基于有效點擴散函數(shù)的高精度測光*

王 嫻，蘇成悅，王婷婷

(廣東工業(yè)大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

照相天體測量學(xué)中一種常見的工作是星像的中心位置和光度的精確測量。光度測量指測量來自天體的有限波段范圍內(nèi)的輻射流，簡稱測光，常以星等表示。隨著測光方法的日益完善和研究的逐步深入，光度測量成為研究各類天體物理性質(zhì)的重要方法。測光依據(jù)的基本原理是在相同條件下，等同的輻射流能使探測器產(chǎn)生同樣的響應(yīng)。根據(jù)這一原理，將待測星和已知星等的星作比較，從探測器對它們的響應(yīng)便可推算出待測星的星等或星等變化。比較星是事先已經(jīng)確定星等的定標星，或參照定標星精確測定了星等的標準星，即相對測光。將待測星的光譜和實驗室中的絕對黑體比較，測出天體亮度，即絕對測光。

目前測光的主要方法有孔徑測光和點擴散函數(shù)擬合測光［1－4］。在傳統(tǒng)的處理方法如DAOPHOT(Stetson 1987)中使用 Gauss函數(shù)［5］、Kenneth J Mighell使用了 Matphot函數(shù)［6］，把一個函數(shù)正確地放置在一顆星像上，對這個函數(shù)在星像范圍內(nèi)每個像素所占的面積積分，取其積分結(jié)果和該像素觀測流量值之差，以此達到最接近的擬合，從而建立起所采用的點擴散函數(shù)。Anderson等人提出了有效點擴散函數(shù)(effective Point Spread Function，ePSF)擬合測量星體中心［7－8］，利用他們的方法，本文對2007年10月12日在國家天文臺1 m地平式反射望遠鏡觀測的16幅CCD圖像資料進行測光，得到了滿意的結(jié)果。利用ePSF擬合測光，需要兩個基本的步驟:首先對其進行求解，再利用它擬合星像得到光度信息。

本文分為4部分，第1部分介紹ePSF的求解過程，第2部分介紹利用ePSF擬合星像得到星體的光度信息，第3部分給出測量結(jié)果，最后對測量結(jié)果做了比較和討論。

1 有效點擴散函數(shù)的求解

對光學(xué)系統(tǒng)，輸入為點光源時其輸出像的光場分布稱為PSF(儀器PSF)，即光學(xué)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。本文采用的圖像資料中所有的星體都可看作點光源。由于儀器PSF的隱含特性，可經(jīng)過變換得到各量之間的關(guān)系［6］。其中，x*、y*是星像的中心位置，pij為星像在(i，j)位置處的灰度值，f*表示通量(即星體的光度信息)，ψE(i－x*，j－y*)為ePSF，簡寫為ψEij，s*是天光背景。

可以認為一幅星圖中所有星像歸一化后的ψEij相同［6］，每個星像可以看作ePSF在星像位置處的一個采樣。而星像的每個像素點可以看成是ePSF的一個采樣點。一般情況下，星像的中心不會恰好在像素的中心。如圖1，圖中“○”代表星像中心，“*”代表像素中心。一幅星圖中有上百個星像，每個星像又由許多采樣點構(gòu)成，因此可以從這許多采樣點中通過迭代得到ePSF。

圖1 ○代表星像中心 *代表像素中心圖Fig.1 Pixels surrounding a stellar image(with the center marked by“○”)

圖2 采樣點示意圖Fig.2 Illustration of image points(asterisks)where an ePSF is sampled

通過數(shù)值的方法列出ePSF在每個采樣點的值，即其在圖2中標記“*”處的值。為了使求得的ePSF更連續(xù)、平滑，利用樣條插值的方法在像素間插入了3個采樣點。具體步驟如下:

(1)選擇星像，選擇信噪比大的星像，即亮星，本文選擇了灰度值大于3倍背景值的星像，并剔除飽和星。所選星像如圖3中標記1～38的星像(圖示為原圖的負值圖像)。在本文所處理的圖像資料中，星像中心位置及光度信息包含在31×31的像素區(qū)域內(nèi)，因此提取ePSF時選擇了31×31的像素區(qū)域。并逐個檢查所選星像區(qū)域有無其他星像，若有則剔除該星像，不作為提取ePSF的被選星。

(2)根據(jù)(1)式可得到(2)式，利用(2)式求得ψEij。由(2)式可看出，要計算ψEij需要天光背景、星像中心位置及通量的初始信息。對于天光背景，本文采用Da Costa等人計算天光背景的方法［9］。中心及通量信息可通過高斯擬合得到［10－11］。

圖3 星圖(星像附近的數(shù)字為ePSF樣本星的編號)Fig.3 Marks for stellar images(the numbers are for those used to sample our ePSF)

(3)在兩個ψEij采樣點間通過樣條插值插入3個采樣點。對于每個星像，可得到121×121個采樣點，共38顆星。接下來的工作就是從這121×121×38個采樣點中提取ePSF信息。即計算其在對應(yīng)格點(圖2中標記*的點)的值。將所有星像的ψEij中心位置重合，如圖2(示意圖，只畫了星像中心5×5像素區(qū)域)，圖中小圓點代表每個采樣點。

(4)從這些采樣點中減去當前ePSF模型得到殘差，第一次該模型是0，殘差即采樣點本身。

(5)計算每個格點的值時，在以該點為中心△x、△y均為0.25個像素的矩形范圍內(nèi)，計算殘差平均值及標準偏差δ，去除比平均值大2.5δ的那些采樣點，剩余采樣點的平均值作為ePSF模型在該格點的采樣值。為使其更連續(xù)平滑，再用5×5的均值濾波模板平滑格點值。圖4是均值濾波前ePSF模型的等高線圖。圖5是均值濾波后的。從圖中可看出，濾波后的等高線圖更平滑，特別是中心位置處的。

圖4 濾波前ePSF等高線圖Fig.4 Contour map of the ePSF before filtering

圖5 濾波后ePSF等高線圖Fig.5 Contour map of the ePSF after filtering

(6)這樣得到的ePSF模型并不一定關(guān)于中心對稱，可以在中心10×10區(qū)域范圍內(nèi)用如(3)式所示的二次拋物面擬合采樣點［8］，求出偏差x0、y0。如果該模型關(guān)于中心點對稱，則x0、y0均為0。否則將其平移x0、y0，可以利用樣條插值的方法計算ePSF對應(yīng)格點的值。

(7)返回步驟(4)，迭代至5次退出循環(huán)。即得到ePSF模型。圖6為所求模型的三維表面圖，圖7為ePSF在△y=0處的切線圖。從圖中可看出它關(guān)于△x=0很好地對稱。類似的，在△y=0處有相同的切線。

圖6 有效ePSF模型的三維表面圖Fig.6 The 3-dimensional illustration of the model of the ePSF

圖7 有效ePSF模型在處的切線圖Fig.7 The model of the ePSF at△y=0

2 用有效點擴散函數(shù)擬合星像

得到ePSF后，就可利用它來擬合星像，進行光度測量。本文測量了灰度值高于1.3倍背景值的星像，如圖3中標記“○”的星像。可通過迭代找到合適的參數(shù)x*、y*、f*使得(4)式的值最小。如文獻［6］4.3節(jié)所描述的，參數(shù)f*在等式中線性出現(xiàn)，因此求解f*時可以將參數(shù)x*、y*看作常數(shù)，f*作為變量對上式求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，即可求得f*如(5)式所示;而ψEij跟參數(shù)x*、y*之間的關(guān)系是非線性的，因此需要將上式在ψEij的0點附近一階泰勒展開，再利用最小二乘法求得δx*如(6)式所示［12］，并且，δy*及y*有類似的表達式。式中 AP為擬合的星像區(qū)域 (Array of Pixels)。該區(qū)域不能過大也不能太小，遠離星像中心的區(qū)域由于噪聲的原因信噪比大幅度降低，但又要盡可能多的包含星點信息。從圖7可以看出，由于ψEij的信息包含在≤10的區(qū)域內(nèi)，因此選擇≤10與≤10的區(qū)域測量光度，即ePSF中心21×21的矩形區(qū)域。

式(6)中 qij=1/pij，Rij=pij－s*－f*ψEij。迭代退出條件為＜0.001，且＜0.001。

3 測量結(jié)果

本文對國家天文臺興隆觀測站1 m地平式反射望遠鏡觀測星團NGC2168的16幅CCD圖像進行資料分析。希望通過深入探討測光方法，提高測光精度。望遠鏡和CCD的有關(guān)參數(shù)見表1。采用相對測光，比較星一般選擇星圖中比較亮且孤立的星，但又不能選擇太亮的星，以免出現(xiàn)計數(shù)溢出的情況，即飽和星。綜合考慮選取標記為21的星作為比較星fm。星的亮度通常用星等來表示:

表1 天文望遠鏡和CCD的參數(shù)說明Table 1 The parameters of the telescope and CCD camera used by us

假設(shè)第i幅圖像中第j顆星的星等為mij，然后在多幅圖像中統(tǒng)計它們的平均值mj及標準偏差 σj，用σj來衡量測量的內(nèi)部精度。測量精度如圖8，圖中標記“○”的為利用Gauss函數(shù)擬合測量所得結(jié)果，標記“●”的為利用ePSF擬合測量所得結(jié)果，從圖中可以看出，本文方法在測量精度上好于Gauss擬合方法，測量精度彌散程度較小。由于ePSF擬合方法是在Gauss擬合方法確定的初始條件的基礎(chǔ)上的進一步處理，全部被測星的測量精度都有所提高，ePSF擬合方法與Gauss擬合方法的精度隨星等的變化趨勢基本一致。

在分析比較測量精度時，剔除了標記為39的星像。該星是本文所測星中最暗的星，在利用Gauss擬合求解初始參數(shù)時只有5個像素參與計算，使得結(jié)果存在較大誤差，最終導(dǎo)致ePSF擬合偏差較大。用Gauss擬合測量精度為1.4 mag，而有效點擴散函數(shù)的方法的測量精度為1.8 mag。

圖8 本文方法與Gauss擬合法內(nèi)部測量精度比較Fig.8 Comparison of the internal accuracies of our method and the Gaussian fitting method

4 討論和結(jié)論

本文對國家天文臺1 m望遠鏡觀測的16幅CCD圖像進行實際測量。結(jié)果表明:采用有效點擴散函數(shù)擬合方法在測量精度上好于Gauss擬合方法。本文方法平均測量精度達到0.015 mag，最好測量精度可達0.001 5 mag;而利用Gauss擬合平均精度只有0.05 mag，最好的精度為0.013 6 mag，本文方法平均精度提高了3倍。從圖8中可看出暗星的測量精度不如亮星的。通過計算可得到精度偏差是0.005，而Gauss擬合精度偏差是0.01，可見本文采用的方法擬合結(jié)果比較穩(wěn)定，是一種更優(yōu)的測光方法。通常光學(xué)系統(tǒng)的點擴散函數(shù)符合Gauss分布，但由于大氣等因素的影響，致使星像分布并不完全符合Gauss分布，本文通過數(shù)值的方法列出點擴散函數(shù)在對應(yīng)采樣點的值，并不需要用函數(shù)表達式去擬合星像，因而比較符合實際的星像灰度分布。在計算速度上，本文的方法比Gauss擬合的方法較慢，主要是ePSF的求解過程所需運算量較大，但在天文觀測的后續(xù)處理分析實時性要求不高時，本文的方法是可行。另外，本方法需要對星像中心位置、通量及背景進行初始估計，因而可通過Gauss擬合的方法得到這些初始條件，進而運用有效點擴散函數(shù)擬合方法提高測量精度。

致謝:感謝彭青玉教授為本文提出了重要和建設(shè)性建議及提供的圖像資料。

［1］Mighell K J.Algorithms for CCD Stellar Photometry［J］.ASPC，1999，172:317 －328.

［2］Mighell K J.CCD Aperture Photometry［J］.ASPC，1999，189:50 －55.

［3］Handler G.Combining Aperture and PSF-Fitting Photometry［J］.BaltA，2003，12:243 －246.

［4］洪禪偉，周曙白，陳洛恩.Blazar短時標光變的孔徑測光分析［J］.天文研究與技術(shù)——國家天文臺臺刊，2008，5(4):330－336.Hong Shanwei，Zhou Shubai，Chen luoen.Analysis of the Aperture Photometry for Biazar［J］.Astronomical Research ＆ Technologh——Publication of National Astronomical Observatories of China，2008，5(4):330 －336.

［5］Stetson P B.DAOPHOT-A Computer Program for Crowded-field Stellar Photometry［J］.PASP，1987，99(613)，191－222.

［6］Mighell K J.The MATPHOT Algorithm for Digital Point Spread Function CCD stella rphotometry［J］.ASP Conference Series281:Astronomical Data Analysis Software and Systems XI，2002:387－391.

［7］Anderson J，King I R.Toward High-precision Astrometry with WFPC2.I.Deriving an Accurate Point-spread Function［J］.PASP，2000，112(776)，1360 －1382.

［8］Anderson J，Bedin L R，Piotto G，et al.Ground-based CCD Astrometry with Wide Field Imagers.I.Observations just a few Years Apart Allow Decontamination of Field Objects from Members in Two Globular Clusters［J］.A＆A，2006，454(3):1029 －1045.

［9］Da Costa GS.Basic Photometry Techniques［J］.ASPC，1992，23:90 －104.

［10］王嫻，蘇成悅，王婷婷，等.一種新的星像自動搜索算法［J］.廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報2009，26(3):77－81.Wang Xian，Su Chengyue，Wang Tingting，et al.A New Plexible Stellar Auto-Searching Algorithm［J］.Journal of GuangDong University of Technology，2009，26(3):77 －81.

［11］李展，彭青玉，韓國強.CCD圖像數(shù)字定心算法的比較［J］.天文學(xué)報，2009，50(3):340－348.Li Zhan，Peng Qingyu，Han Guoqiang.Comparison of Digital Centering Algorithms Based on CCD Images［J］.AAS，2009，50(3):340 －348.

［12］張志淵，彭青玉.ePSF擬合法與Gaussian擬合法的比較，天文研究與技術(shù)——國家天文臺臺刊，2010，7(2):132－139.Zhang Zhiyuan，Peng Qingyu.Comparison of Fitting EPSF and Fitting Gaussian-Functions［J］. Astronomical Research ＆ Technology——Publications of National Astronomical Observatories of China，2010，7(2):132 －139.