基于極限平衡條件的土體局部穩(wěn)定分析①

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（大連理工大學 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116085）

0 引言

巖土結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)破壞是巖土工程建設中經(jīng)常遇到的主要災害之一。一般情況下，失穩(wěn)破壞都是由局部破壞逐漸擴展以致貫通形成滑面的漸進過程。因此土體結(jié)構(gòu)的局部穩(wěn)定分析對于研究土體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性具有參考價值。

目前，邊坡、地基和支擋結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定分析主要采用極限平衡法和有限元法［1－2］。極限平衡法假定土體是理想塑性體材料，不考慮土體內(nèi)部的應力－應變關(guān)系，無法模擬土體由局部破壞發(fā)展至整體破壞的漸進破壞過程。有限元法完全克服了上述缺點，在土體的漸進破壞分析方面成為主要的工具。

王庚蓀［3］采用接觸單元模擬滑面上的接觸摩擦狀態(tài)，進而模擬邊坡的漸進破壞過程，但要事先假定滑面位置。唐洪祥和李錫夔［4］基于壓力相關(guān)彈塑性Cosserat連續(xù)體模型的有限元，模擬了擋土墻和開挖邊坡的漸進破壞過程。王庚蓀、孔令偉等［5］應用含剪切帶單元和破壞面自動尋蹤技術(shù)模擬了邊坡的漸進破壞過程。

土體的破壞型式主要為剪切破壞。土的摩爾－庫侖強度理論指出：在一定壓力范圍內(nèi)，土的抗剪強度可以用庫侖公式表示，當土體中一點任一平面上的剪應力達到土的抗剪強度時，就認為該點發(fā)生剪切破壞。當土體內(nèi)一點出現(xiàn)剪切破壞時，也稱該點處于極限平衡狀態(tài)。此時從應力角度來說，該點處于極限狀態(tài)，從力的平衡角度來說，該點剪切破壞平面微元面積上的土體內(nèi)力達到極限平衡，即微元土體在破壞平面上的剪切力等于抗剪力。一點（某一方向上）的剪應力等于抗剪強度，就是土體的強度條件，或者稱為極限平衡條件。

將土體一點的極限平衡條件推廣，可以得到土體沿任一曲面局部或者整體的極限平衡條件。文獻［6］證明了當土體整體沿曲面的剪應力和抗剪強度的積分值（代數(shù)和）相等時，土體整體沿該曲面達到極限狀態(tài)，并由此給出土體穩(wěn)定安全系數(shù)的定義，說明其物理意義是土體沿曲面整體達到極限平衡時的平均強度折減系數(shù)或強度儲備系數(shù)。

本文進一步將摩爾－庫倫強度理論推廣到土體內(nèi)的任意局部曲面，就平面問題給出土體在局部曲面上的極限平衡條件，以此為判據(jù)，根據(jù)有限元應力分析結(jié)果，當土體沿某一局部曲面達到極限平衡時，則認為土體在這一局部曲面上出現(xiàn)剪切破壞。搜索確定這一曲面的擴展過程可以確定土體的漸進破壞過程。

1 土體局部的極限平衡條件

文獻［6］說明了土體沿任意曲面l整體達到極限平衡的充分必要條件是

該條件也可以推廣到土體內(nèi)任意曲面的局部。

圖1 局部曲面上任意形狀脫離體平衡示意圖Fig.1 Sketch of balance of forces and moments exerted on soil mass along part curved surfaces.

局部曲面上的土體達到極限平衡狀態(tài)同樣是指在局部曲面上土體滑動力的合力與阻滑力的合力相等，并且對曲面外任意一點滑動力矩與阻滑力矩相等。只要我們認識到，當局部曲面上土體的滑動力與阻滑力相等時，由此曲面向土體邊界所取的任意形狀脫離體，都會滿足平衡條件，如圖1，那么土體沿局部曲面l的極限平衡條件∫τfdl＝∫τdl的證明與沿曲面整體達到極限平衡條件的證明相同，可以參見文獻［4］，這里不再贅述。

由此，同樣可以定義土體沿局部曲面的抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)，公式與整體相同。

2 基于極限平衡條件的漸進破壞分析

由土體的極限平衡條件，定義安全系數(shù)K作為土體內(nèi)部任意曲面（包括微元長度、局部曲面和整體曲面）是否達到極限平衡狀態(tài)的準則：

若｜K－1.00｜≤ε，ε是反映計算誤差的一個小量（本文算例取為0.05），則認為土體沿曲面（局部或整體）達到極限平衡狀態(tài)。

土體的漸進破壞一般是伴隨加載過程或者土的強度降低而發(fā)生的。采用彈塑性或非線性彈性（非線性彈性時要考慮應力調(diào)整）有限元法計算土體結(jié)構(gòu)的應力，根據(jù)每一次的應力計算結(jié)果計算沿局部或整體曲面的安全系數(shù)，當安全系數(shù)接近于1時，認為達到極限平衡狀態(tài)。

搜索確定土體內(nèi)達到極限平衡狀態(tài)的曲面仍然采用文獻［6］中介紹的方法：即將待搜索的曲面（線）離散，以直線線段連接相鄰的節(jié)點近似地代表曲面（線），搜索節(jié)點坐標確定曲面（線）。求解時在擬定的搜索區(qū)域內(nèi)給定合適數(shù)量的x坐標（為保證破壞曲面平滑，可以密一些），在每一個x坐標對應的平行于縱坐標軸的直線上滑動縱坐標y，以節(jié)點的yi為搜索變量。

以土體結(jié)構(gòu)的逐級加載過程為例，為了確定漸進破壞過程，對于每一級荷載先以連接每一個相鄰節(jié)點的微小線段作為局部曲面，逐一計算每一個線段上的土體安全系數(shù)，當滿足│K－1.00│≤ε時即認為出現(xiàn)剪切破壞，標志出剪切破壞的線段。在進行下一級荷載計算時，除逐一計算每一個線段上的土體安全系數(shù)外，再把安全系數(shù)計算擴展到每兩個相連的線段，同樣以│K－1.00│≤ε為標準判斷是否出現(xiàn)剪切破壞，以此類推，直到發(fā)生整體破壞為止。

3 算例舉例

3.1 均質(zhì)邊坡

某均質(zhì)邊坡如圖2所示，坡高H＝20m；內(nèi)摩擦角φ＝17°；土體容重為20kN／m3；粘聚力c＝42 kPa；E＝10MPa；v＝0.3；坡角為40°。距坡頂20m作用均布荷載，遞增荷載P 分別為0、50、75、85、100、150、160、170、175kPa。

圖2 某邊坡有限元網(wǎng)格劃分Fig.2 Mash of FEM model for a slope.

取坡體底邊界為固定約束，左右邊界為水平約束，其它邊界自由。

本文基于非關(guān)聯(lián)流動法則，采用與M－C準則精確匹配的D－P準則計算邊坡的應力場。

圖3（圖版Ⅰ圖3）給出隨外荷載遞增所產(chǎn)生的達到極限平衡狀態(tài)的曲面微元及局部或整體曲面。坡角處最先出現(xiàn)達到極限平衡狀態(tài)的區(qū)域，隨荷載增加，極限平衡狀態(tài)的區(qū)域逐步擴展。當荷載為175kPa時，滑動面貫穿整個邊坡，對應的安全系數(shù)為1.03。滑動面的形狀與位置與ANSYS計算所得的等效塑性應變區(qū)域基本一致。

圖4 由ANSYS計算的等效塑性應變分布Fig.4 Equivalent plastic strain distribution from ANSYS.

3.2 地基極限承載力

在經(jīng)典塑性力學中，巖土體材料假定為無重的理想彈塑性體，在此基礎上可以得到一系列的解析解（理論解）。

對于圖5所示的地基，寬30m；深15m；荷載作用寬度為2m；地基底邊邊界為固定約束，左右邊界為水平約束。取c＝10kPa；φ＝10°；彈性模量E＝30000kPa；泊松比v＝0.3；遞增荷載P分別為40、50、60、70、80、83、83.5kPa。

同樣基于非關(guān)聯(lián)流動法則，采用與M－C準則精確匹配的D－P準則計算地基的應力場。

圖5 某地基有限元網(wǎng)格劃分Fig.5 Mash of FEM model for a foundation.

圖6（圖版Ⅰ圖6）給出隨外荷載遞增所產(chǎn)生的達到極限平衡狀態(tài)的曲面微元及局部或整體曲面。達到極限平衡狀態(tài)的區(qū)域逐步向下擴展，但由于下部兩側(cè)土體的約束并無向下的帶狀貫通區(qū)域。荷載由70kPa增加至83.5kPa時，逐步形成帶狀的極限平衡狀態(tài)的區(qū)域，即滑動面或剪切帶。極限荷載83.5kPa為Prandtl理論解，與本文所得結(jié)果一致。滑動面的形狀與位置與ANSYS計算所得的等效塑性應變區(qū)域及Prandtl解也一致。

圖7 由ANSYS計算的等效塑性應變分布Fig.7 Equivalent plastic strain distribution from ANSYS.

4 結(jié)論

本文根據(jù)土體結(jié)構(gòu)的應力及摩爾－庫侖強度理論分析其局部穩(wěn)定性。以土體內(nèi)部任意曲面的剪應力積分值與抗剪強度積分值的比值為安全系數(shù)K，認為｜K－1.00｜≤0.05為極限平衡狀態(tài)。

均質(zhì)邊坡算例表明：隨著外荷載的遞增直至達到極限荷載，邊坡土體內(nèi)部由局部達到極限狀態(tài)發(fā)展成整體達到極限狀態(tài)，最終失穩(wěn)破壞。坡角處最先出現(xiàn)達到極限平衡狀態(tài)的區(qū)域，隨荷載增加，極限平衡狀態(tài)的區(qū)域逐步向坡頂擴展。

地基極限承載力算例表明：達到極限平衡狀態(tài)的區(qū)域由地基上部逐步向下擴展，但荷載由70kPa增加至83.5kPa時，下部土體由于受到兩側(cè)土體的約束，整體破壞并不向下發(fā)展，而是在頂部形成帶狀的極限平衡狀態(tài)的區(qū)域，即滑動面或剪切帶，最終地基失穩(wěn)。

通過算例分析，驗證了本文方法模擬土體結(jié)構(gòu)漸進破壞過程是可行的。

［1］穆鵬，吳偉紅，楊濤.2009年蘭州市九州石峽口滑坡成因及其西側(cè)高邊坡穩(wěn)定性研究［J］.西北地震學報，2010，32（4）：343－348.

［2］范昭平，張麗華.地震作用下邊坡穩(wěn)定性分析［J］.西北地震學報，2010，32（4）：339－342.

［3］王庚蓀.邊坡的漸進破壞及穩(wěn)定分析［J］.巖石力學與工程學報，2000，19（1）：29－33.

［4］唐洪祥，李錫夔.土工結(jié)構(gòu)物漸進破壞過程COSSERAT連續(xù)體有限元分析［J］.大連理工大學學報，2010，50（3）：320－326.

［5］王庚蓀，孔令偉，郭愛國，等.含剪切帶單元模型及其在邊坡漸進破壞分析中的應用［J］.巖石力學與工程學報，2005，24（21）：3852－3857.

［6］邵龍?zhí)叮罴t軍.土工結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析－有限元極限平衡方法及其應用［M］.北京：科學出版社，2011.