虛時(shí)間步長(zhǎng)法的狄拉克海難

李芳瓊，蔡立

（貴州民族學(xué)院，貴州貴陽(yáng)550025）

虛時(shí)間步長(zhǎng)法(ITS)[1]是用于尋找最快的能量減少方向,沿著這個(gè)方向迭代直到找到能量曲面的極小點(diǎn),這種方法是在坐標(biāo)空間中解決非相對(duì)論問(wèn)題的一種有效方法,而且在常規(guī)的平均場(chǎng)理論中得到了成功的應(yīng)用[2]。正如文獻(xiàn)[1]所指出的一樣,由于經(jīng)過(guò)幾次指數(shù)變換,只能得到最低的本征態(tài),這個(gè)方法被應(yīng)用于求解能譜從底部開始束縛的單粒子哈密頓量。

從物理的角度來(lái)講,科學(xué)家們?cè)谄嫣卦雍酥衃3]發(fā)現(xiàn)了許多新奇的核結(jié)構(gòu)現(xiàn)象以及完全預(yù)想不到的核結(jié)構(gòu)特征。奇特核中極端豐中子的特征和與低物質(zhì)密度分布相關(guān)的物理現(xiàn)象不僅引起了核物理學(xué)、天體物理學(xué)界的關(guān)注,而且還對(duì)在坐標(biāo)空間中求解復(fù)雜的多體問(wèn)題提出了新的挑戰(zhàn)。

在過(guò)去的幾十年中,作為描述奇特原子核最好的理論方法之一即相對(duì)論平均場(chǎng)(RMF)方法[4]在描述許多原子核的現(xiàn)象時(shí)取得了很大的成功[5]。其后,RCHB理 論[6]提供了一種處理包括連續(xù)譜在內(nèi)的對(duì)關(guān)聯(lián)的完全自洽的方法,因此對(duì)遠(yuǎn)離β穩(wěn)定線的原子核提供了可靠的描述,而且較好的再現(xiàn)實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的11Li暈現(xiàn)象。RCHB理論的推廣是對(duì)變形的奇特原子核的探索以及確定變形暈的存在。在這方面已經(jīng)有了很多的研究。由于在坐標(biāo)空間中求解形變體系的耦合道微分方程存在很大的困難[7],Woods-Saxon基展開的方法被提出[8],但是它在重原子核系統(tǒng)中的應(yīng)用卻非常耗時(shí)。

對(duì)ITS方法,從球形到形變系統(tǒng)的擴(kuò)展是很直接的,然而由于Dirac海的存在,ITS方法是否可以直接應(yīng)用于相對(duì)論系統(tǒng),仍然是一個(gè)有趣的問(wèn)題。雖然通過(guò)將上分量滿足的有效哈密頓量應(yīng)用于現(xiàn)有的Skyrme-Hartree-Fock方法中的ITS程序,人們已經(jīng)得到了Fermi海中的單粒子能級(jí)[9]。但是為了證明這個(gè)方法的可行性、可靠性,以及明確的理解它對(duì)Dirac海的影響,還有很多的工作需要去做。

在本論文中,ITS方法將用在坐標(biāo)空間中求解Dirac方程。文中將分析并詳細(xì)討論將ITS方法直接應(yīng)用在Dirac方程時(shí)所遭遇的Dirac海難,并且通過(guò)比較Dirac方程和等效的Schrdinger-like方程,提出了避免Dirac海難的確實(shí)可行的辦法。

1 理論框架

ITS方法的主要思想和詳細(xì)的公式體系參見文獻(xiàn)[1]。單粒子波函數(shù)的ITS演化可表示為

其中,這里指數(shù)級(jí)數(shù)變換的展開只保留到一階,與文獻(xiàn)[2]類似。為單粒子的哈密頓量,是在時(shí)刻的一組相互正交的單粒子波函數(shù)。正交化由(1)得到的產(chǎn)生一組新的正交波函數(shù),用于下一次的ITS演化。隨著時(shí)間的演化,系統(tǒng)的總能量下降,直到找到能量曲面的極小點(diǎn)。相應(yīng)的波函數(shù)將同時(shí)收斂到單粒子哈密頓量的本征態(tài)。

ITS方法在常規(guī)的平均場(chǎng)理論中已經(jīng)得到了很成功的應(yīng)用。對(duì)于相對(duì)論平均場(chǎng)的情況,主要的問(wèn)題就是求解Dirac方程,

這里和是標(biāo)量勢(shì)和矢量勢(shì)。為了更清楚而簡(jiǎn)單的說(shuō)明,這里的取為球形的Woods-Saxon勢(shì)的形式,與文獻(xiàn)[8]類似。那么Dirac旋量可以寫成如下形式:

由于ITS方法搜尋的是從正無(wú)窮延伸到負(fù)無(wú)窮的Dirac方程全部能譜中能量的最低狀態(tài),如果把(4)式左邊的2×2矩陣的單粒子的哈密頓算符直接用于ITS演化(1)式,那么,所有的單粒子能級(jí)將掉進(jìn)Dirac海中,從而在Fermi海中得不到物理解。因此,將ITS方法直接演化Dirac方程會(huì)遇到巨大的災(zāi)難,因此有物理意義的解完全被負(fù)能態(tài)所淹沒(méi),或者叫Dirac海難。

為了避免Dirac海難一種可能的解決辦法就是用ITS方法去演化Schrdinger-like方程,而不是Dirac方程。直觀的來(lái)看,這種可能性也是值得懷疑的,因?yàn)镾chrdinger-like方程是從Dirac方程中導(dǎo)出,并且由于所有的Dirac方程的解都滿足相應(yīng)的Schrdingerlike方程,這兩種方程實(shí)際上是完全等價(jià)的。

在下面的討論中,可以看出這兩種方程在ITS演化過(guò)程中其實(shí)是不等價(jià)的。

由方程(4)可以得到波函數(shù)的上分量和下分量的關(guān)系：

Dirac方程和等效的Schrdinger-like方程的區(qū)別由此顯現(xiàn)出來(lái)。對(duì)Dirac方程來(lái)說(shuō),單粒子能譜從正無(wú)窮延伸到負(fù)無(wú)窮。但對(duì)Schrdinger-like來(lái)說(shuō),盡管(6)式中包含著單粒子能量的有效哈密頓量非常復(fù)雜,但它可以被約化為如果嘗試的單粒子能量被設(shè)置在Fermi海中,那么恒正的有效質(zhì)量會(huì)保證,因此Fermi海中的單粒子能譜就可以與Dirac海中單粒子能譜分離開來(lái),那么ITS的演化就可以應(yīng)用于Schrdinger-like方程,從而獲得在Fermi海上的解。另外為了獲得Dirac海里的解,我們應(yīng)用類似的方法去演化電荷共軛變換后的Schrdinger-like方程[10]。因此正是這種從Dirac方程到Schrdinger-like方程的變換,容許了分別在Fermi海或Dirac海中的單粒子能譜的ITS演化,從而提供了避免Dirac海難的方法。

利用(6)式有效的哈密頓量,波函數(shù)的上分量由Schrdinger-like方程的ITS演化獲得。而對(duì)應(yīng)的下分量可以通過(guò)(5)式獲得。然后包括上、下分量的Dirac旋量經(jīng)過(guò)正交化后進(jìn)行下一次的迭代。

2 結(jié)果與討論

通過(guò)對(duì)12C、16O、132Sn、208Pb單粒子能級(jí)的ITS演化,都得到了相同的結(jié)論。以下以12C為例。

圖1給出的是用ITS演化Schrdinger-like而獲得的12C在Dirac海中的質(zhì)子的2f(第一行)和2g(第二行)自旋伙伴態(tài)的徑向波函數(shù)和相應(yīng)的單粒子能量,與shooting方法得到的精確解完全相同。演化的盒子邊界R=20fm,格點(diǎn)間距dr=0.1fm,時(shí)間步長(zhǎng)dt=10-27s。

圖2給出的是用ITS演化Schrdinger-like方程而獲得的在Fermi海和Dirac海中的12C單質(zhì)子能級(jí)。ITS演化的球形盒子邊界為R=20fm,格點(diǎn)間距dr=0.1 fm,時(shí)間步長(zhǎng)為Δt=1×10-27s.所獲得的單質(zhì)子能級(jí)與用相同盒子大小的shooting方法所得到的“精確解”是一樣的。自旋伙伴態(tài)成對(duì)出現(xiàn),其中左側(cè)(右側(cè))κ>0(κ<0)。值得注意的是所有的單粒子態(tài)全部用上分量的量子數(shù)來(lái)標(biāo)記,與文獻(xiàn)[10]相似。因此這很清楚的表明,通過(guò)ITS方法演化等效的Schrdingerlike方程可以避免Dirac海難。

圖1 用ITS演化Schrdinger-like獲得12C在Dirac海中質(zhì)子的2f第一行)和2g(第二行)自旋伙伴態(tài)的徑向波函數(shù)和單粒子能量

圖2 應(yīng)用ITS演化Schrdinger-like方程,避免了Dirac海難,得到12C在Fermi海以及Dirac海 中質(zhì)子的分離的單粒子能譜

綜上所述,通過(guò)用虛時(shí)間步長(zhǎng)方法(ITS)演化Schrdinger-like方程得到了Fermi海和Dirac海中分離的單粒子能譜,避免了出現(xiàn)Dirac海難。

3 結(jié)論

ITS方法在常規(guī)的平均場(chǎng)理論中得到了廣泛的應(yīng)用,但是當(dāng)它直接應(yīng)用于Dirac方程時(shí),不可避免的要遇到一個(gè)嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。所有的單粒子能級(jí)將會(huì)演化到Dirac海中,Dirac方程的物理解被Dirac海所淹沒(méi)。然而從Dirac方程導(dǎo)出的Schrdinger-like方程提供了避免Dirac海難的方法。在比較長(zhǎng)的時(shí)間里,Schrdinger-like方程被認(rèn)為與Dirac方程是完全等價(jià)的。然而,通過(guò)將Dirac方程轉(zhuǎn)化為等效的Schrdingerlike方程,從正無(wú)窮延伸到負(fù)無(wú)窮的單粒子能譜可以分別在Fermi海或Dirac海中通過(guò)ITS演化而獲得。ITS方法演化Schrdinger-like方程或電荷共軛的Schrdinger-like方程,將得到在Fermi海或Dirac海中的解,它和用shooting方法得到精確解完全一致。用ITS方法在相對(duì)論平均場(chǎng)中對(duì)12C進(jìn)行自洽的計(jì)算所獲得的結(jié)果和用shooting方法完全一致。本文中對(duì)ITS方法的成功應(yīng)用,充分證明了該方法用于描述相對(duì)論系統(tǒng)的可行性、實(shí)用性、可靠性。

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