比；ψj用于協調小波函數在時域內的衰減快慢。

將具體步驟繪制成程序設計流程圖如圖1所示，再采用C語言完成整個程序設計。

表1 時域合成法和時頻分析調整法的性能比較及理想的調整方法

圖1 地震動調整的程序設計流程圖Fig.1 Flow chart of program design for ground motion modification.

4 算例分析

選用EL－Centro NS（PGA＝0.31g）的地面運動時程作為范例，擬合美國規范硬土場地條件下阻尼比為分別為5%、10%、20%的彈性D－V－A聯合譜。該譜建議當地面峰值加速度取為¨ug0＝1000 gal，相應的峰值速度及峰值位移為˙ug0＝124.80 cm／s，ug0＝93.60cm。標準的彈性D－V－A聯合譜的概念見文獻［1］。將該譜乘以0.31得到本例的目標反應譜。

在擬合目標譜之前，需要先將偽速度譜轉換為偽加速度譜，擬合偽加速度譜后，再轉換為偽速度譜與目標譜進行比較以確定擬合精度。

將EL－Centro NS波采用二階基數B－樣條作7層小波分解，最后一個小波分量的周期范圍為：［5.12s，10.24s］；經過12次時頻小波分析調整后各頻段上的反應譜平均偏差Misfit（T）ave的最大值、最小值及整個頻段上的平均偏差分別為6.75%、6.73%、7.73%，可見整體偏差及各頻段上的最大平均偏差均小于10%，此時的峰值加速度為0.31g；然后再對上述調整后的地震波采用時域疊加小波函數法對各頻率點進行修正，同時對多阻尼比目標反應譜進行擬合。

經過上述調整后的地面運動加速度時程及DV－A聯合譜如圖2、圖3所示。其中在三個阻尼比條件下每個周期點處的最大偏差、最小偏差及平均偏差分別為3.5%，0%，0.84%，具有很高的擬合精度。

由于時頻小波分析調整過程中使用的是地震動自身小波分量的相位差譜，而后來疊加上的小波函數卻很難具有與真實地震動相位差譜相同的統計特性，且由于小波函數只是諧振信號，出于對真實性的考慮疊加上的小波函數也應該越少越好。因此做出調整前后波形的Arias強度及其百分比如圖4所示。由圖4（a）可知，經過時頻小波分析調整后的Arias強度由原始記錄的0.71增加到了0.90，而直接采用疊加小波函數和采用本文的方法最后得到的Arias強度均為1.15。由式（4）可知兩種方法的精度相同，而采用本文的方法疊加上的小波函數的強度值僅為0.25，為時域合成法疊加上的55%。由圖4（b）可知，由于小波分析法調整后擬合精度已經較高，之后疊加上的小波函數對能量分布的二次影響已經變得極其微小，盡管時頻小波分析調整法對相位差譜的改變隨著調整次數的增加而增加，但是該過程中使用的是其自身小波分量的相位差譜，當與疊加小波函數法聯合使用時，相對于單獨疊加小波函數而言改變量減少了近50%，這也進一步驗證了該方法的實用性和通用性。

圖2 調整前后的EL－Centro NS波形Fig.2 The EL－Centro NS waveform before and after the modification.

圖3 調整后的反應譜與標準D－V－A聯合譜（由上至下阻尼比：5%，10%，20%）Fig.3 The pseudo velocity spectrum after adjustment and the D－V－A combined spectrum （damping ratio：5%，10%，20%）.

5 結論

本文通過對時域合成法和時頻分析調整法赤行比較分析，提出了一種高精度的多阻尼比地震動調整方法以克服傳統方法的不足。其首先采用時頻小波分析對地震動作前期調整，通過控制平均偏差與最大偏差以最大限度逼近目標反應譜，再采用時域疊加小波函數法作后期小幅度調整，并通過阿里亞斯強度控制疊加上的小波函數的比例，這樣不僅最大限度的保留了地震動的非平穩特性、相位差譜等真實信息，且能很好的應用時域合成法擬合多阻尼比目標反應譜。

通過對EL－Centro NS地震波的調整以擬合美國規范硬土場地條件下多阻尼比D－V－A聯合譜，驗證了該方法的可行性和通用性，為該方法的改進以同時擬合峰值加速度、峰值速度和目標反應譜奠定了基礎。

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