基于ARCH 族模型的股票日收益率分析——以張江高科股票為例

暨南大學 吳雅亭

一、引言

在對很多經濟時間序列進行分析時，傳統的經濟計量方法要求序列服從一系列的經典假設，然后建立ARMA模型。但在現實的經濟生活中，有很多時間序列并不服從于這些假設，如金融時間序列中的股票價格、通貨膨脹率、利率以及收益率等。異方差性是很多金融時間序列固有的特點，它們不服從同方差的假設，方差表現出集聚性和波動性的特點。因此利用傳統的模型對這類事件序列進行建模并由此而進行統計推斷往往會產生嚴重的錯誤。針對上述不足，Engle于1982年在研究通貨膨脹時首先提出ARCH模型，為解決這類問題提供了新的思路。1986年Bollerslev在Engle基礎上對異方差的表現形式進行了直接的線性擴展，形成了更為廣泛的GARCH模型。隨后又有一些經濟學家對上述模型進行了擴展和完善，形成如GARCH-M模型、IGARCH模型，EGARCH模型等，最終形成了一個所謂的GARCH模型族。之前大多文章是運用ARCH族模型中的一個或幾個少數的模型進行分析描述。本文試圖利用ARCH族模型分別對張江高科股票日收益率的波動性特征進行分析驗證。先簡單介紹ARCH族模型及其擴展形式；然后檢驗張江高科股票日收益率的ARCH性質，建立各種模型，估計模型的參數；最后利用模型對股票收益率進行定性分析。

二、研究方法

本文實證方法主要基于ARCH族模型展開。ARCH模型又稱之為條件異方差模型，最初由統計學家Engle（1982）提出。1986年Bollerslev進一步提出了廣義自回歸條件異方差GARCH模型，此后一些擴展的ARCH模型也相繼提出，如ARCH- M模型、EGARCH模型等，這些模型都被廣泛地應用于金融時間序列的分析。

（一）ARCH模型 ARCH模型的主要貢獻在于發現了經濟時間序列中比較明顯的變化是可以預測的，且說明這種變化是來自某一特定類型的非線性依賴性，而不是方差的外生結構。有如下形式:

式（1）中，vt獨立同分布且E（Vt）=0，D（Vt）=1；α0＞0,αi≥0（i=1，2，…，q），且

如果序列滿足以上三個方程，則稱序列服從P階的ARCH過程，記為t:ARCH（P）。后來的研究發現，方差并不僅僅決定于殘差的平方和，還有可能決定于其自身前幾期的值。

（二）GARCH模型 GARCH模型是ARCH族模型中一種帶異方差的時間序列建模方法。一個形式簡單而且應用廣泛的具有其他復雜模型的主要特征的模型是GARCFH（1，1）模型，該模型假定方差僅依賴于被解釋變量的過去值。其有如下形式:

式（2）中，vt獨立同分布，E（vt）=0，D（vt）=1；α0＞0,αi≥0（i=1，2，…，q），且θj≥0。

（三）ARCH- M（p，q）模型 ARCH-M模型適合于描述那些期望回報與期望風險密切相關的金融資產。

其有如下形式:

式（3）中，vt獨立同分布，E（vt）=0，D（vt）=1；α0＞0,αi≥0（i=1，2，…，q），且θj≥0。

（四）TARCH模型 TARCH模型最先由Zakoian(1990)提出，其有如下形式:

其中，dt是一個名義變量

由于引入dt，股價上漲信息（εt＞0）和下跌信息（εt＜0）對條件方差的作用效果不同，上漲時其影響可用系數表，下跌時為則說明信息作用是非對稱的，而當φ＞0時，認為存在“杠桿效應”。

（五）EGARCH模型 EGARCH模型，即指數GARCH模型，有Nelson在1991年提出。其有如下形式:

模型中條件方差采用了自然對數的形式，意味著ht非負杠桿效應是指數型的。若φ≠0，說明信息作用非對稱。當φ＜0時“杠桿效應”顯著。

（六）冪ARCH模型 冪ARCH模型對GARCH模型作了進一步的擴展，對標準差的冪次進行模擬，這個冪并不是事先給定，而是通過模型自身來決定。其具有如下形式:

式中，δ＞0；|φi|≤1對于i=1，2，…，r，|φi|=0對于所有的i＞k，1≤k≤p。如果對于所有的i，φi=0，則模型是對稱的；如果φi≠0，則模型是非對稱的。當δ=2，φi=0（對于所有的i）時，則冪ARCH模型就是GARCH模型。

三、基于張江高科股票日收益率的實證分析

（一）數據處理和描述 在分析張江高科股票日收益率時,一般將日收益率Rt為:Rt=log（Pt）-log（Pt-1），其中Pt為張江高科股票每日收盤價，日收益率是對每日對數收盤價的一階差分。本文選取張江高科股票2005年1月10日至2010年5月31日時間段的每日收盤價作為樣本數據，經過計算之后共有1269個數，如表1所示。（數據來源:大智慧軟件）

?

表1是對日收益率的基本統計量的描述，從序列的偏度（如圖1所示）可以看出分布呈現出負偏態，左拖尾的情況，而從峰度值來看，分布呈現出明顯的尖峰厚尾特征，JB值的檢驗結果說明張江高科股票日收益率和傳統研究結果一樣，為非正態分布。

圖1 2005-2010年日收益率時序圖

圖2 2005-2010年日收益率柱狀圖

從圖2可以看出，分布呈現中間高，兩邊低的特點。該股票日收益率分布呈現高峰厚尾的特點，并且左右不對稱。

（二）ARCH效應檢驗 要用ARCH族模型分析時間序列數據,首先需要檢驗時間序列是否存在條件異方差性質。檢驗方法有兩種:ARCH—LM檢驗，又稱拉格朗日乘數檢驗和殘差平方相關圖檢驗。本文采用ARCH—LM檢驗法則，首先建立一個輔助方程:

為殘差平方和序列，通過這個回歸構造兩個統計量，來檢驗ARCH效應是否存在。檢驗結果如表2所示:

?

表2中檢驗的統計量的伴隨概率P＜0.05，拒絕殘差序列不存在ARCH效應的原假設，說明張江高科股票日收益率存在著ARCH效應。

（三）ARCH 族模型建立與分析 根據AIC和SC越小，Log likelihood值越大模型的擬合度越優的原則，對ARCH族模型的結果進行對比，如表3所示。

AIC- 3.838246- 3.849898- 3.833909- 3.875685- 3.878593- 3.860370 SIC- 3.822015- 3.829610- 3.813620- 3.855396- 3.854246- 30836023 Log likelihood 2437.448 2445.835 2435.698 2462.184 2465.028 2453.474

通過對比可知，六種模型的AIC，SC值相差很少，數值較小的為PARCH 模 型和EGARCH 模 型，Log likelihood 數 值 最 大 的 為PARCH模型，綜合可知，這六種模型中PARCH模型擬合度最優。

運用最大似然法對PARCH模型進行參數估計及檢驗，可以得到其表達式為:

對模型回歸方程式的殘差進行ARCH-LM檢驗，x2檢驗階數q=1，2，…，10時均表明該模型不在具有ARCH效應，說明該模型具有較好的擬合度。通過PARCH模型結果的分析發現在樣本的時間區間內某一沖擊對條件方差的沖擊影響是持續的。這表明張江高科股票的日收益率一旦受到沖擊而出現異常波動，在短期內難以消除，波動持續時間較長。

四、結論

根據建立的ARCH族模型，可以分析張江高科股票具有同一般股票市場的三個方面特征:波動集群性、波動的持續性和杠桿效應。張江高科股票日收益率序列表現出明顯的非正態性和波動集群性特征，具有顯著的ARCH現象，波動隨時間變化而變化，在較大幅度的波動會緊跟著較大的波動，較小的波動會緊跟著的較小波動，說明投資尚不成熟。張江高科股票日收益率一旦受到沖擊而出現異常波動，在短期內難以消除，波動持續時間較長。張江高科股票風險與收益呈正相關且收益率存在信息沖擊曲線的非對稱特征，利空消息比同樣的利好消息對其收益率的波動性影響大。張江高科股票日收益率的長期參數將緩慢的收斂于穩定狀態，而短期內存在非對稱特征。

通過對ARCH族模型中各個模型之間的比較研究，可以發現，GARCH和GARCH模型在考察信息曲線的對稱性和是否存在“杠桿效應”方面要優于TARCH模型，PARCH和（Component）ARCH模型可以說明股票日收益率在長期和短期中是否存在穩定狀態。選取多個ARCH模型擬合效果的對比分析，并選取一系列指標來評價模型擬合效果的研究思路，盡管可能存在一定的局限性，但為如何對股票日收益選擇較為優良模型分析其特征提供了一種比較合理和有效的方法。

［1］蔡曉黎:《上海股票市場收益率分布模型統計研究》，《現代商貿工業》2008年第10期。