方位角(α,β,γ)能確定剛性分子的自由度嗎？

魏靜

(電子科技大學(xué)微電子與固體學(xué)院 四川 成都 611731)

滕保華

(電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院 四川 成都 610054)

楊婷婷

(電子科技大學(xué)微電子與固體學(xué)院 四川 成都 611731)

大學(xué)物理教材中在分析理想氣體剛性雙原子分子的自由度時(shí)，通常采用三個(gè)方位角(α，β，γ)并借助公式cos2α+cos2β+cos2γ=1，來(lái)確定其中兩個(gè)獨(dú)立方位角，由此得出剛性雙原子分子轉(zhuǎn)動(dòng)自由度為2的結(jié)論．例如，文獻(xiàn)[1]寫(xiě)道：“剛性雙原子分子……連接兩個(gè)原子的剛性鍵的方位仍可改變，分子的位置仍未確定，因此還另需要兩個(gè)方位角來(lái)決定其鍵聯(lián)的方向(三個(gè)方位角α,β,γ中，因有cos2α+cos2β+cos2γ=1的關(guān)系約束，故只有兩個(gè)是獨(dú)立的)，這兩個(gè)角坐標(biāo)實(shí)際上給出了分子的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，因此雙原子分子有三個(gè)平動(dòng)自由度和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度……”文獻(xiàn)[2]寫(xiě)道：“……確定軸線方位需用α,β,γ三個(gè)方位角,但因這些方位角的余弦的平方和恒等于1,所以其中只有兩個(gè)是獨(dú)立的……”文獻(xiàn)[3]寫(xiě)道：“……還需要確定它的兩原子的連線的方位，這又需要兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)(一條直線在空間的方位，可用它與x,y,z軸的三個(gè)夾角α，β，γ確定．但因總有cos2α+cos2β+cos2γ=1，所以只有兩個(gè)夾角是獨(dú)立的)”．文獻(xiàn)[4]寫(xiě)道：“……為了確定剛體繞過(guò)質(zhì)心O′的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，首先要確定該軸在空間的方位，這可用三個(gè)方向余弦(cosα，cosβ，cosγ)表示，但由于三者存在著cos2α+cos2β+cos2γ=1的關(guān)系，所以三個(gè)量中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，即確定轉(zhuǎn)軸方位的自由度僅有2個(gè)．”

我們認(rèn)為用方位角(α，β，γ)解釋轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的個(gè)數(shù)是不準(zhǔn)確的．三個(gè)方位角雖然由公式cos2α+cos2β+cos2γ=1約束，但是該方程是關(guān)于α、β、γ的非線性方程，因此由其中任意兩個(gè)方位角不能唯一確定第三個(gè)方位角．例如已知β和γ，可以確定cos2α，但不能唯一確定α．兩個(gè)固定的方位角β和γ，分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的錐面.為了形象地說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，我們分兩種情況進(jìn)行討論．

(1)若兩個(gè)錐面恰好相切，則兩個(gè)固定的方位角β和γ可以唯一確定直線的方向, 即切線方向，如圖1所示.

圖1 當(dāng)兩個(gè)錐面相切時(shí)，切線具有確定的取向，

(2)若兩個(gè)錐面相交，則兩個(gè)固定的方位角β和γ將使α有兩個(gè)取值，即交線有兩種可能的方向，如圖2所示．

圖2 當(dāng)兩個(gè)錐面相交時(shí)，交線的取向有兩種情況，

綜上所述，確定的β和γ不能唯一確定直線的空間方位．也就是說(shuō)，三個(gè)方位角不能因?yàn)楣絚os2α+cos2β+cos2γ=1的約束，而確定其中兩個(gè)獨(dú)立的方位角；即不能由此得到剛性雙原子分子具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的結(jié)論．

實(shí)際上，剛性雙原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度確實(shí)只有兩個(gè)，如用球坐標(biāo)系(r,θ,φ)就可以方便地說(shuō)明.在球坐標(biāo)系中，r是到原點(diǎn)的距離，與方向角無(wú)關(guān)，而θ,φ能唯一確定連線的方向．因此，對(duì)于空間方位來(lái)說(shuō)，球坐標(biāo)系中θ,φ是獨(dú)立的，由此可知?jiǎng)傂噪p原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度為兩個(gè)．

由此得到結(jié)論，大學(xué)物理教材中關(guān)于理想氣體剛性雙原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的個(gè)數(shù)，不能用通常的方位角(α，β，γ)來(lái)唯一確定，但用球坐標(biāo)系則可．

1 羅益民，余燕主編.大學(xué)物理(第二版).北京：北京郵電大學(xué)出版社， 2004.142～143

2 吳百詩(shī)主編.大學(xué)物理(下冊(cè)).西安：西安交通大學(xué)出版社， 2004.47～48

3 張三慧主編.大學(xué)物理學(xué)(第二冊(cè))熱學(xué).北京：清華大學(xué)出版社， 2000.44～45

4 嚴(yán)導(dǎo)淦主編.物理學(xué)教程(上冊(cè)).上海：同濟(jì)大學(xué)出版社， 2007.256