含任意直線型裂紋的直角域中圓柱夾雜對SH波的散射

齊 輝，楊 杰，李宏亮，楊在林

(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱 150001)

含任意直線型裂紋的直角域中圓柱夾雜對SH波的散射

齊 輝，楊 杰，李宏亮，楊在林

(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱 150001)

采用Green函數及復變函數方法研究了SH波作用下直角域內任意直線型裂紋對圓柱彈性夾雜的影響。首先，取含有圓柱彈性夾雜的直角域內任意一點承受時間諧和的出平面線源荷載作用時的位移函數基本解作為適合Green函數;其次，利用裂紋切割技術構造裂紋，并寫出圓柱夾雜與裂紋同時存在時的位移場和應力場;最后，給出圓柱彈性夾雜動應力集中系數的算例和結果，并討論了裂紋的存在對動應力集中系數的影響。

直角域;圓柱夾雜;任意直線型裂紋;Green函數;動應力集中系數(DSCF)

缺陷廣泛存在于天然介質和工程材料中，同時，各種缺陷的存在必然會影響材料的宏觀力學行為，如地震現象、地震監測、沖擊下材料和結構的響應等。在動力荷載作用下，含有缺陷的各種材料和結構表現出某些特殊的性質，例如缺陷處產生應力集中現象，從而導致材料的破壞。因此，為了滿足理論及工程上的需求，研究各種缺陷的動力響應等問題具有十分重要的意義。由于彈性波的散射能夠很好的解釋材料受到沖擊荷載時波的傳播問題，同時SH波作為比較簡單的模型，被廣泛的應用工程實際問題中，而且起著越來越重要的地位［1～3］。然而，在已發表的諸多文章中，研究SH波作用下各種缺陷的響應問題多集中在全空間和半空間中［4～6］，只有少數人［7，8］對直角域中含缺陷的問題進行了研究。本文在文獻［9～11］的基礎上，利用Green函數及復變函數等方法研究了含任意直線型裂紋的直角域中圓柱彈性夾雜對SH波的散射問題，并討論了裂紋對圓柱夾雜的影響。

1 問題的表述

圓柱彈性夾雜對SH波的散射模型如圖1所示，在直角平面內存在一條長度為b的任意直線型裂紋。直角空間Ⅰ中介質的密度和剪切波速分別為ρ1和c1，圓柱夾雜的密度和剪切波速分別為ρ2和c2。圓柱夾雜圓心到水平邊界和垂直界面的距離分別為h和d。簡諧平面SH波以入射角α0入射到直角域。

圖1 含任意直線型裂紋及圓柱夾雜的直角域模型Fig.1 The model with an arbitrary beeline crack and a cylindrical inclusion in right-angle plane

2 Green函數

滿足控制方程(1)和邊界條件(3)的位移場基本解，有兩部分構成:直角平面區域內線源荷載產生的擾動和圓柱形彈性夾雜所激發的散射波。

對于線源荷載 δ(z－z0)在一個完整的直角域內的擾動，可將其視為入射波G(i)，在該問題中由于直角平面區域自由表面的存在，出平面線源荷載的擾動產生的彈性波將會在圓柱夾雜和直角平面區域自由表面上發生多次散射和反射，致使能滿足直角平面區域自由表面上應力自由邊界條件的波場的解析解很難給出。為了克服這一難點，利用“鏡像法”，將直角區域對稱于垂直邊界左延拓為半無限空間，如圖3所示，并引入復數坐標系(z'，')，z'=z+2d，因此等效的入射波可以表述為:

圖2 出平面線源荷載作用的直角域模型Fig.2 The right-angle plane model impacted by a line source force

圖3 直角平面區域鏡像為半無限空間模型Fig.3 Transforming model from the right-angle plane to the half space

相應的，由于水平表面的存在而產生的等效反射波場為:

由于圓柱形彈性夾雜所激發的散射波將會在圓柱夾雜和直角平面區域自由表面上發生多次反射，故仍需采用鏡像疊加原理及坐標移動技術將其構造為:

利用圓柱形彈性夾雜邊界r=R位移和應力連續性條件:

得到確定待定系數An，Bn的方程組，經整理后方程組可以表述為:

為得到未知系數 An，Bn，(n=0，±1，±2，…)，對方程組(16)通過有項截斷得到有限未知數的方程組并求解。在本文算例中，對于上述無窮代數方程組中的每一個級數項分別選取7項即可很好滿足預先給定的計算精度(10－6)。

根據SH波散射的對稱性及疊加原理，由出平面線源荷載的擾動和由圓孔所激發的散射波組成的總波場能滿足直角平面區域邊界應力自由條件.此時介質內的總波場，即求解問題的Green函數為:

3 圓柱彈性夾雜對SH波的散射

對于SH波的入射問題，首先考慮直角平面區域內只含有圓柱夾雜時的情況.其求解思路與前面構造Green函數思路相同，將含圓孔的直角平面區域“鏡像”為一個半無限空間對SH波的入射問題進行求解。因此，等效的入射波，反射波在復平面上的表達式為可以寫成:

式中，β0=π－α0，α0為入射角，W0為入射波幅值。

SH波作用下由圓柱夾雜產生的散射波場及駐波場位移和應力表達式，與點源函數作用下圓柱夾雜產生的散射波場和駐波場的位移和應力表達式相同。其待定系數，由圓柱彈性夾雜邊界的連續性條件確定，其解的過程與求解Green函數系數相同。

為了研究SH波對圓柱彈性夾雜的散射，首先，按裂紋“切割”技術構造裂紋，具體做法是:利用求得的Green函數，在欲出現裂紋處區域加置相應的大小相等、方向相反的平面荷載，使得此處應力為零，從而構造出裂紋。建立復平面此時圓柱夾雜與裂紋同時存在的直角平面區域內的波場為:

4 動應力集中系數(DSCF)

在穩態的入射SH波作用下，可以求出圓柱形彈性夾雜周邊動應力分布，但求得動應力集中系數則是重要的任務之一。通常環向動應力集中系數可以寫成:

5 算例與分析

本文以花崗巖中含有混凝土夾雜為例，給出了SH波入射直角平面區域圓柱彈性夾雜時，其環向動應力集中系數的計算結果。其中花崗巖與混凝土的剪切模量之比 μ1/μ2=2.9，相應的波數之比為 k1/k2=0.667，夾雜位置的無量綱參數 d/R=12.0，h/R=12.0，夾雜半徑 R=1.0;裂紋位置的無量綱參數為(a/R，l/R)，長度為b/R，傾斜角度為 β;無量綱入射波數用k1R表示，入射角度用α0表示。

(1)為了盡可能與已知結果進行比較，圖4給出μ2=0.0這一極端情況下，SH波垂直入射時，圓柱夾雜動應力集中系數的分布情況，此時問題退化為圓孔問題，其結果與文獻［11］一致。

(2)圖5～圖6給出了裂紋處于不同方位時，SH波分別以入射角度45°和90°入射時圓柱夾雜動應力集中系數的分布情況。由圖中可以看出，當SH波入射方向與夾雜邊界共線裂紋方向一致時幾乎重合，此時裂紋的存在對的分布幾乎沒有影響，而當SH波入射方向與裂紋方向垂直時，對值的影響最大。當低頻入射時，圖形幾乎對稱于入射角度方向。由此也說明了入射角度對夾雜周邊動應力集中系數的分布有一定的影響。

(3)圖7給出不同裂紋長度且SH波垂直入射時圓柱夾雜動應力集中系數的分布情況。當b/R=0時，即介質中不含裂紋情況時，圓柱夾雜動應力集中系數左右對稱，而當存在裂紋時的左右值不相等，且隨著裂紋長度的增加，值增大。說明裂紋的長度也是影響值的因素。

(4)圖8給出SH波垂直入射時圓柱夾雜邊界點θ=0°處動應力集中系數隨(－l/R)的變化情況。總體來說，當裂紋與邊界點越近，DSCF值變化幅度越大。當SH波低頻入射時最大值發生在( －l/R)=0處，最大值為5.72，比無裂紋狀態時的值提高了12%，且當(－l/R)＞40時值幾乎與無裂紋狀態時的值重合，說明此時裂紋對邊界點的影響幾乎可以忽略不計。而當SH波以高頻率入射時，最大值提高了14%，且當(－l/R)＞25時，裂紋對邊界點值的影響可以忽略。

6 結論

本文利用復變函數及Green函數方法研究了含任意直線型裂紋的直角域中圓柱夾雜對SH波的散射問題，且與已有解答做了比較。總結算例，我們可以了解裂紋對的影響不可以忽略，尤其當裂紋距離夾雜較近時，夾雜邊界點的值比無裂紋狀態時的值提高了12% ～14%。當SH波低頻入射且(－l/R)＞40時，裂紋對邊界點的影響才可以忽略不計，而當SH波高頻入射且(－l/R)＞25時，裂紋對邊界點值的影響可以忽略。同時應用本文方法可以計算其他介質組合參數時的分布情況。

［1］王 鐸，汪越勝.界面動力學研究近況［J］.上海力學，1993，14(4):1－15.

［2］王仁等.第十九屆國際理論與應用力學大會(ICTAM)情況介紹［J］.力學與實踐，1997，19(1):57－64.

［3］鄭哲敏，周 恒，張涵信，等.21世紀初的力學發展趨勢［J］.力學進展，1995，25(4):433－449.

［4］劉殿魁，劉宏偉.SH波散射與界面圓孔的動應力集中［J］.力學學報，1998，30(5):597－604.

［5］林 宏，劉殿魁.半無限空間中圓形孔洞周圍SH波的散射［J］.地震工程與工程振動，2002，22(2):9－16.

［6］史守峽，劉殿魁.SH波與界面多圓孔的散射及動應力集中［J］.力學學報，2001，33(1):60－70.

［7］史文譜，陳瑞平，張春萍.直角平面內彈性圓夾雜對入射平面SH波的散射［J］.應用力學學報，2007，24(1):154－161.

［8］折 勇，齊 輝，楊在林.SH波對直角平面區域內圓形孔洞的散射與地震動［J］.應用力學學報，2008，25(3):392－398.

［9］李宏亮，劉殿魁.SH波作用下圓形夾雜與裂紋的相互作用［J］.哈爾濱工程大學學報，2004，25(5):618－623.

［10］楊在林，閆培雷，劉殿魁.SH波對淺埋彈性圓柱及裂紋的散射與地震動［J］.力學學報，2009，41(2):229－234.

［11］ Qi H，Shi Y，Liu D K.Interaction of a Circular Cavity and a Beeline Crack in Right-angle Plane Impacted by SH-wave［J］.Journal of Harbin Institute of Technology(New Series)，2009，16(4):548－553.

Scattering of SH-wave by a cylindrical Inclusion in right-angle plane with arbitrary beeline crack

QI Hui，YANG Jie，LI Hong-liang，YANG Zai-lin

(College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China)

Green’s function and complex function methods were used here to investigate the problem of scattering of SH-wave by a cylindrical inclusion in right-angle plane with an arbitrary beeline crack.Firstly，an essential solution to displacement field of an elastic right-angle plane containing a cylindrical inclusion while its any point bore a out-of-plane harmonic line source load was taken as Green's function.Secondly，crack was made out with crack-division technique，and expressions of displacement and stress fields were written during both crack and cylindrical inclusion exsiting.Finally，some examples and results for dynamic stress concentration factor of the cylindrical elastic inclusion were given，and the influence of crack on dynamic stress concentration factor at the edge of cylindrical elastic inclusion was discussed.

right-angle plane;cylindrical inclusion;arbitrary beeline crack;green's function;dynamic stress concentration factor(DSCF)

O343.1;P315.3

A

國家自然科學基金資助項目(10972064)

2009－12－21 修改稿收到日期:2010－03－10

齊 輝 男，教授，博士生導師，1963年生